第2章 2.2 函数的表示法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

2.2 函数的表示法 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 三种常用的函数表示方法 |微|点|助|解| 　 　　对三种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示. (　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示. ( 　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数,则f(1)=1. ( 　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰. ( 　 ) × √ × √ 2.已知函数y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- 解析:设y=,由题意知1=,即k=2.∴y=. √ 3.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=　　　　.  解析:∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3. x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 3 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　函数的表示方法 [例1]　中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗? 解:因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 用列表法可将函数表示为 用图象法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 |思|维|建|模| 应用函数的三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域. (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系. (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 针对训练 1.已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t=ax+,当x=2时,t=4;当x=4时,t=5,且参加此项任务的人数不能超过5人. (1)写出函数t的解析式; 解: 由题设条件可知,当x=2时,t=4,当x=4时,t=5,列出方程组 解得 所以t=x+.又因为x≤5,x为正整数, 所以函数的定义域为{x∈N+|0<x≤5}. 故函数解析式为t=x+,x∈{x∈N+|0<x≤5}. (2)用列表法表示函数; 解:x=1,2,3,4,5,共取5个值,列表如下: x 1 2 3 4 5 t 5 4 5 (3)画出函数t的图象. 解:函数t的图象是由5个点组成的一个点列,如图所示. 题型(二)　函数的图象 [例2]　作出下列函数的图象: (1)y=,x∈[2,+∞); 解:当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分.如图①所示. (2)y=x2+2x,x∈[-2,2]; 解:当-2≤x≤2时,图象是抛物线y=x2+2x的一部分.如图②所示. (3)f(x)=|x-1|+|x+1|. 解:因为函数f(x)=图象是分段函数.如图③所示. |思|维|建|模| 作函数y=f(x)图象的方法 (1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的函数之一,则要按:①列表;②描点;③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. 针对训练 2.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是　　　　,值域是　　　　.  解析:结合题图,知函数f(x)的定义域为[-3,3],值域为[-2,2]. [-3,3]　 [-2,2] 3.画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); 解:y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图①所示. (2)y=x2-2x(x>1或x<-1). 解:y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线.如图②实线部分所示. 题型(三)　求函数的解析式 [例3]　求下列函数的解析式: (1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2,求f(x); 解:法一:换元法　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2.代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)= t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). 法二:配凑法　由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3. 因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x); 解:设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 即解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x). 解:由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x. 联立解得f(x)=x-1. |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得到f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 针对训练 4.根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; 解:令t=x+1,则x=t-1.故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2. 所以f(x)=x2+2x-2. (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9; 解:设f(x)=kx+b(k≠0), 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9, 所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9. 即2kx+3k+2b=2x+9. 所以解得所以f(x)=x+3. (3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 解:因为2f+f(x)=x(x≠0)　①, 所以2f(x)+f=　②. 2×②-①,得3f(x)=-x, 所以f(x)=-(x≠0). [例4]　已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(1),f; 解:由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f(1)=3×1+5=8,f=f=f=3×+5=. 题型(四)　分段函数求值问题 (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 解:因为a2+2≥2, 所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3, 所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0, 解得a≥1或a≤-, 即实数a的取值范围是∪[1,+∞). 1.本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值. 解:当a≤-2时,f(a)=a+1=3, 即a=2>-2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,f(a)=3a+5=3, 即a=-∈(-2,2),符合题意; 变式拓展 当a≥2时,f(a)=2a-1=3, 即a=2∈[2,+∞),符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,实数a的值为-或2. 2.本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围. 解:当x≤-2时,f(x)>2x可化为x+1>2x, 即x<1,所以x≤-2; 当-2<x<2时,f(x)>2x可化为3x+5>2x, 即x>-5,所以-2<x<2; 当x≥2时,f(x)>2x可化为2x-1>2x, 则x∈∅.综上可得,x的取值范围是(-∞,2). |思|维|建|模|　分段函数求值问题的解题思路 求函数值 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验 5.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(　 ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 针对训练 √ 解析:由题易知f(1)=2×1=2,据此结合题意分类讨论:当a>0时,f(a)=2a,由f(a)+f(1)=0,得2a+2=0,解得a=-1,舍去;当a≤0时,f(a)=a+1,由f(a)+f(1)=0,得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意. 6.函数f(x)=则f(7)=　 　　.  解析:∵函数f(x)= ∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8. 8 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.已知购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　 ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为 (　 ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 A.3 B.0 C.1 D.2 解析:由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,故f(g(2))=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f(x)=的图象是(　 ) √ 解析:函数f(x)==故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知f(-1)=-x,则函数f(x)的表达式为(　 ) A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1) C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1) 解析:令t=-1(t≥-1),则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1).所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 (　 ) A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5] √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;选项B,图象法只能近似地求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;选项C,由图象可得函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;选项D,由图象可得函数的值域为[1,5],D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数y=f(x)的图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则(1)f(-2)=　　; 解析:由题图,知f(x)过点(-2,3),故可得f(-2)=3. (2)若f(x)=0,则x=　　.  解析:由题图可知,f(x)过点(-3,0),故可得x=-3. 3　 -3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f(x)=若f=-6,则f(4)=　　　　.  解析:由题意,得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.故f(4)=42-5×4=-4. -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知f=,那么f(x)的解析式为　　 　　.  解析:由f=可知,函数f(x)的定义域为{x|x≠-1且x≠0}.令t=,则x=(t≠-1且t≠0),所以f(t)==.故f(x)=(x≠-1且x≠0). f(x)=(x≠-1且x≠0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知f(x)= (1)画出f(x)的图象; 解:利用描点法,可得 x -2 -1 0 1 2 y 1 1 0 1 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 作出函数f(x)的图象,如图所示: 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求f(x)的值域. 解:根据题意可知,函数f(x)的定义域为R, 由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1], 当x>1或x<-1时,f(x)=1, 所以f(x)的值域为[0,1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式; 解:设f(x)=ax+b(a≠0),则 2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21. 所以a=2,b=5.所以f(x)=2x+5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式. 解:由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1,得c=1. 因为f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x, 整理得-2ax+a-b=4x, 即a=-2,b=-2.所以f(x)=-2x2-2x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0),则(　 ) A.f=15 B.f(2)=- C.f(x)=-1(x≠0) D.f=-1(x≠0且x≠1) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:令1-2x=t(t≠1),则x=.所以f(t)==-1.则f(x)=-1(x≠1),故C错误;f=15,故A正确;f(2)=3,故B错误;f=-1=-1(x≠0且x≠1),故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1,若f(8)=7,则f(2)= (　 ) A.7 B.3 C.2 D.1 解析:因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且f(8)=7,所以令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=7,解得f(4)=3.再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=3,解得f(2)=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1,1) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误; 当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1], 当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4), 因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去), 当-1<x<2时,x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确; 当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)画出下列函数的大致图象: (1)y=; 解:因为y==2-,所以可先作出函数y=-的大致图象, 把所得图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再 把所得图象向上平移2个单位长度,就得到了函数y= 的图象,如图①所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)y=|x2-1|. 解:先作出函数y=x2-1的大致图象,保留它在x轴上及其上方的部分,再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方,所得到的图象就是函数y=|x2-1|的图象,如图②所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,求x0的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:因为x0∈A,所以0≤x0<,且f(x0)=x0+,又≤x0+<1,所以x0+∈B, 所以f(f(x0))=2=2, 又f(f(x0))∈A,所以0≤2<,解得<x0≤,又0≤x0<,所以<x0<. 故x0的取值范围为. $$