第四章一次函数（面积存在问题）专题 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上第四单元一次函数（面积存在问题）讲义 知识点一：面积等分问题 例1．（2023春•景县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2024春•秦都区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝kx+b的图象l1经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图象l2交于点B（m，2），与x轴交于点C． （1）填空：①直线l1的表达式为 　 　． ②当y1＞y2＞0时，x的取值范围是 　 　． （2）在y轴上是否存在一点P，满足S△BOP＝3S△BOC，若存在请求出点P坐标． 变式2．（2022秋•西安期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AC交y轴于点C（0，6），交直线OA于点A（4，2），有一动点M在线段OA和线段AC上运动． （1）求直线AC的表达式． （2）分别求出△OAC与△OAB的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出点M的坐标． 变式3．（2022秋•秦都区校级月考）如图，已知直线l1：y＝﹣x+t与x轴交于点A，将直线l1沿y轴向上平移7个单位得到直线l2，l2分别交x轴、y轴于点B、C，且点C的坐标为（0，6），点P为线段BC上一点，连接OP． （1）求点A和点B的坐标； （2）是否存在点P，使得OP将△OBC的面积分为1：2的两部分？若存在，求出A、P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由． 变式4．（2023秋•雁塔区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B． （1）求直线AB的解析式； （2）点D是在直线AB上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 知识点二：面积相等问题 例1．（2024春•白河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+6（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，将直线l1沿x轴向左平移8个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接AD． （1）求点B的坐标和直线l2的函数解析式； （2）在直线l2上是否存在点P，使得△ACP的面积与△ABD的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2022秋•莲湖区校级期中）如图①，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以点B为直角顶点在第一象限内作直角△ABC，AB＝BC，BC所在直线为． （1）直接写出A，B两点的坐标A（ 　 　，　 　），B（ 　 　，　 　）； （2）求点C的坐标及b的值； （3）如图②，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E（﹣1，﹣1），连接AE交x轴于点F，在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2023秋•秦都区校级月考）【问题提出】 （1）如图①，点D为△ABC的边AC的中点，连接BD，若△ABD的面积为3，则△ABC的面积为 　 　； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接OA，作AB⊥x轴于点B，若AB＝2OB，，过点B的直线l将△OAB分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，A（24，7），B（28，4），C（25，0），为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路l1（路宽不计），并且使直线l1将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线l1与AB所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路l2（路宽不计），并且使直线l2将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线l1和l2是否存在？若存在，请求出直线l1和l2的函数表达式；若不存在，请说明理由． 变式3．（2023秋•雁塔区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），一次函数y＝3x+6分别与x轴和y轴交于点C和点B． （1）求直线AB的解析式； （2）点D是在直线AB上的动点，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$