专题08 直线与圆的方程-【中职专用】湖北省十年（2016-2024）技能高考数学真题分类汇编

专题08 直线与圆的方程 1. 了解两点间的距离以及中点公式 ； 2. 理解直线的倾斜角与斜率 ； 3. 掌握直线的点斜式，斜截式方程 ； 4. 理解直线的一般式方程 ； 5. 掌握两条相交直线的交点以及夹角 6. 理解两条直线垂直，平行的条件；了解点到直线的距离公式。 7. 掌握圆的方程；理解直线与圆的位置关系。 考点01 直线方程 1.（2016年湖北技能高考）若直线的倾斜角，且横截距为-2，则的一般式方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 2.（2017年湖北技能高考）与直线垂直且过点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，与其垂直的直线的斜率为3，又过点，由点斜式方程得y-2=3(x-1)，化为一般式为。故选C. 考点02 圆的方程 3.（2018年湖北技能高考）解答下列问题： （1）求以直线与y轴的交点为圆心，且经过点A（2，3）的圆的一般方程。 （2）已知直线，直线与垂直，且点B（0，1）到的距离为2，求的一般式方程。 【答案】(1)圆的一般方程为;(2)或 【解析】（Ⅰ）令，代入得圆心坐标为，又因为所求圆经过点A 得圆的半径为，得圆的标准方程为 故圆的一般方程为。 （Ⅱ）由，得的斜率为，由于与垂直，因此的斜率为 设的纵截距为，得的斜截式方程为，得的一般式方程为 依题意，由点到直线的距离公式，得 得或 故的一般方程为或 4.（2019年湖北技能高考）解答下列问题： （1）已知直线与、轴的交点分别为A、B，直线经过线段AB的中点，且纵截距为，求的一般式方程； （2）设直线与轴的交点为P，求以P为圆心，以点到直线的距离为半径的圆的一般方程. 【答案】（1） （2）． 【解析】【1】令，代入得，.令，代入得，. 则线段AB的中点坐标为.设l的斜截式方程为，由于l过点，且纵截距为， 解得.因此l的斜截式方程为.故l的一般式方程为. 【2】令，代入，得圆心. 由点到直线的距离公式得， 圆的半径为 因此所求圆的标准方程为， 故所求圆的一般方程为． 考点03 直线与圆的位置关系 5.（2016年湖北技能高考）解答下列问题： (Ⅰ)已知直线经过点，且垂直于直线，求的横截距和纵截距； (Ⅱ)设直线与轴的交点为，求以为圆心，且与直线相切的圆的一般方程. 【答案】（1）纵截距为，横截距为；（2）圆的标准方程为 【解析】（1）由于直线的斜率，又直线垂直于直线 因此的斜率，又经过点 得直线的方程为，或 令代入的方程得其纵截距为，令代入的方程得其横截距为 (Ⅱ)令，代入，得得圆心的坐标为，又圆心到直线的距离为 而所求圆与直线相切，得所求圆的半径 得所求圆的标准方程为 6.（2017年湖北技能高考）已知直线l1: , ，直线l1 与l2的交点为P.（1）求交点P的坐标；（2）设直线l与l3平行且经过点P，求直线l的一般式方程； （3）判断（2）中所求直线l与圆C：的位置关系. 【答案】（1）(0，1)；（2）一般式方程为3x－4y＋4＝0；（3）相离。 【解析】　(1)解方程组，得，故直线l1与l2的交点P的坐标为(0，1)． (2)由l3：3x－4y＋7＝0得直线l3的斜率为，而直线l与l3平行，得直线l的斜率也为，又直线l经过点P(0，1)，得直线l的点斜式方程为y－1＝ (x－0)， 故直线l的一般式方程为3x－4y＋4＝0. (3)由圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0得圆心坐标为(1，－2)，半径r＝2， 圆心到直线l的距离为d＝＝3>r，故直线l与圆C相离． 7.（2020年湖北技能高考）已知直线l过点和，直线平行于l且过点． （1）求的一般式方程； （2）设圆C与相切，且圆心为l与x轴的交点，求圆C的一般方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】（Ⅰ）由直线过点和，得的斜率为 由与平行，得得斜率，又过点 所以的点斜式方程为， 故的一般式方程为。 (Ⅱ) 由圆的圆心为与轴的交点，得圆心坐标为，又与相切， 得的半径为 所以的标准方程为 故的一般方程为 8.（2021年湖北技能高考） 已知直线l经过点，且与直线：垂直． （1）求直线l的方程； （2）设圆C与直线l相切，且圆心为直线与直线：的交点，求圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】【1】因为直线与直线垂直.可设直线的方程为. 因为直线过点.所以解得. 所以直线方程为 【2】由可得.所以圆心为.因直线与圆相切. 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即. 所以圆的方程为. 9.（2022年湖北技能高考）如图，光线从点射到轴上点处，然后被轴反射，记反射光线所在直线为. （1）求的方程； （2）求以线段为直径的圆的方程，并判断该圆与的位置关系。 【答案】（1）；（2），相切 【解析】解：(1)由点和点，得 为反射光线，则， 又过点 则 或。 (2)由为直径，故圆心为，半径 故圆的方程：，即或. 圆心到直线的距离，圆与的位置关系是相切。 10.（2023年湖北技能高考）已知圆的方程为 x²+y²+2x-8=0直线 l过点 P(-2,2),且圆心到l的距离为1. (1)求该圆的圆心坐标和半径，并判断 l与该圆的位置关系； (2)求l的方程. 【答案】（1） 圆心坐标（-1,0），半径为3，直线与圆的位置关系为相交 （2）l的方程x=-2或3x+4y-2=0 【解析】(1)解：因为圆的方程为 x²+y²+2x-8=0标准式为， 所以圆心坐标（-1,0），半径为3 圆心到l的距离为1小于半径3，所以l与该圆的位置关系为相交。 (2)当直线斜率不存在时，直线l的方程x=-2 当直线斜率存在时，直线l的方程y-2=k(x+2), 因为圆心（-1，0）到直线l的距离为1， 圆心到直线的距离 直线l的方程 3x+4y-2=0。 考点04 圆的方程实际应用 11.（2024年湖北技能高考） 赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥.树人职校综合实践小组拟用打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、 一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度|AB|=80cm，圆拱高|OP|=20cm， 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系.试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为60cm，高为9cm，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥.请说明理由. 【答案】（1）. （2）能通过，理由见详解. 【解析】（1）由题意可知，，， 设圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则，， 所以， 解得，所以，， 所以圆弧所在圆的圆心为，半径为， 所以圆弧所在圆的方程为. （2） 设小船模型的下底边为，则，， 将代入圆的方程中得， 解得或（舍）， 因为小船模型的高为，， 所以该小船能通过（1）中的石拱桥. 第7页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 直线与圆的方程 1. 了解两点间的距离以及中点公式 ； 2. 理解直线的倾斜角与斜率 ； 3. 掌握直线的点斜式，斜截式方程 ； 4. 理解直线的一般式方程 ； 5. 掌握两条相交直线的交点以及夹角 6. 理解两条直线垂直，平行的条件；了解点到直线的距离公式。 7. 掌握圆的方程；理解直线与圆的位置关系。 考点01 直线方程 1.（2016年湖北技能高考）若直线的倾斜角，且横截距为-2，则的一般式方程是（ ） A． B． C． D． 2.（2017年湖北技能高考）与直线垂直且过点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 考点02 圆的方程 3.（2018年湖北技能高考）解答下列问题： （1）求以直线与y轴的交点为圆心，且经过点A（2，3）的圆的一般方程。 （2）已知直线，直线与垂直，且点B（0，1）到的距离为2，求的一般式方程。 4.（2019年湖北技能高考）解答下列问题： （1）已知直线与、轴的交点分别为A、B，直线经过线段AB的中点，且纵截距为，求的一般式方程； （2）设直线与轴的交点为P，求以P为圆心，以点到直线的距离为半径的圆的一般方程. 考点03 直线与圆的位置关系 5.（2016年湖北技能高考）解答下列问题： (Ⅰ)已知直线经过点，且垂直于直线，求的横截距和纵截距； (Ⅱ)设直线与轴的交点为，求以为圆心，且与直线相切的圆的一般方程. 6. （2017年湖北技能高考）已知直线l1: , ，直线l1 与l2的交点为P. （1）求交点P的坐标； （2）设直线l与l3平行且经过点P，求直线l的一般式方程； （3）判断（2）中所求直线l与圆C：的位置关系. 7.（2020年湖北技能高考）已知直线l过点和，直线平行于l且过点． （1）求的一般式方程； （2）设圆C与相切，且圆心为l与x轴的交点，求圆C的一般方程． 8.（2021年湖北技能高考） 已知直线l经过点，且与直线：垂直． （1）求直线l的方程； （2）设圆C与直线l相切，且圆心为直线与直线：的交点，求圆C的方程． 9.（2022年湖北技能高考）如图，光线从点射到轴上点处，然后被轴反射，记反射光线所在直线为. （1）求的方程； （2）求以线段为直径的圆的方程，并判断该圆与的位置关系。 10.（2023年湖北技能高考）已知圆的方程为 x²+y²+2x-8=0直线 l过点 P(-2,2),且圆心到l的距离为1. (1)求该圆的圆心坐标和半径，并判断 l与该圆的位置关系； (2)求l的方程. 考点04 圆的方程实际应用 11.（2024年湖北技能高考） 赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥.树人职校综合实践小组拟用打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、 一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. （1）如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度|AB|=80cm，圆拱高|OP|=20cm， 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系.试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； （2）若制作的小船模型的宽为60cm，高为9cm，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥.请说明理由. 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$