精品解析：广西壮族自治区来宾市2025届高三第一次教学质量监测数学试题

2025届高三第一次教学质量监测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2､答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 4. 某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下： 成绩 频数 5 25 30 20 10 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100名学生成绩的极差为60分 B. 100名学生成绩的中位数大于70分 C. 100名学生成绩的平均数大于60分 D. 100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若曲线与恰有一个公共点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，对称中心为的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 或 D. 线段中点的横坐标为 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 是的极大值点 B 函数有两个零点 C. 若方程有两根，则 D. 若方程有两根，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为______. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______. 14. 已知，函数.若曲线与直线交于两点，设的横坐标分别为，写出与的一个关系式：__________；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 （1）将列联表补充完整； （2）根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ （3）若把上表中频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3841 6635 10.828 17. 如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知数列满足，点在直线上. （1）设，证明等比数列： （2）求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 19. 已知：①定积分的定义： 设为定义在上的连续非负函数，为求轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法： 将区间分为个小区间，每个小区间长度为，每个区间即可表示为，再分别过每个区间的左右端点作轴的垂线与图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图， 当时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由轴围成的曲边梯形的面积，即，上式也记为，即对在上求定积分. ②定积分的计算：其中. 根据以上信息，回答以下问题： （1）已知，求证：. （2）将轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值； （3）试证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第一次教学质量监测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2､答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念，即可得答案； 【详解】， ， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性化简集合，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】，则. 故选：A 3. 已知平面向量满足，则（ ） A 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得化简得，结合已知条件和数量积公式，再由向量的模长公式代入即可求出. 【详解】由于，所以， 又因为所以 所以， 所以. 故选：C. 4. 某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下： 成绩 频数 5 25 30 20 10 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100名学生成绩的极差为60分 B. 100名学生成绩的中位数大于70分 C. 100名学生成绩的平均数大于60分 D. 100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过 【答案】C 【解析】 【分析】由极差，中位数以及平均数的定义，逐一计算，即可得到结果. 【详解】对于A，由表格可知，100名学生成绩的极差可能为60，故A错误； 对于B，由表格可知，100名学生成绩的中位数位于之间，故B错误； 对于C，平均数为， 故C正确； 对于D，100名学生中成绩大于60分的人数所占比例为， 故D错误； 故选：C 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 6. 圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得为等边三角形，且其外接圆的圆心即为圆锥的外接球的球心，代入计算，即可得到结果. 【详解】 设圆锥底面圆的圆心为，底面圆的半径为，外接球的半径为， 做出圆锥的轴截面，可知为等腰三角形，又， 则为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心即为外接圆的圆心， 且，， 则球的半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：B 7. 设函数，若曲线与恰有一个公共点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】确定两个函数都是偶函数，它们的图象在轴以外的交点个数为偶数，因此题中只有一个公共点，因此它们的交点只能在轴上，由此可确定参数值． 【详解】设，则， 时，，递减，时，，递增， ，是偶函数，是偶函数，轴是它们的图象的对称轴， 在上递减，在上递增，， 因此它们的图象在轴以外的交点个数是偶数（含0）， 若，则，，易知它们的图象有两个交点，不合题意； 若，则在上递减，在上递增，， 因此它们的图象如果有交点，交点不可能在轴上，从而交点个数为偶数，不合题意； 若，则在上递增，在上递减，， 它们的图象只有一个交点，则，解得． 故选：B． 8. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当且仅当时，方案一平均购买成本比方案二更低 B. 当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C. 无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D. 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，对称中心为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据正弦及余弦函数，一次函数得图象特征代入判断对称中心判断A,B,C，再根据对称中心的定义计算判断D. 【详解】对于A：令可得，所以关于对称，A选项正确； 对于B：令可得，所以不关于对称，B选项不正确； 对于C：令可得，所以关于对称，C选项正确； 对于D：令， 则 ， 所以关于对称，D选项正确； 故选：ACD 10. 已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 或 D. 线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线，可知焦点，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 11. 下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有两个零点 C. 若方程有两根，则 D. 若方程有两根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数求出函数的单调性和的解即可判断AB；对于CD，不妨设， 由得，进而由得，接着利用放缩不等式即可得解. 