3.1.1 第1课时 函数的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 函数的概念 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，能够正确使用“区间”的符号来表示某些集合． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的概念 逐点清(二)　同一个函数 逐点清(三)　区间的概念 4 5 课时跟踪检测 逐点清(四)　构建函数模型 逐点清(一)　函数的概念 01 函数的定义及相关概念 多维理解 前提 条件 给定两个集合A，B为非空数集 对应 关系 如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应 结论 称f：A→B为__________________________，记作：______________ 定义域 x的取值范围____ 值域 函数值的集合____________ 任意一个数x 唯一确定 从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，x∈A A {f(x)|x∈A} |微|点|助|解| 对函数概念的理解 (1)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集； (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应； (3)从对应的角度看，函数只有两种：一对一，多对一．一对多不是函数； (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系； (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了． (　 ) (2)函数的定义域是无限集，则值域也是无限集． (　 ) (3)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．(　 ) (4)对于f(x)＝5，x∈R，f(x)不随着x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立． (　 ) 微点练明 √ × √ √ 2．(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　 ) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 √ √ 解析：按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． √ 解析：观察图象可知，A、B、C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D中图象是函数图象． 3．(多选)如图不能作为函数y＝f(x)的图象的是(　 ) √ √ √ 4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　 )   A．{y|－1≤y≤1} 　 B．R C．{y|2≤y≤3} 　 D．{－1,0,1} 解析：函数值只有－1,0,1，故值域为{－1,0,1}． x x<2 2≤x≤3 x>3 y －1 0 1 解析：A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都为R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R. √ √ √ 逐点清(二)　同一个函数 02 同一个函数的概念 多维理解 前提条件 (1)定义域______；(2)对应关系__________ 结论 这两个函数是同一个函数 相同 完全一致 |微|点|助|解| 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都分别对应相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． √ 微点练明 √ 解析：对于A，定义域不同；对于C，定义域、对应关系都不同；对于B、D，定义域与对应关系都相同． 解：两函数定义域不同，所以不是同一个函数． 逐点清(三)　区间的概念 03 1．设a，b∈R，且a<b，规定如下： 多维理解 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 _______ {x|a<x<b} 开区间 _______ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 _______ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 _______ [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 ____________ _________ (a，＋∞) _________ (－∞，a) (－∞，＋∞) [a，＋∞) (－∞，a] |微|点|助|解| 对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点； (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； (3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示； (4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则； (5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号． √ 1．集合{x|x＜0或x≥1}用区间表示为(　 ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) 　 B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．(－∞，0)∩[1，＋∞) 　 D．(0,1] 微点练明 √ 2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为(　 ) ①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x<10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：区间形式可以表示连续数集，是无限集．①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示；④是等边三角形组成的集合，是图形的集合，不是数集；⑥Q是有理数集，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(－∞，0]∪[3，＋∞)．故选D. √ 3．已知[a,2－a2]为一确定区间，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2,1)　 B．(－1,2)　 C．[－2,1]　 D．[－1,2] 解析：因为[a,2－a2]为一确定区间，所以a<2－a2⇒a2＋a－2<0⇒－2<a<1. (－∞，0)∪(0,1] 逐点清(四)　构建函数模型 04 [典例]　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系． |思|维|建|模| 构建问题情境的步骤 (1)综合考虑构建具体的实际问题． (2)赋予每个变量具体的实际意义． (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题． 针对训练 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．下列说法正确的是(　 ) A．函数的定义域可以是空集 B．函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了 C．函数的定义域、值域都是非空的数集 D．函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故A错误，C正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y＝|x|，y＝x2，故B错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故D错误． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．(多选)下列图形是函数图象的是(　 ) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B、C、D均符合函数定义． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．区间(－3,2]用集合可表示为(　 ) A．{－2，－1,0,1,2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　 )   解析：A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C、D中值域为{1,2}，故错误，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023的交点(　 ) A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当x在定义域内时，因为在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023有唯一交点；当x不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023没有交点．故函数 y＝f(x)的图象与直线x＝2 023至多有一个交点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一函数；对于B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为(　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：根据对应关系为y＝3x＋1，知3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，可得3×k＋1＝10.所以k＝3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 10．(多选)记无理数π＝3.141 592 6…小数点后第a位上的数字是b，则b是a的函数，记作b＝f(a)，定义域为A，值域为B，则下列说法正确的是(　 ) A．值域B是定义域A的子集 B．函数图象f(a)是一群孤立的点 C．f(6)＝2 D．a也是b的函数，记作a＝f(b) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，根据题意可知定义域为A＝{a∈N*|a≥1}，B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为0∈B,0∉A，所以值域B不是定义域A的子集，所以A错误.对于B、C，由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，函数图象f(a)是一群孤立的点，f(6)＝2，所以B、C正确.对于D，因为b＝1时，a＝1和3，不符合函数的定义，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知集合A＝{x|5－x≥0}，集合B＝{x||x|－3≠0}，用区间表示集合A∩B＝___________________________. (－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5] 解析：∵A＝{x|5－x≥0}，∴A＝{x|x≤5}.∵B＝{x||x|－3≠0}，∴B＝{x|x≠±3}.∴A∩B＝{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}，即A∩B＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为______． (1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为_______________________． 解析：函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同． y＝(x＋1)2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(17分)已知A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，以A为定义域，以B为值域可以建立多少个不同的函数． 解：∵A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，且集合A为定义域，集合B为值域，∴根据函数的定义可得集合B中的4或5在集合A中就一定有两个元素与之对应．若4在集合A中有两个元素与之对应，那就会有{1,2}，{2,3}，{1,3}这三种情况．同理，若5在集合A中有两个元素与之对应，也就会有{1,2}，{2,3}，{1,3}这三种情况．∴函数可以建立的个数为3＋3＝6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(18分)对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？ 解：能想到三角形的边长和三个角的度数．内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，三角形面积为S， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5．(多选)下列函数的定义域是R的是(　 ) A．y＝x＋1 　 B．y＝x2 　 C．y＝ 　 D．y＝2x 1．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　 ) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x，g(x)＝ C．f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N) D．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1 2．判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数： (1)f(x)＝，g(x)＝x－5； (2)y＝·，y＝. 解：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同． 又因为y＝·＝， 所以两函数的对应关系也相同． 故y＝·与y＝是同一个函数． 4．已知函数f(x)与函数g(x)＝是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为________________． 解析：因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同， 所以f(x)的定义域需满足则 即x≤1且x≠0. (1)f(x)＝； 解：设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. (2)f(x)＝2x＋； 解：设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥4}， 对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (3)f(x)＝. 解：设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}， 对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长. 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述． 解：某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍． 设投资额为x，利润为y，那么y＝2. 其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资额x对应到唯一确定的利润2. 6．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　 ) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 7．已知集合U＝R，集合A＝{x|>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩(∁UB)等于(　 ) A．R B．(1,2] C．(1,2) D．[2，＋∞) 解析：解不等式>2，得x>1，即A＝(1，＋∞)，y＝x2＋2≥2，即B＝[2，＋∞)，于是得∁UB＝(－∞，2)．所以A∩(∁UB)＝(1,2)． 8．下列各组函数是同一个函数的是(　 ) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 解析：由区间的定义知⇒1<a<2. 则S＝(a＋b＋c)r.设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝lr.另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式如下：l＝或r＝. $$