专题16.2 期中易错题专项复习（考试范围：第11～13章）【35大考点130题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题16.2 期中易错题专项复习【35大考点130题】 （考试范围：第11~13章） 【华东师大版】 【考点1 平方根】 2 【考点2 算术平方根】 3 【考点3 非负数的性质：算术平方根】 4 【考点4 立方根】 5 【考点5 无理数】 6 【考点6 实数及其性质】 8 【考点7 实数与数轴】 9 【考点8 实数大小比较】 13 【考点9 实数的运算】 15 【考点10 实数的应用】 17 【考点11 幂的运算】 20 【考点12 整式的乘法】 23 【考点13 乘法公式】 28 【考点14 整式的除法】 32 【考点15 因式分解】 34 【考点16 全等图形】 40 【考点17 全等三角形的性质】 41 【考点18 全等三角形的判定】 44 【考点19 直角三角形全等的判定】 46 【考点20 全等三角形的判定与性质】 49 【考点21 全等三角形的应用】 54 【考点22 角平分线的性质】 55 【考点23 尺规作角平分线】 56 【考点24 角平分线的判定】 59 【考点25 垂直平分线的性质】 61 【考点26 尺规作垂直平分线】 62 【考点27 垂直平分线的判定】 65 【考点28 等腰三角形的判定】 67 【考点29 等腰三角形的性质】 69 【考点30 等腰三角形的判定与性质】 72 【考点31 等边三角形的判定】 75 【考点32 等边三角形的性质】 77 【考点33 等边三角形的判定与性质】 80 【考点34 含30°角的直角三角形】 85 【考点35 最短路径问题】 88 【考点1 平方根】 1．（23-24八年级·河北沧州·期中）是一个数的算术平方根，则这个数是（  ） A．1 B．2 C．± D． 【答案】D 【详解】（ ）2= ，故选D. 2．（23-24八年级·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 3．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案． 【详解】由题意得：这个自然数a为：， ∴, 故的平方根用m表示为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 【考点2 算术平方根】 4．（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数有平方根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可． 【详解】∵实数有平方根， ∴ ∴． 故选：D． 5．（23-24八年级·安徽黄山·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算．掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据进行估算，从而作出判断． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形， ∴正方形的面积为2， ∴该正方形的边长为：， ∵1＜＜， ∴1＜＜1.5， ∴该正方形的边长最接近整数是：1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键． 【考点3 非负数的性质：算术平方根】 7．（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性质，正确得出，的值是解题关键．非负数和的值均为0时，算术平方根才有意义，直接利用算术平方根的非负性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 当时，， ． 故选：D 8．（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值、有理数的大小比较，根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴的值最大， 故选：A． 9．（23-24八年级·吉林白城·期末）若 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件，解不等式组；根据算术平方根有意义的条件可求得x的值，从而求得y的值．根据算术平方根有意义的条件求出x的值是关键． 【详解】解：由题意得：，即， 故， 所以； 故答案为：． 【考点4 立方根】 10．（23-24八年级·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 11．（23-24八年级·四川凉山·期末）若， ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的变形． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（23-24八年级·全国·期末）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用算术平方根定义解方程，涉及算术平方根、平方根及立方根定义与求法，利用平方根、算术平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得或， 故答案为或． 13．（23-24八年级·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 【考点5 无理数】 15．（23-24八年级·全国·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，并熟悉初中范围内常见无理数如：，等；开方开不尽的数；等有规律的无限不循环小数．根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：①是分数，是有理数； ②是无理数； ③开方开不尽，是无理数； ④是整数，是有理数； ⑤是无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有个， 故答案为：． 16．（23-24八年级·河南开封·期末）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 17．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）请写出一个大于而小于的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可． 【详解】解：大于而小于，即 符合题意的有：， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点6 实数及其性质】 18．（23-24八年级·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里：，，，，，，，， （1）正数集合{______________________}； （2）负整数集合{______________________}； （3）无理数集合{______________________}； 【答案】（1），，；（2），；（3），， 【分析】（1）根据正数的定义进行判断即可； （2）根据负整数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】（1）正数：大于的数．，，均为正数： （2）负整数：小于的整数．，均为负整数： （3）无理数：带圆周率的：开方开不尽的，人造数．故，，均为无理数． 故答案为：（1），，；（2），；（3），，． 【点睛】本题考查了实数的相关概念，掌握正数、负整数、无理数的定义是解题的关键． 19．（23-24八年级·河北邢台·期中）若正方形的边长为a，面积为10，下列关于a的四种说法：①a是10的算术平方根；②a是有理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④3＜a＜4.其中正确的有 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的面积公式可得a=，如何结合算术平方根、无理数的定义，以及数轴和无理数大小比较的知识，逐一判断即可. 【详解】①a是10的算术平方根是正确的； ②a是有理数是错误的； ③a可以用数轴上的一个点来表示是正确的； ④3＜a＜4是正确的. 所以正确的答案为①③④. 【点睛】本题考查了算术平方根、数轴和无理数的相关知识，解题的关键是明确无理数的意义与数轴上点的对应关系以及算术平方根的定义. 20．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，化简． 【答案】 【分析】根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出的符号是解题的关键． 21．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知实数满足,且是负数，求取值范围． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则6-m＜0， 解得：m＞6． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【考点7 实数与数轴】 22．（23-24八年级·江西上饶·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．    (1)实数m的值是_______； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为2 (3) 【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义． （1）通过在数轴上表示的数进行运算． （2）化简绝对值进行运算． （3）根据非负数的意义进行解答． 【详解】（1）解：∵点在点右侧2个单位处， ∴点所表示的数为：，即， 故答案为：； （2）∵， 则， ∴； 答：的值为2． （3）∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：， ∴． ∴． 23．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，数轴上有、、三点，表示和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等． (1)的长为_______；点表示的数为：_______； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值，或者用较大的数减去较小的数． （1）根据数轴上两点间的距离即可求出的长；根据题意可得，即可求出点表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解： 和的对应点分别为、， ， 点到点的距离与点到原点的距离相等， ， 点表示的数为：， 故答案为：；； （2）点所表示的数为：，点表示的数为， ． 24．（23-24八年级·浙江台州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．     ①小正方形的对角线长为 ； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ． （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．    ①大正方形的边长为 ； ②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1） ①； ②，；（2）①；②见解析 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是掌握掌握正方形面积公式和数轴上点表示数的规律． （1）①由小正方形边长为1，可知小正方形的对角线长为； ②表示的数为，表示的数为； （2）①由大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为； ②以表示的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点，点即为所求． 【详解】解：（1）①小正方形边长为1， 小正方形的对角线长为； 故答案为：； ②根据题意，表示的数为，表示的数为； 故答案为：，； （2）①根据已知得，长方形的面积为， 大正方形的面积为5， 大正方形的边长为； 故答案为：； ②以表示的点为圆心，大正方形的边长为半径作弧交原点右侧的数轴于点，如图：    点即为所求． 25．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意得： 点表示的数为， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：与互为相反数， ， ，， 解得：．， ， 的平方根是． 【考点8 实数大小比较】 26．（2024·河南南阳·三模）下列四个实数1，，，中，最小的实数是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵，，， 且， ∴， 则最小的实数为：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小”，是解答此题的关键． 27．（23-24八年级·安徽六安·期中）下列两实数比较大小，表示正确的是（　　） A． B． C．1 D．π 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．7>6， ， 故此选项错误； B．5>3， ， ， 故此选项错误； C．4<5<9， ∴2<<3， ∴， ∴． 故此选项正确； D．π， 故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键． 28．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（　　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据实数的大小关系比较，得到5＜＜6，从而得到3+的范围，就可以求出n的值． 【详解】解：∵＜＜，即5＜＜6， ∴8＜3+＜9， ∴n=9． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的大小关系，解题的关键是能够确定的范围． 【考点9 实数的运算】 29．（23-24八年级·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，根据实数的运算法则分别进行计算，再判断是否为有理数即可． 【详解】解：A、，和为无理数，故不符合题意； B、，和为有理数，故符合题意； C、，和为无理数，故不符合题意； D、，和为无理数，故不符合题意； 故选：B． 30．（23-24八年级·全国·课后作业）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，先根据立方根，算术平方根，有理数的乘方和绝对值将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 31．（23-24八年级·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　） A．与 B．23与32 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算出各数值，再进行比较即可． 【详解】解：A、， ，本选项不符合题意； B、，， ，本选项不符合题意； C、， ，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意． 故选：D． 32．（23-24八年级·重庆开州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义、乘方运算分别计算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 33．（23-24八年级·四川内江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 34．（23-24八年级·福建龙岩·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【考点10 实数的应用】 35．（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 36．（23-24八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 37．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【答案】（1）；；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得； （2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得； ②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：；． （2）①∵ ∴3.07公里需要2元 ∵ ∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元 ∴7.93公里所需费用为：（元） ∵ ∴公里所需费用分为三段计费即：    前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元； ∴公里所需费用为：（元） 故答案为：2；3；6． ②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元； ∴乘坐24公里所需费用为：（元） ∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里 ∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：（公里） ∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于公里小于等于32公里． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键． 