【详解】因为，所以，， 所以当时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 令（舍）或， 对于A，由上可知是的极大值点，故A正确； 对于B，由上可知函数只有1个零点，故B错误； 对于CD，方程有两根，则， 不妨设， 则由上可知， 则，所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以时即， 所以，故，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：判断CD的关键1是由得，从而得到不等式；关键2是利用对不等式进行放缩得到，进而得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意结合全概率公式即可直接计算得解. 【详解】由题得甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、， 所以现任取一个零件，由全概率可得它是正品的概率为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由结合正弦定理和双曲线定义求出和，接着由求出和，再结合勾股定理、和离心率公式即可计算得解. 【详解】因为，所以由正弦定理得即， 又，所以即， 故，由得，， 由题可得且， 所以， 所以即. 故答案为： 14. 已知，函数.若曲线与直线交于两点，设的横坐标分别为，写出与的一个关系式：__________；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为__________. 【答案】 ①. （或此式的合理变形也可以）； ②. 4 【解析】 【分析】空1：由题意结合函数与图象性质可得到，进而两式相减变形整理即可得解； 空2：将空1所得的解变形为代入可得，再结合即可求解. 【详解】不妨设，则由函数与图象性质可知， 所以，两式相减得， 所以即， 因为，所以， 所以，代入得，即， 又，所以. 故答案为：（或此式的合理变形也可以）；4. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是抓住函数与图象性质得到，进而两式相减变形整理即可依次求得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件结合两角和的正切公式得，再结合角A的范围和即可得解. （2）先由（1）结合已知条件和求出，再由余弦定理求出进而得解. 【小问1详解】 由题得， 因为，， 故，，所以. 【小问2详解】 由（1）得，故由和得， 所以，故， 所以的周长为. 16. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 （1）将列联表补充完整； （2）根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ （3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析； （2）根据的独立性检验，不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联； （3）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）由题意以及表格数据即可填写. （2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据计算，再根据小概率值作出判断即可. （3）先求随机变量，接着依次求各随机变量取值相应的概率即可得分布列，再由二项分布的数学期望公式去计算即可得. 【小问1详解】 由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 【小问2详解】 零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关， 由（1）可得， 则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，故不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联. 【小问3详解】 由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 17. 如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）若，且为中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设与交于点G，连接，则由题意可依次得和，再结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）先求证平面，取中点，连接得，取中点，连接，由得，进而可建立如图所示的空间直角坐标系，再按空间角的向量法步骤去计算求解即可. 【小问1详解】 设与交于点G，连接， 则由为正三角形可得， 又由四边形为菱形可得， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得， 又，，平面，所以平面， 取中点，连接，则由为正三角形可得， 因为，所以， 又平面，平面，所以， 取中点，连接，则，故且， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由上是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足，点在直线上. （1）设，证明为等比数列： （2）求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2），； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即可完成证明； （2）由（1）可得数列通项公式，后由分组求和法可得答案； （3）可证得，即可完成证明. 【小问1详解】 证明：因点在直线，则. 则，即，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1），. 则； 【小问3详解】 证明：由（2），. 则当时，； 当（）时，注意到， 则 则 . 综上，当时，. 19. 已知：①定积分的定义： 设为定义在上的连续非负函数，为求轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法： 将区间分为个小区间，每个小区间长度为，每个区间即可表示为，再分别过每个区间的左右端点作轴的垂线与图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图， 当时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由轴围成的曲边梯形的面积，即，上式也记为，即对在上求定积分. ②定积分的计算：其中. 根据以上信息，回答以下问题： （1）已知，求证：. （2）将轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值； （3）试证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据定积分的计算求出，接着再构造函数利用导数工具求证即可得证； （2）由题意即可直接得到轴围成图形面积的定积分的形式与面积和的极限形式，接着由定积分形式结合定积分的计算即可得其值； （3）由题意将分成100个等长的小区间，分“用每个小区间的右端点的函数值近似代替小矩形的长”和“用每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长”两种情况讨论分析每个小矩形的面积和面积的和，再结合函数单调性得出端点值与每个小区间的平均函数值的大小关系即可得出面积的和与定积分的大小关系，进而得证. 【小问1详解】 根据定积分的计算得，其中（为常数）， 所以， 下证： 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，所以， 所以时. 【小问2详解】 由题意可得轴围成的图形面积的定积分形式为：； 面积和的极限形式为：（右端点） （或（左端点），两个面积和的极限形式写一个就行）， 设（为常数），则， 所以. 所以轴围成的图形面积的值为. 【小问3详解】 在求解轴围成的图形面积中， 由定义将分成100个等长的小区间， ①若用每个小区间右端点的函数值近似代替小矩形的长， 则每个小矩形的面积为：， 所以， 由于在上递减且递减越来越慢， 所以每个小区间的右端点的函数值小于该区间的平均函数值， 所以，即. ②若用每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长， 则每个小矩形的面积为：， 所以， 同理，由于在上递减且递减越来越慢， 所以每个小区间的左端点的函数值大于该区间的平均函数值， 所以，即. 综上，. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$