1.1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法 集合的概念—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)　　　 第1课时 课时目标 1．准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系． 2．在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集． 3．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题． 4．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　元素与集合 逐点清(二)　集合与元素的特点 逐点清(三)　几种常见的数集 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　元素与集合 01 多维理解 1．集合与元素的概念 集合 把一些能够_____的、_____的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，集合通常用英文大写字母_____________表示 元素 组成集合的__________都是这个集合的元素，元素通常用英文小写字母_____________表示 确定 不同 A，B，C，… 每个对象 a，b，c，… |微|点|助|解|　 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看作对象．比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等． 2．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A的元素 ____________ a属于A 不属于 a不是集合A的元素 _____________ a不属于A a∈A a∉A |微|点|助|解|　 (1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的． (2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立． 3．空集 把_____任何元素的集合称为空集，记作___. 不含 ∅ 微点练明 √ 1．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是(　 ) A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．数学必修第一册课本中的所有难题 解析：A、D中“最美”“难题”标准不明确，不符合确定性；B、C中的元素标准明确，均可构成集合，故选BC． √ 2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是(　 ) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M. √ √ 3．集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素． ∉　 ∉ ∈ 　∉ 逐点清(二)　集合与元素的特点 02 多维理解 1．集合的元素特点 确定性 集合的元素必须是_____的 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是_____的 无序性 集合中的元素可以任意______ 确定 不同 排列 |微|点|助|解|　 元素特性的主要作用 (1)确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合． (2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素相同，但不一定依次对应相等． (3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 2．两个集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素__________，就称这两个集合相等，记作______． 3．集合分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为________，含有无限个元素的集合称为_______． 完全相同 A＝B 有限集 无限集 微点练明 √ 1．设集合A为“周长为4 cm的正方形”，集合B为“面积为4 cm2的长方形”，则下列说法正确的是(　 ) A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 解析：集合A是周长为4 cm的正方形，可以解得边长为1 cm，这样的正方形只有1个，所以为有限集．集合B是面积为4 cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集． √ 2．由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　 ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 解析：由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确． 3．方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意，方程x2＋2x－8＝0的两根为2，－4，方程x2＋x－12＝0的两根为－4,3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． √ 4．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为_____． 解析：由题意A中的元素分别为我，和，的，祖，国，共5个元素，故A中的元素个数为5. 5 5．已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝______. 解析：由题意得a2＝4，即a＝±2. ±2 逐点清(三)　几种常见的数集 03 多维理解 1．常见的数集 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 _______ N＋或N* _________ _________ _______ N Z Q R 2．N与N＋的区别 N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋多一个元素0，它们都是无限集． 微点练明 √ √ 2．(多选)下列说法正确的是(　 ) A．π是有理数 B．自然数集N中最小的元素是0 C．在整数集Z中，若a∈Z，则－a∈Z D．一个集合中不可以有两个相同的元素 √ √ √ 解析：π是无理数，不是有理数，故A错误；因为自然数集中最小的元素是0，所以B正确；若a∈Z，则－a也是整数，即－a∈Z，故C正确；同一集合中的元素是互不相同的，故D正确． ∉ ∈ ∈ ∉ 0,1,2 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分90分，选填小题每题5分) 1．(多选)下列各组对象能构成集合的是(　 ) A．倒数等于它本身的数 B．某班视力较好的同学 C．所有有理数 D．小于π的正整数 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选A、C、D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是(　 ) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．(多选)下列集合为有限集的是(　 ) A．由小于8的正奇数组成的集合 B．由大于5且小于20的实数组成的集合 C．由小于0的自然数组成的集合 D．由自然数中3的倍数组成的集合 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的集合是有限集．对于B，因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．对于C，因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．对于D，因为自然数中是3的倍数的数有无数个，所以其组成的集合是无限集． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由于A中P、Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P、Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．(多选)下列四个语句正确的是(　 ) A．集合N＋中最小的数是1 B．若－a∉N，则a∈N C．若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2 D．x2＋1＝2x的解集中含有1个元素 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　 ) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 解析：由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1，所以－1∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1____D，(－1,1)_____D． 解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1,1)∈D． ∉ ∈ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝_____，b＝____. －3 　2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知集合P中元素x满足x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝_____. 解析：∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数？ 解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4. (2)若4∈A，求实数m的值． 解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 4．用符号“∈”和“∉”填空： (1)设集合A是正整数的集合，则0____A，____A； 解析：正整数是不包含0的自然数，如1,2，3，…，所以0∉A，∉A． (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2____B,3____B． 解析：因为2＝<，所以2∈B；因为3＝>，所以3∉B． 1．(多选)下列结论正确的是(　 ) A．∈Q B．∈Q C．0∈N＋ D．－5∈Z 解析：根据常见数集的表示可知，∈Q，∉Q，0∉N＋，－5∈Z. 3．用符号“∈”或“∉”填空： (1)______N；(2)－2______R； (3)32______N；(4)0______∅. 4．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析：∵x∈N，∈N， ∴0≤x≤2且x∈N.当x＝0时，＝＝2∈N； 当x＝1时，＝＝3∈N； 当x＝2时，＝＝6∈N. 综上，集合A中的元素为0,1,2. 5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　 ) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析：对于A，因为N＋是正整数集，最小的正整数是1，所以A正确；对于B，取a＝，则－∉N，∉N，所以B错误；对于C，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以C错误；对于D，解集中只含有元素1，所以D正确． 8．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　 ) A．0∈M B．－1∈M C．3∉M D．1∈M 9．由实数x，－x，|x|，，－ 所组成的集合中，含有元素的个数最多为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0； 当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x； 当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x. 最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A． 10．设数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1，②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是(　 ) A．集合M中至多有2个元素 B．集合M中至多有3个元素 C．集合M中至少有4个元素 D．集合M中有无穷多个元素 解析：由a＝x∈M，得∈M.所以＝－∈M.所以＝∈M，即＝x∈M.若x＝，则x2＝－1无解．因为x≠－1,0,1，所以x，，－，互不相等，此时集合M中含4个元素．所以集合M中至少有4个元素． 解析：因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．所以所以 15．(13分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； 解：证明：因为1∉S，a∈S， 所以1－a≠0，且∈S， 可得＝＝1－∈S， 故若a∈S，则1－∈S. 解：由2∈S，得＝－1∈S； 由－1∈S，得＝∈S； 而当∈S时，＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，两个元素． $$