【考点11 幂的运算】 38．（23-24八年级·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 39．（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，二元一次方程的解，先把化为，化为，得出，即，因为，均为正整数，求出，即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴或， ∴或， 故选：． 40．（23-24八年级·山西朔州·期末）已知，，则的值为（   ） A．25 B．96 C．5 D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算等知识，掌握相关运算法则是解题关键． 利用已知将原式变形，进而结合同底数幂的除法运算法则求出答案． 【详解】解：，， ． 故选：A． 41．（23-24八年级·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 42．（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方等知识点，应用幂的乘方与积的乘方的逆运算将原式变形为，计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】 ； 故选：B． 43．（23-24八年级·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算． 从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 【考点12 整式的乘法】 44．（23-24八年级·山东德州·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a和b，再利用单项式乘以单项式计算结果即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 则这两个单项式分别为：，， ∴它们的积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键． 45．（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）若单项式和的积为，则的值为（    ） A．2 B．30 C．－15 D．15 【答案】D 【分析】先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 【点睛】本题考查单项式与单项式相乘问题，掌握单项式与单项式的乘法法则，会用指数构造等式解决问题是本题解题关键． 46．（23-24八年级·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 47．（23-24八年级·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 48．（2024八年级·全国·专题练习）要使中不含有的四次项，则等于(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】展开后合并同类项，令四次项的系数为零计算即可． 【详解】原式 中不含有的四次项， ， 解得：． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减中不含某项问题，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 49．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）若，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 故选：B． 50．（23-24八年级·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 51．（23-24八年级·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 52．（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，再根据多项式乘法的法则计算即可得． 【详解】解：∵将长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为， 则阴影部分的面积是 ， 故选：B． 53．（23-24八年级·湖南永州·期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【答案】7 【分析】先根据规律可得，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可得． 【详解】解：由题中的规律可知，， 将代入得：， 则， 因为，，，，，， 所以的末位数字是按为一个循环的， 因为， 所以的末位数字与的末位数字相同，即为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【考点13 乘法公式】 54．（23-24八年级·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ， 解得， 故答案为：． 55．（23-24八年级·浙江温州·期末）若，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则． 运用完全平方公式把等式展开得到，进而得到，代数式，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 56．（23-24八年级·四川达州·期末）若，则 【答案】/ 【分析】此题考查完全平方公式的应用和等式的性质．此题中把右边利用完全平方公式展开后和左边进行比较，根据等式的性质可以求出． 【详解】解：∵， 故答案为：． 57．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，将甲、乙两个正方形纸片并列放置，已知H为的中点，连接，．设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，已知，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】10 【分析】根据H为的中点，，得到，得到，根据，计算，解答即可． 本题考查了正方形的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵H为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：10． 58．（23-24八年级·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，根据已知条件设元求解是关键．设，，得，，利用完全平方公式变形得，代入计算即可得答案． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：7． 59．（23-24八年级·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案． 【详解】解：图1的面积为：， 拼成的图2的面积为：， ∴， 故答案为：． 60．（23-24八年级·江苏泰州·期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，根据题意得到，，将阴影部分的面积表示出来，用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， ∵，且两个正方形面积之和为13， ∴，， 阴影部分的面积 ， 故答案为：6． 【考点14 整式的除法】 61．（23-24八年级·山东烟台·期末）若是正整数，且，则 ． 【答案】48 【分析】根据积的乘方运算，单项式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵，n是正整数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方运算，单项式的除法运算，正确的计算是解题的关键． 62．（23-24八年级·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 63．（23-24八年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 64．（23-24八年级·浙江金华·期末）小玲想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为，宽为，则图2的小正方形的边长可用关于和的代数式表示为 ；小玲随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为 ． 【答案】 a−b 【分析】根据图形所表示的长度，列代数式即可；根据图形列出阴影部分与整个矩形的面积，然后求比值即可． 