1.3.3 第2课时 等比数列的前n项和的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

等比数列的前n项和的应用 (深化课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．掌握等差数列与等比数列的综合应用． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 等比数列前n项和的实际应用 题型(二)　递推公式的实际应用 题型(三)　分组转化法求和 4 课时跟踪检测 题型(一)　 等比数列前n项和的实际应用 01 [例1]　某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1) 解：设每期应付款x元，则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息， 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 所以每期应付款176元． 方法技巧 应用等比数列解决实际问题的一般思路 (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题； (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用知识求解． 针对训练 题型(二)　递推公式的实际应用 02 [例2]　某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3) 解：设经过n年后，该项目的资金为an万元． 由题意得，an＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)， 即{an－800}成一个等比数列，a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，a1－800＝250， 即至少经过12年，该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标． 方法技巧 理解题意，建立数列中an与an＋1或an与an－1之间的关系，构造数列，确定数列的通项公式求解．　　 2．某城市2022年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为an， 则容易得到an和an－1的递推关系： an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)， 针对训练 并且数列{an}为递增数列，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆， 即b≤3.6. 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆． 题型(三)　分组转化法求和 03 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 又2a2＋a4＝13，S7＝49， 所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. 方法技巧 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和．　　 3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N＋)， 当n＝1时，a2＝2＋a1＝2＋2＝4， 针对训练 当n≥2时，由an＋1＝2＋Sn可得an＝2＋Sn－1， 上述两个等式作差可得an＋1－an＝an，可得an＋1＝2an， 又因为a2＝2a1，所以数列{an}为等比数列， 且首项为2，公比为2，所以an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)可得bn＝2n－1＋a2n＝2n－1＋4n， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 4．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　 ) A．190 B．191 C．192 D．193 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 5．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是(　 ) A．33 B．64 C．65 D．127 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：将开始时的细胞个数记为a1＝2,1小时后的细胞个数记为a2＝3,2小时后的细胞个数记为a3＝5,3小时后的细胞个数记为a4＝9，…，由题意可得a1＝2，当n≥2时，an＝2an－1－1，则an－1＝2(an－1－1)，所以数列{an－1}是以2为公比，1为首项的等比数列，所以an－1＝2n－1，所以an＝2n－1＋1，所以6小时后细胞存活个数为a7＝26＋1＝65. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是______毫克，若该患者坚持长期服用此药______明显副作用(此空填“有”或“无”)． 350 　无 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题意可设第n次服药后，其体内的残留量为an， 则a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200×1.5＝300，a3＝200＋a2×(1－50%)＝200＋200×1.5×0.5＝350， 故第二天早上他第三次服药后，药在他体内的残留量为350毫克；该患者若长期服用此药， ∵0.5n>0，则400(1－0.5n)<400， ∴长期服用此药无明显副作用． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8．已知数列{an}为等比数列，a2＝2，a5＝16，bn＝log2an，cn＝an＋bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和Sn. 所以an＝a2·qn－2＝2·2n－2＝2n－1， 所以bn＝log2an＝log22n－1＝n－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 B级——应用创新 9．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就． 在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1， 余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2,3,3, 4,6,4,5,10，…，则数列{an}的前10项和为______； 若am＝10，m∈N＋，则m的最大值为______． 52 　45 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n＋1行，例如(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系数分别为1,2,1，对应“杨辉三角”的第三行． 若去除所有1的项，则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列{bn}， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 则数列{an}的前10项和为S6－(2×5＋1)＝26－12＝52； 根据“杨辉三角”的分布规律，最后出现am＝10的位置应为去掉 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，(1＋2＋22＋23)，…，(1＋2＋…＋2n－1)，…的前n项和为_____________． 