2.2.1 不等式及其性质（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

2.2.1 不等式及其性质—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 课时目标 1．理解不等式的概念，掌握比较实数大小的依据，掌握不等式在实际情境中的应用． 2．通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式． CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 3 课前预知教材·自主落实基础 (一)比较实数a，b大小的依据 依据 如果________，那么a＞b； 如果________，那么a<b； 如果_________，那么a＝b 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系， 只需确定它们的差与__的大小关系即可 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为________． a－b>0 a－b<0 a－b＝0 0 作差法 |微|点|助|解|　 (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”． (2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一． (二)不等式的性质及推论 1．不等式的性质 性质1　如果a>b，那么___________. 性质2　如果a>b，c>0，那么______. 性质3　如果a>b，c<0，那么______. 性质4　如果a>b，b>c，那么_____ (不等关系的传递性)． 性质5　a>b⇔____. a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a>c b<a 2．不等式的推论 推论1　如果a＋b>c，那么________. 推论2　如果a>b，c>d，那么____________. 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么______. 推论4　如果a>b>0，那么_________________． a>c－b a＋c>b＋d ac>bd an>bn(n∈N，n>1) |微|点|助|解|　 对不等式的性质及推论的理解 (1)性质1说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．推论1是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边． (2)性质2和性质3的推导是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的．应用时一定要注意c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．a，b可以是实数，也可以是式子． (3)推论2中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d. (4)推论3是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若a1>b1>0，a2>b2>0，…，an>bn>0，n∈N＋，则a1a2…an>b1b2…bn. (5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意前后关系是否可逆，如a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b⇔a＋c＞b＋c.即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要特别注意是否可逆． 基础落实训练 × × × √ √ 3．若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是____________． 解析：因为x－2－(2x－2)＝－x>0， 所以x－2>2x－2. x－2>2x－2 课堂题点研究·迁移应用融通 [例1]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1，∴x－1≤0.而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 题型(一)　实数(式)的比较大小 [变式拓展]　 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. |思|维|建|模| 用作差法比较两个数(式)大小的步骤 作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤是： ①作差； ②变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等； ③定号，即确定差的符号； ④下结论，写出两个数(式)的大小关系． 1．比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2； 解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2. 针对训练 题型(二)　利用不等式的性质判断命题真假 √ |思|维|建|模| 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．　　 针对训练 √ √ 题型(三)　利用不等式的性质证明不等式 [证明]　因为a>b>c，所以－c>－b. 所以a－c>a－b>0， |思|维|建|模| 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 针对训练 [例4]　已知－1<2a＋b<2,3<a－b<4，求5a＋b的取值范围． 题型(四)　利用不等式的性质求取值范围 ∴5a＋b＝2(2a＋b)＋(a－b)． ∵－1<2a＋b<2，∴－2<2(2a＋b)<4. 又3<a－b<4，∴1<2(2a＋b)＋(a－b)<8. 故1<5a＋b<8. |思|维|建|模| 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． [提醒]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　　 针对训练 4．(1)已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围； 解：∵1<a<4,2<b<8， ∴2<2a<8,6<3b<24，∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. ∴2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ (满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．若x∈R，y∈R，则(　 ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ④ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 < 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．(10分)已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________________. 若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若选择①③作为条件，②作为结论：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc；若选择①②作为条件，③作为结论：若a>b>c，ab>bc，则(a－c)b>0，故b>0，但c也可能大小为0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若ab>bc，b>0且c<0，则(a－c)b>0，故a>c，但a与b大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 a＝－1，b＝2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0.