【详解】解：根据题意小正方形的边长为：a−b； ∵图3中阴影部分的面积为：，小长方形的长为，宽为， ∴图4中阴影部分的面积为：，整个图形的面积为：4a（a＋3b）， ∴图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为：， 又由图4得：3a＋3b＝4a， ∴a＝3b， ∴， 故答案为：a−b；． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，分式的化简，关键是用代数式正确表示阴影部分的面积、大矩形的面积． 65．（23-24八年级·浙江杭州·期末）一个长方体的长为，宽为，若这个长方体的体积为，则它的高为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握长方体的体积长宽高和多项式除以单项式法则．根据长方体的体积长宽高，列出算式，根据多项式除以单项式法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 长方体的高为， 故答案为：． 【考点15 因式分解】 66．（23-24八年级·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，因式分解，先对两个多项式分解因式，根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴多项式与的公因式是， 故答案为：． 67．（23-24八年级·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解，得出或，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 即， 解得：或， ∴是是等腰三角形， 故答案为：等腰． 68．（23-24八年级·宁夏银川·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式继续分解因式即可； （3）直接提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 69．（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【详解】（1）解： ，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． 70．（23-24八年级·全国·期末）把一个各个数位均不为0的正整数，重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为．例如，357的差数，2133的差数． (1) ， ； (2)若一个两位数，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值． 【答案】(1)396，4086； (2)396． 【分析】本题考查了用提取公因式法进行因式分解在新定义类问题与数论问题中的应用，分类讨论是解答本题的重要方法，本题具有一定的难度． （1）根据原数的差数的定义即可求解； （2）根据两位数，一个三位数得出的表达式，根据能被11整除及，，讨论出a和b的值，从而可得的最大值． 【详解】（1）， ， 故答案为：396，4086； （2）根据题意，∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵为11的倍数 ∴，22，33 解得：或 ∴，， ，， ∴的最大值为396． 71．（23-24八年级·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； 本题考查了因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（23-24八年级·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【考点16 全等图形】 73．（23-24八年级·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 故选：D． 74．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有 ． 【答案】(2)(3)(6) 【分析】根据全等形是可以完全重合的图形并观察对比图形，进行判定即可． 【详解】(6)以左下角顶点为定点逆时针旋转90°后，与(1)两个实线图形刚好重合， (3)可上下反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合， (2)以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后成图(3)，然后反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合， (4)为平行四边形，而(1)为梯形，所以不能和(1)中图形完全重合， (5)为直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中图形完全重合， 故答案是：(2)(3)(6) 【点睛】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，认真对观察对比是正确解答本题的关键． 【考点17 全等三角形的性质】 75．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 76．（2024八年级·广东佛山·期中）如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项． 【详解】解：如图， ∵ 又∵和全等， 故选：D． 77．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 78．（23-24八年级·河南安阳·期中）三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】如图所示： 由图形可得：， 三个三角形全等， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：． 【考点18 全等三角形的判定】 79．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 80．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 81．（2024八年级·广东佛山·期中）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 【答案】见解析 【分析】根据垂直定义得到∠ACB=∠EFD=90°，根据BF=CD得到BC=DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 【详解】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD， ∴∠ACB＝∠EFD＝90°， ∵BF＝CD， ∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 82．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法即可证明． 【详解】 ， ，， 点D是的中点， ， 在与中， ， ． 【考点19 直角三角形全等的判定】 83．（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定和是直角三角形．利用点O到，的距离，可知和是直角三角形，然后可直接利用求证，即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 又 ，为公共边， ． 故选：A． 84．（23-24八年级·山东聊城·期中）如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形有共四组． 【详解】解：∵于E，于F    ∴ ∵ ∴； ∴ ∵ ∴； ∴ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 85．（23-24八年级·河北邢台·期中）如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加． 【详解】解：∵，， ∴， .，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 86．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定，由为的高得到，根据等腰三角形的判定得出，再根据即可证明 【详解】证明：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【考点20 全等三角形的判定与性质】 87．（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，再根据余角的定义可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， 故选：B 88．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 89．