2n＋1－2－n 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 故数列{an}的通项公式为an＝n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12．某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值； (2)证明：在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米． 解：(1)由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积a1＝800平方米． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 要使得a2≥900成立，即要使得960－8t≥900成立，解得t≤7.5. 所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7. (2)证明：由题设得t＝7，代入①式可得 an＋1＝0.13an＋800　②. 用待定系数法，设实数λ满足 an＋1＋λ＝0.13(an＋λ)　③. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则数列{an＋λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n－1. 即an＝(a1＋λ)×0.13n－1－λ， 又因为87×920＝80 040>80 000， 即无论n取多少，正常牧草的面积an不可能超过920平方米． 所以各期付款连同利息之和为x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x. 于是有x＝2 000×1.00812. 解得x＝≈176(元)． 1．某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则： (1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ ∴到2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 解：(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝. ∴2030年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×6＝1 458(辆)． (2)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝256×， 由Sn＞(10 000＋Sn)×，即Sn＞5 000，解得n≥8. 整理可得an－800＝(an－1－800)， ∴an－800＝250n－1，即an＝250n－1＋800， 令an≥4 000，得n≥16，解得n≥12， 即an－b＝0.94. ∴是以0.94为公比，以30－b为首项的等比数列． ∴an－b＝·0.94n－1， 即an＝b＋·0.94n－1. ①当30－b≥0，即b≤1.8时，an≤an－1≤…≤a1＝30. ②当30－b<0，即b>1.8时，an趋近于b， 即an≤60(n∈N＋)，则b≤60， [例3]　已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2＋a4＝13，S7＝49. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2，求数列{bn}的前n项和Tn. 所以解得a1＝1，d＝2， (2)由(1)知bn＝an＋2＝2n－1＋22n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1＋2)＋(3＋23)＋(5＋25)＋…＋(2n－1＋22n－1)＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋＝＋n2. 所以Tn＝(1＋41)＋(3＋42)＋(5＋43)＋…＋[(2n－1)＋4n]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(4＋42＋43＋…＋4n)＝＋＝n2＋. A级——综合提能 1．我国古代的数学名著《九章算术》中记载：“今有蒲生一日，长三尺，蒲生日自半”．其意为今有蒲草第一日长高3尺，以后蒲草每日长高前一日的半数，则蒲草第5日的高度为(　 ) A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 解析：由题意，蒲草每日增长的高度成等比数列，等比数列的首项为3，公比为，蒲草第5日的高度为等比数列前5项和，S5＝＝(尺)． 2．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还(　 ) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 解析：设每年应还x万元，则有x＋x(1＋P)＋x(1＋P)2＋…＋x(1＋P)9＝M(1＋P)10，得 ＝M(1＋P)10，解得x＝. 解析：由题可知，设数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an，即Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋…＋2n－1)，所以Sn＝＋，故Sn＝2n＋1－2＋n2. 解析：设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏(层数从上面数)．由题意知x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝x(1＋2＋22＋23＋…＋26)＝＝127x＝381，∴x＝3.故底层的盏数为26×3＝192. 则此药在体内残留量为＝400(1－0.5n)， 7．已知数列{an}中，an＝2n－1＋，求数列{an}的前n项和Sn. 解：因为an＝2n－1＋， 则Sn＝＋＋＋…＋＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋＝＋＝n2＋. 解：(1)设数列{an}的公比为q，则q3＝＝＝8，所以q＝2， (2)cn＝an＋bn＝2n－1＋n－1，所以Sn＝20＋0＋21＋1＋22＋2＋…＋2n－1＋n－1＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)＝＋＝2n－1＋n(n－1)． 令x＝1，就可以求出该行的系数和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则“杨辉三角”的前n行之和为Sn＝＝2n－1， 则{bn}的前n项和Tn＝，可得当n＝4时，T4＝10， 所有1的项的第9行的最后一项，所以T9＝＝45. 解析：观察数列得到an＝1＋2＋…＋2n－1＝＝2n－1， 所以前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝21＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n. 11．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1＝1也满足an＝n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an＋1＝(1 000－an)×80%＋an×(1－t%)＝800＋an　①. 所以a2＝800＋×800＝960－8t. 由③－②可得－0.87λ＝800，λ＝－， 又因为a1＋λ＝800－<800－＝0，故an<－λ. 所以an<－λ＝<＝920， $$