1.1.3 第2课时 集合运算的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

集合运算的综合应用—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合交、并、补混合运算 题型(二)　 根据交、并、补混合运算求参数 题型(三)　集合中的新定义问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　集合交、并、补混合运算 01 [例1]　 (1) (2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ √ [解析]　法一　M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10,11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A． 法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A． (2)设全集U＝{x∈N＋|x≤9}，若∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则集合B＝(　 ) A．{4,5,6,7,8,9} B．{2,4,5,6,7,8,9} C．{5,6,7,8} D．{5,6,7,8,9} [解析]　因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}．又A∩(∁UB)＝{2,4}，所以B＝{5,6,7,8,9}． √ |思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　 针对训练 √ 1．已知集合A＝{x|－x<3}，∁RB＝{x|x>4}，则∁R(A∩B)＝(　 ) A．∅ B．(－∞，－3]∪(4，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3,4] 解析：∵∁RB＝{x|x>4}，∴B＝{x|x≤4}．∵A＝{x|－x<3}＝{x|x>－3}，∴A∩B＝{x|－3<x≤4}，∴∁R(A∩B)＝{x|x≤－3或x>4}． 2．(2023·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则(∁UB)∪A＝(　 ) A．{1,3,5} B．{1,3} C．{1,2,4} D．{1,2,4,5} 解析：法一　因为U＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,4}，所以∁UB＝{3,5}，又A＝{1,3}，所以(∁UB)∪A＝{1,3,5}．故选A． 法二　因为A＝{1,3}，且A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1,3，所以排除选项C、D；观察选项A、B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A． √ 题型(二)　 根据交、并、补混合运算求参数 02 [例2]　已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a<x<2a}．若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围． [解]　因为A＝{x|0≤x≤1}， 所以∁RA＝{x|x<0或x>1}， 又因为B＝{x|1－a<x<2a}且(∁RA)∪B＝R， [变式拓展] 1．若本例条件“(∁RA)∪B＝R”变为“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 2．若本例条件变为已知集合A＝{x|2a－3<x<a＋1}，B＝{x|0<x≤1}．若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． |思|维|建|模| 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． [提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　　 针对训练 √ 3．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)有三个元素，则实数m的取值范围是(　 ) A．[3,4) B．[1,2) C．[2,3) D．(2,3] 解析：根据题意得∁RB＝{x|x≤m}．若A∩(∁RB)有三个元素，则有2≤m<3，即实数m的取值范围是[2,3)． 4．已知集合U＝{1，a2,3a＋1}，集合A⊆U，且∁UA＝{1,4}，则a＝(　 ) A．{1} B．{2} C．{±2} D．{1，±2} 解析：因为集合U＝{1，a2,3a＋1}，集合A⊆U，且∁UA＝{1,4}，所以{1,4}⊆{1，a2,3a＋1}．若3a＋1＝4⇒a＝1，则a2＝1，不满足元素互异性；若a2＝4⇒a＝±2⇒3a＋1＝7或3a＋1＝－5，满足互异性．所以a＝±2. √ 题型(三)　集合中的新定义问题 03 [例3]　设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是(　 ) A．7 B．10 C．25 D．52 √ [解析]　因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示： 　y x　 －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个．故选B． |思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在． (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可． 针对训练 √ √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x∈Z|－3<x<4}，则A∩B的真子集个数为(　 ) A．3 B．4 C．7 D．8 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：由题中定义可知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，而B＝{x∈Z|－3<x<4}，所以A∩B＝{1,2,3}．因此A∩B真子集个数为23－1＝7. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若M∩N＝N，则实数a的取值范围为(　 ) A．[1，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，1) 解析：由题意得M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}．因为M∩N＝N，所以N为M的子集，所以a≤1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|x≤7}，A∩(∁UB)＝{1,3,5,7}，则B中元素个数为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：因为U＝A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，A∩(∁UB)＝{1,3,5,7}，∴∁UB＝{1,3,5,7}，{1,3,5,7}⊆A，∴B＝{0,2,4,6}．∴B中元素个数为4. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知集合M＝{x|－2<x≤3}，N＝{x|x≥m}，若M∩N＝M，则m的取值范围是(　 ) A．[－2,3] B．(－2,3] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 解析：依题意，集合M＝{x|－2<x≤3}，N＝{x|x≥m}，由于M∩N＝M，所以M⊆N.所以m≤－2，即m的取值范围是(－∞，－2]． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}．若集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，则∁(A*B)A＝(　 ) A．{0} B．{0,4} C．{0,6} D．{0,4,6} 解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}，A∪B＝{0,1,2,3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0,1,2,3,4,6，所以A*B＝{0,1,2,3,4,6}，所以∁(A*B)A＝{0,4,6}．故选D． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．已知全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于(　 ) A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅ 解析：因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以∁UB＝{3,4}，A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩(∁UB)＝{3}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∪(∁UB)＝_______. 