2.2.3 一元二次不等式的解法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

2.2.3 一元二次不等式的解法—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 课时目标 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 (一)一元二次不等式 (1)一般地，形如______________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． (2)一元二次不等式_______组成的集合为一元二次不等式的解集． ax2＋bx＋c>0 所有解 |微|点|助|解|　 1．因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 2．配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方可变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式． (二)简单的分式不等式的解法 基础落实训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． ( 　 ) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　 ) (3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R. ( 　 ) × × √ 2．不等式x2－6x－1≤0的解集为___________________． 3．不等式x2＋4x＋1≥0的解集为_______________________________． 4．不等式<0的解集为___________． 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 课堂题点研究·迁移应用融通 [例1]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； [解]　原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2× 6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无 交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 图1 (2)－x2＋6x－9≥0； [解]　原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． 图2 (3)x2－2x－3>0. [解]　方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 图3 |思|维|建|模|　解一元二次不等式的一般方法和步骤 1. 解不等式－2<x2－3x≤10. 针对训练 即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 2．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (3)－2x2＋3x－2＜0. 解：原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. [例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．　 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 |思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算 3．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4. ③当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1. 针对训练 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}， 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}， 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． [例3]　求下列不等式的解集： 题型(三)　简单的分式不等式的解法 |思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　 针对训练 √ [例4]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 题型(四)　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 |思|维|建|模| (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c>0；图象在x轴下方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c<0，一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化．　 √ 针对训练 7．若关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为_____． 解析：∵关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}， ∴x＝0是方程(x＋1)(x－3)＝m的解， ∴m＝－3，∴原不等式为(x＋1)(x－3)<－3， 即x2－2x<0，解得0<x<2， 故不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n＝2. 2 8．已知不等式ax2－5x－6>0的解集为{x|x<－1或x>b}(b>－1)． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式ax2－(c＋ab)x＋bc≤0(c∈R)． 解：不等式ax2－(c＋ab)x＋bc≤0(c∈R) 即为x2－(c＋6)x＋6c≤0， 所以(x－6)(x－c)≤0， 当c<6时，不等式的解集为{x|c≤x≤6}； 当c＝6时，不等式的解集为{6}； 当c>6时，不等式的解集为{x|6≤x≤c}． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　 ) A．{x|－2<x<1} B．{x|x<－2或x>1} C．{x|－2≤x≤1} D．{x|x≤－2或x≥1} 解析：由二次函数图象知ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．不等式4＋3x－x2<0的解集为(　 ) A．{x|－1<x<4} B．{x|x>4或x<－1} C．{x|x>1或x<－4} D．{x|－4<x<1} 解析：不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}. 故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　 ) A．{x|x<－n或x>m} 　 B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} 　 D．{x|－m<x<n} 解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．不等式x2－4x＋4>0的解集是________． 解析：原不等式可化为(x－2)2>0，所以x≠2. {x|x≠2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．关于x的不等式ax－b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是____________． 解析：因为关于x的不等式ax－b<0的解集是{x|x>1}，所以不等式ax<b的解集是{x|x>1}，所以a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)·(x－3)<0，解得－1<x<3，所以该不等式的解集是{x|－1<x<3}． {x|－1<x<3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(10分)解下列不等式： (1)2＋3x－2x2＞0； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)x2－2x＋3＞0. 解：因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 所以原不等式的解集是R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2) <0的实数x的取值范围为(　 ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 {m|m<0} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是___________________________． 解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中，所以符合题意． (x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)(1)解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解：原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为∅； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，不等式的解集为∅；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(14分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}． (1)求实数k的值； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围． 解：由(1)知，k＝2，原不等式可化为x2－4x＋9－m2＋4m≥0， 所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4， 因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4， 即m2－4m－5≤0，解得－1≤m≤5， 故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤5}． 当k>0时，(x－h)2>k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)，(x－h)2<k的解集为(h－，h＋)． 当k<0时，(x－h)2>k的解集为R，(x－h)2<k的解集为∅. 当k＝0时，(x－h)2>k的解集为{x|x≠h}，(x－h)2<k的解集为∅. |微|点|助|解|　 常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)<0⇔f(x)·g(x)<0； (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0； (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. 解：∵≤1，∴≥0，∴∴x≥1或x<0. [3－，3＋] (－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞) {x|1<x<2} 5．求不等式≤1的解集． 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0， 即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0， 解：因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)－4x2＋18x－≥0； 解：原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为. [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时， 解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为. (1)≥0； [解]　法一　≥0等价于 ∴即x<－或x≥. ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为或 解得x≥或x<－， ∴原不等式的解集为. (2)>1. [解]　法一　原不等式可化为>0， 即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0， ∴－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 法二　原不等式可化为(2－x)(x＋3)>(x＋3)2， 即(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－， ∴原不等式的解集为. 4．下列不等式中，解集相同的是(　 ) A．x2－2x<3与< B．x<5与x＋<5＋ C．>0与x－3>0 D．>0与x＋1>0 解析：对于A，x2－2x<3的解集为{x|－1<x<3}，由<⇒<0⇒<0， 解集为{x|x<－1或1<x<3}，所以解集不同； 对于B，x＋<5＋⇒ 明显解集不同； 对于C，>0的解集为{x|x>3}，故两个解集相同； 对于D，>0的解集为{x|x>－1且x≠3}，与x＋1>0的解集不同．故选C． 5．若集合M＝{x|0<x≤3}，N＝，则M∩N＝(　 ) A．{x|0<x≤1}　　　　　　 B．{x|1<x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0<x<1} 解析：由－2＝≤0， 得N＝{x|－2≤x<1}， 所以M∩N＝{x|0<x<1}． [解]　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. [变式拓展] 若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 故所求不等式的解集为. 6．若不等式4x2－12x－7>0与关于x的不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则x2－px＋q<0的解集是(　 ) A． B． C． D． 解析：由4x2－12x－7>0得(2x－7)(2x＋1)>0，则x>或x<－. 由题意可得则 x2－px＋q<0对应方程x2－px＋q＝0的两根分别为，－， 故x2－px＋q<0的解集是. 解：因为不等式ax2－5x－6>0的解集为{x|x<－1或x>b}(b>－1)． 则方程ax2－5x－6＝0的两个根为－1和b ， 所以解得a＝1，b＝6. 2．(多选)与不等式≥0同解的不等式是(　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C．≤0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：不等式≥0可化为≤0，∴ 解得2<x≤3. ∴0<x－2≤1.故选B、C． 5．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，则a的值为 (　 ) A．－ B．2 C．－2 D． 解析：因为不等式ax2＋5x－2>0的解集为，所以，2为方程ax2＋5x－2＝0的两根，所以根据根与系数的关系可得×2＝－，所以a＝－2. 7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是_____________． 解析：原不等式等价于(x－a)<0，由0<a<1，得a<，所以a<x<. 解：原不等式可化为2x2－3x－2＜0， 所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2， 故原不等式的解集是. 解：原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－或x≥1， 故原不等式的解集为. B级——重点培优 10．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故选A． 12．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是___________． 解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}． 解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}． 当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上所述，当－<a<时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；当a>或a<－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 解：由题意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的两个根， 所以由根与系数的关系得 解得k＝2，故实数k＝2. $$