当a<0，b>0时，需使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，需使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14．(14分)已知a，b，c为三角形的三边长，求证： (1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； 证明：a，b，c为三角形的三边长，而2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2，显然(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号，因此2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)(a＋b＋c)2<4ab＋4bc＋4ca. 证明：a，b，c为三角形的三边长，则0<a<b＋c,0<b<c＋a,0<c<a＋b，于是得a2＋b2＋c2<a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝2(ab＋bc＋ca)，所以(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)<4ab＋4bc＋4ca. 推论5　如果a>b>0，那么_________. > 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若>1，则a>b. (　 ) (2)a与b的差是非负实数， 可表示为a－b>0. (　 ) (3)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc. (　 ) (4)a，b，c为实数，若ac2>bc2，则a>b. ( 　 ) 2．与a>b等价的不等式是(　 ) A．|a|>|b|　　　　 B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A、B、C都不正确． (2)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m与n的大小． 解：∵m－n＝＋－＝－＝＝. 又x，y均为正数， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(当且仅当x＝y时，等号成立)． [例2]　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　 ) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 [解析]　法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 法二　特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题；取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<， 故B为假命题；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题． 2．(多选)下列四个结论正确的是(　 ) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> 解析：利用不等式的同向可加性可知A正确；根据不等式的性质可知ac<bd，故B不正确；根据不等式性质7可知C正确；由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以D不正确． [例3]　设a>b>c，求证：＋＋>0. 所以>>0. 所以＋>0.又b－c>0，所以>0. 所以＋＋>0. 3．已知a>b>0，c<d<0，m<0，求证： (1)<； 证明：因为a>b>0，－c>－d>0， 所以a－c>b－d>0， 所以<. (2)>. 证明：由(1)得<， 又m<0，所以>. [解]　令5a＋b＝λ(2a＋b)＋μ(a－b)＝(2λ＋μ)a＋(λ－μ)b.∴解得 (2)已知－6<a<8,2<b<3，求的取值范围． 解：∵2<b<3，∴<<. ①当0≤a<8时，0≤<4； ②当－6<a<0时，－3<<0. 由①②得－3<<4， 即的取值范围是－3<<4. 2．已知实数0<a<1，则以下不等关系正确的是(　 ) A．a2>>a>－a B．a>a2>>－a C．>a>a2>－a D．>a2>a>－a 解析：∵0<a<1，∴0<a2<1，>1，－1<－a<0,0<a2<a.因此，>a>a2>－a. 3．若实数α，β满足－<α<β<－，则α－β的取值范围是(　 ) A．－<α－β<－ B．－<α－β<0 C．－<α－β< D．－<α－β<0 解析：∵－<α<β<－，∴－<α<－，<－β<，α－β<0， ∴－<α－β<0. 4．已知a>b>c>0，则(　 ) A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c) C．> D．(a－c)3>(b－c)3 解析：对于A，因为a>b>c>0，所以a＋a>b＋a>b＋c，即2a>b＋c，故错误；对于B，取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故错误；对于C，由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，所以<，故错误；对于D，由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，所以(a－c)3>(b－c)3，故正确． 5．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　 ) A．若a>b，c>d则a－d>b－c B．若a>b，c>d则ac>bd C．若a>b，c>d>0，则> D．若ab>0，bc－ad>0，则> 解析：若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，A选项正确；若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但ac＝bd＝－2，ac>bd不成立，B选项错误；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a>b，c>d>0，但＝＝－1，>不成立，C选项错误；bc－ad>0，则bc>ad，又ab>0，∴>，即>，D选项正确．故选A、D． 6．下列四个条件：①b>a>0，②0>b>a，③a>0>b，④a>b>0.其中能使得<成立的是________．(填上所有正确的序号) 解析：∵<⇔<0，∴④能使它成立． 7．已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a_____2b－(填“>”“<”或“＝”)． 解析：∵a≠b，a<0，∴a－＝<0， ∴a<2b－. 8．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为_____________________． 1，－1(答案不唯一) 解析：只要保证a为正b为负即可满足要求．当a>0>b时，>0>. 9．(8分)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ . 证明：－－＝. ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd＞0， 即－ac－(－bd)＞0. 又cd＞0，∴＞0， ∴－－＞0， ∴－＞－＞0， ∴ ＞ ， 即－＞－，∴ ＜ . 解：令解得∴9a－c＝y－x.∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤　①.∵－1≤y≤5，∴－≤y≤　②.①＋②，得－1≤y－x≤20，∴－1≤9a－c≤20. B级——重点培优 11．(多选)若0<a<b，则下列结论正确的是(　 ) A．a3>ab2 B．a＋<b＋ C．a＋2b>4 D．< 解析：因为0<a<b，所以a2<b2，所以a(a2－b2)<0，即a3<ab2，A错误；因为0<a<b，所以<，所以a＋<b＋，B正确；取a＝1，b＝2，则a＋2b＝5,4＝4>5，即a＋2b<4，C错误；因为0<a<b，所以－＝＝<0，即<，D正确． 13．若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；②>. 请写出一组a，b的值___________________________． $$