解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∪(∁UB)＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R. R 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________________. 解析：A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}． {x|－3≤x<0或x>3} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2<x<5}． (1)求A∩B与(∁RA)∪B； 解：由集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<5}，可得A∩B＝{x|2<x<3}． 又由∁RA＝{x|x≤1或x≥3}，得(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设集合P＝{x|a<x<a＋2}，若P⊆(A∪B)，求实数a的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(8分)已知A＝{x|x2－6x＋5＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝1，求∁AB； 解：由题意，可得A＝{1,5}． 若a＝1，则B＝{x|x－1＝0}＝{1}， ∴∁AB＝{5}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)从①A∪(∁RB)＝R；②A∩B＝B；③B∩(∁RA)＝∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．问题：若________，求实数a的所有取值构成的集合C． ① 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．如图中的阴影部分，可用集合符号表示为(　 ) A．(∁UA)∩(∁UB) B．(∁UA)∪(∁UB) C．(∁UB)∩A D．(∁UA)∩B 解析：题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即题图中的阴影部分可以用A∩(∁UB)来表示，故选C． √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　 ) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1<x<3}．若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A (∁RB)，则a的取值范围是____________________． (－∞，1]∪[2，＋∞) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(10分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}． (1)当a＝3时，求A∩B； 解：当a＝3时，集合A＝{x|－1≤x≤5}，又B＝{x|x≤1或x≥4}， ∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(10分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，a－b∈A，则称集合A为闭集合． (1)判断集合A1＝{－4，－2,0,2,4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明； 解：因为4∈A1,2∈A1,4＋2＝6∉A1，所以A1不是闭集合．任取x，y∈B，设x＝3m，y＝3n，m，n∈Z，则x＋y＝3m＋3n＝3(m＋n)且m＋n∈Z，所以x＋y∈B，同理，x－y∈B，故B为闭集合． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合？请说明理由； 解：结论：不一定． 不妨令C＝{x|x＝2k，k∈Z}，D＝{x|x＝3k，k∈Z}，则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合．因为2,3∈C∪D,2＋3＝5∉C∪D，因此，C∪D不一定是闭集合．所以若集合C，D为闭集合，则C∪D不一定为闭集合． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：证明：不妨假设C∪D＝R，则由C R，可得存在a∈R且a∉C，故a∈D．同理，存在b∈R且b∉D，故b∈C．因为a＋b∈R＝C∪D，所以a＋b∈C或a＋b∈D．若a＋b∈C，则由C为闭集合且b∈C，得a＝(a＋b)－b∈C，与a∉C矛盾．若a＋b∈D，则由D为闭集合且a∈D，得b＝(a＋b)－a∈D，与b∉D矛盾， 综上，C∪D＝R不成立，故(C∪D) R. 16 所以解得a>1， 故实数a的取值范围为{a|a>1}． 解：因为A∪B＝A，则B⊆A． 若B＝∅，则2a≤1－a，解得a≤. 若B≠∅，则解得<a≤. 综上所述，实数a的取值范围为. 解：由题意知A∩B＝∅， 当A＝∅时，2a－3≥a＋1，解得a≥4. 当A≠∅时，或 解得2≤a<4或a≤－1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a≥2}． 5．(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x，y}⊆A，则xy，x＋y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A是“紧密集合”．以下说法正确的是(　 ) A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且x，y∈A，则x－y∈A 解析：A选项，若x＝2，y＝1，而∉Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项，根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项，集合{－1，0,1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项，集合A＝{－1,0,1}是“紧密集合”，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2∉A，D错误．故选B、C． 解：由集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<5}，可得A∪B＝{x|1<x<5}． 由集合P＝{x|a<x<a＋2}且P⊆(A∪B)，可得解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}． 解：选①： 若A∪(∁RB)＝R，则B⊆A， ∵A＝{1,5}，则有：当B＝∅时，则a＝0； 当B＝{1}时，则a－1＝0，即a＝1； 当B＝{5}时，则5a－1＝0，则a＝. 综上所述，实数a的所有取值构成的集合C＝. 选③： 若B∩(∁RA)＝∅，则B⊆A，以下同选①. 选②： 若A∩B＝B，则B⊆A， 以下同选①. 13．若集合A具有以下性质：①0∈A,1∈A；②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A是“好集”，给出下列说法：①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A．其中，正确说法的个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对于①，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2，故集合B不满足第2个性质，集合B不是“好集”；对于②，有理数集Q满足0∈Q,1∈Q，且满足第2个性质，即x∈Q，y∈Q时，x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，故有理数集Q是“好集”；对于③，由“好集”的定义知，x，y∈A,0∈A，∴0－y＝－y∈A， ∴x－(－y)＝x＋y∈A． 解析：由题意得∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅.因为A(∁RB)，所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2；若A≠∅，则有或所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2. 解：∵A⊆∁RB，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}(a>0)， B＝{x|x≤1或x≥4}，∴∁RB＝{x|1<x<4}， ∴又a>0，解得0<a<1. ∴实数a的取值范围是{a|0＜a＜1}． (2)若a>0，且A⊆∁RB，求实数a的取值范围． (3)若集合C，D为闭集合，且CR，DR，证明：(C∪D) R. $$