2.1.1 等式的性质与方程的解集（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．掌握等式的性质，并能进行应用．能通过因式分解求方程的解集． 2．理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等式的性质与恒等式 逐点清(二) “十字相乘法”因式分解 逐点清(三)　方程的解集 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等式的性质与恒等式 01 多维理解 1．等式的性质 a±c＝b±c ac＝bc |微|点|助|解|　 等式性质的延伸 (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)． 2．恒等式 (1)恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取_________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 任意实数 (2)常见的恒等式 ①a2－b2＝_____________ (平方差公式)； ②(a－b)2＝____________ (两数差的平方公式)； ③(a＋b)2＝____________ (两数和的平方公式)； ④a3－b3＝__________________ (立方差公式)； ⑤a3＋b3＝__________________ (立方和公式)． (a＋b)(a－b) a2－2ab＋b2 a2＋2ab＋b2 (a－b)(a2＋ab＋b2) (a＋b)(a2－ab＋b2) 微点练明 √ √ √ 2．(多选)若x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，则实数a可能的值是(　 ) A．－9 B．9 C．－3 D．3 解析：因为x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋a2)，故x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，即(x＋a)(x2－ax＋a2)＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，所以x2－ax＋a2＝x2－ax＋9，即a2＝9，故a＝±3. √ 3．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为(　 ) √ A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 解析：题图甲中阴影部分的面积为a2－b2，题图乙中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)，因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝(a＋b)·(a－b)． 逐点清(二) “十字相乘法”因式分解 02 多维理解 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)． 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过 程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相 乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． |微|点|助|解|　 (1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①因式分解的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (3)分解x2＋(a＋b)x＋ab型的式子时，有时需要经过多次尝试，才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数． 微点练明 因式分解： (1)6x2＋5x＋1； 解：(1)如图所示，6x2＋5x＋1＝(2x＋1)·(3x＋1)． (2)6x2＋11x－7； 解：如图所示，6x2＋11x－7＝(2x－1)·(3x＋7)． (3)42x2－33x＋6； 解：如图所示，42x2－33x＋6＝(6x－3)·(7x－2)． (4)2x4－5x2＋3. 逐点清(三)　方程的解集 03 多维理解 1．方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解(或根) 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 2．一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0) 微点练明 √ 1．一元二次方程x2－5x－6＝0的解集为(　 ) A．{－6,1} B．{6，－1} C．{－2,3} D．{2，－3} 解析：x2－5x－6＝0可化为(x－6)(x＋1)＝0，解得x＝6或x＝－1，所以一元二次方程x2－5x－6＝0的解集为{6，－1}． √ 3．求下列方程的解集： (1)x2－3x－4＝0； 解：因为x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)， 所以原方程可化为(x＋1)(x－4)＝0，故x＋1＝0或x－4＝0，解得x＝－1或x＝4. 因此原方程的解集为{－1,4}． (2)x＋2＝3x2； (3)6x(x＋1)＝5(x＋1)； (4)(2x－1)2－(x＋1)2＝0. 解：因为(2x－1)2－(x＋1)2＝0， 所以4x2－4x＋1－x2－2x－1＝0.所以3x2－6x＝0.所以x(x－2)＝0，即x＝0或x＝2. 所以原方程的解集为{0,2}． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 √ (满分80分，选填小题每题5分) 1．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得(　 ) A．(a＋b＋10)(a＋b－2) B．(a＋b＋5)(a＋b－4) C．(a＋b＋2)(a＋b－10) D．(a＋b＋4)(a＋b－5) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　 ) A．a＝10，b＝2　　　　　　 B．a＝10，b＝－2 C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2 解析：∵(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a，∴5＋b＝3,5b＝a，解得b＝－2，a＝－10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 4．若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m的值为(　 ) A．3或9 B．±3 C．±9 D．±3或±9 解析：∵－10＝(－1)×10＝1×(－10)＝2×(－5)＝(－2)×5，∴m＝±3或±9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 6．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是(　 ) A．2a＝3c　　　　　　　　 B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题图可知，2a＝3b,2b＝3c，根据等式的性质2，得4a＝6b,6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 7．程大位(1533～1606)，明朝人，珠算发明家．在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道“荡秋千”的题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步(古人将一步算作五尺)即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长度为(　 ) A．14尺 B．14.5尺 C．15尺 D．15.5尺 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设绳索长度为x尺，则秋千被推送10尺时，踏板距绳索顶端的距离为x－5＋1，此时踏板距绳索顶端距离、往前推送10尺的水平距离、绳索长刚好构成一直角三角形．则根据勾股定理可列方程102＋(x－5＋1)2＝x2，解得x＝14.5，即绳索长度为14.5尺． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8．因式分解：x2－2xy－8y2＝______________；(x＋y＋1)2－(x－y＋1)2＝__________. 解析：x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．(x＋y＋1)2－(x－y＋1)2＝[(x＋1)＋y]2－[(x＋1)－y]2＝(x＋1)2＋2(x＋1)y＋y2－[(x＋1)2－2(x＋1)y＋y2]＝4(x＋1)y. (x－4y)(x＋2y) 4(x＋1)y 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2－3b－5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5，则m＝_________. 解析：∵将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5， ∴m2－9m－5＝5，即m2－9m－10＝0. 解得m＝10或m＝－1. 10或－1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10．(10分)已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a，b，c的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11．(12分)《九章算术》卷九“勾股”中记载： 今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵 之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．注：横放， 竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去． (1)示意图中，BD表示户斜，求线段CE的长及线段DF的长． 解：由“横放，竿比门宽长出四尺”，可得CE＝4尺，由“竖放，竿比门高长出二尺”，可得DF＝2尺． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)户斜多长？ 解：设户斜x尺，则题图中BD＝x，BC＝BE－CE＝x－4(x>4)，CD＝CF－DF＝x－2(x>2)． 又在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，由勾股定理得BC2＋CD2＝BD2，即(x－4)2＋(x－2)2＝x2，整理得x2－12x＋20＝0，因式分解，得(x－10)(x－2)＝0，所以x1＝10，x2＝2.因为x>4且x>2，所以x＝2舍去，所以x＝10，即户斜10尺． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(13分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪 成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块 是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等 小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) (1)用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和； 解：题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(2m＋n)＋2(m＋2n)＝6m＋6n＝6(m＋n)cm. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________________； 解：2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)·(2m＋n)，故填(m＋2n)(2m＋n)． (m＋2n)(2m＋n) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (3)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值． 解：由题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10.∴m2＋n2＝29. ∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，∴(m＋n)2＝29＋20＝49. 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有____________ 等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，那么_________，＝(c≠0) 1．(多选)下列式子中变形正确的是(　 ) A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0 B．若ac＝bc，则a＝b C．若＝，则＝ D．若＝，则y＝x 解析：对于A选项，两边同时减去(2x－1)，得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a(a≠0)，得到＝，故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确． 4．已知x2－3x＋1＝0，求x3＋的值． 解：∵x2－3x＋1＝0，∴x≠0. ∴x2＋1＝3x，则x＋＝3. ∴x3＋＝ ＝＝3×(32－3)＝18. 解：如图所示，2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1) . 2．已知关于x的方程＝＋1的解集为∅，则实数a的值(　 ) A．0 B．1 C． D． 解析：由＝＋1，得x＝1.因为关于x的方程＝＋1的解集为∅，所以－＝0，即a＝. 解：因为3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，所以原方程可化为(3x＋2)(x－1)＝0. 故3x＋2＝0或x－1＝0，解得x＝－或x＝1. 因此原方程的解集为. 解：因为6x(x＋1)＝5(x＋1)，所以(x＋1)(6x－5)＝0， 所以x＋1＝0或6x－5＝0. 所以x＝－1或x＝.所以原方程的解集为. 3．(多选)下列各式因式分解的结果中，含有x＋1的是(　 ) A．x2＋x B．x2－1 C．2x2＋x－1 D．4x2－7x＋3 解析：A中，x2＋x＝x(x＋1)；B中，x2－1＝(x＋1)(x－1)；C中，2x2＋x－1＝(x＋1)(2x－1)；D中，4x2－7x＋3＝(x－1)(4x－3)．故选A、B、C． 5．下列等式中，属于恒等式的是(　 ) A．a2＝1 B．＝|a| C．|a－1|＝0 D．＝0 解析：选项A，只有a＝±1时，等式成立，故不是恒等式，A错误；选项B，＝|a|对任意a∈R恒成立，B正确；选项C，只有a＝1时，等式成立，故不是恒等式，C错误；选项D，≠0，故不是恒等式，D错误． 解：由题设，得6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a ＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c) ＝6x2－7xy－3y2＋(3b＋2c)x＋(b－3c)y＋bc. 比较对应项系数，得所以 $$