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 【答案】6或12/12或6 【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合． 【详解】解：①当时， ∵， 在与中， ∴， ∴； ②当P运动到与C点重合时，， 在与中， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，才能和全等， 综上所述，或12， 故答案为：6或12． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解． 90．（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出． 【详解】证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． ． 又， ； ． 在和中， ， ． ． 91．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【考点21 全等三角形的应用】 92．（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键． ①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理． 【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意； B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意； C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意； D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 93．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是 ．    【答案】两边及其夹角相等的两个三角形全等 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图，    点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明 ； 故答案为：两边及其夹角相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 【考点22 角平分线的性质】 94．（23-24八年级·四川达州·期中）如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为，然后根据列出方程求解即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ，设面积为， 同理， ， 即， 解得． 故选：B 【考点23 尺规作角平分线】 95．（23-24八年级·湖北荆州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图——作角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键． 当时，最短，由作图可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解． 【详解】如图，由角平分线的作法可知，是的角平分线， ∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 96．（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 97．（23-24八年级·广西来宾·期中）如图，已知中，是边上的高． (1)求作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，以及三角形内角和定理的应用． （1）利用基本作图作平分； （2）先利用三角形内角和计算出∠BAC=80°，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可． 【详解】（1）如图，为所作； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴． 【考点24 角平分线的判定】 98．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，是内一点，且到三边、、的距离，若， ． 【答案】124°/度 【分析】根据角平分线的判定定理得出平分、平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵O到三边、、的距离， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 99．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    【考点25 垂直平分线的性质】 100.（23-24八年级·福建厦门·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 101．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些几何性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【考点26 尺规作垂直平分线】 102．（2024广西河池·八年级期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断． 【详解】解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD， ∴点D即为线段AB的中点， ∴CD为△ABC的边AB上的中线． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键． 103．（2024吉林长春·八年级期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 104．（23-24八年级·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置． 【详解】解：如图：（1）做出的角平分线； （2）连接，作的垂直平分线； （3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M． 【考点27 垂直平分线的判定】 105．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定即可求解，相关基本内容要牢固掌握，灵活运用是正确解答本题的关键． 【详解】 解：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 其中蕴含的道理为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 106．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（    ）    A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，不一定是的垂直平分线，从而可判断A、B选项错误；通过证明可得，，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误． 【详解】解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直但不平分， ∵和不一定相等，和不一定相等， ∴不一定是的垂直平分线，故A，B选项错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴对角线平分，，故C选项正确； 直线是筝形的对称轴，不是，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，对称性，解本题的关键是判断出． 【考点28 等腰三角形的判定】 107．（23-24八年级·浙江杭州·期中）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 108．（23-24八年级·河北承德·期中）是的中线同时平分，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．过作于点，于点，由角平分线的性质得，再证，得即可得出结论． 【详解】解：如图，过作于点，于点， 是的平分线，于，于， ， 是边的中线， ， 在和中， ， ， ． ， 是等腰三角形， 故选：D． 109．（23-24八年级·山西吕梁·期中）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由 ，利用“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【考点29 等腰三角形的性质】 110．（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，在中，，点在上，且 ，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【详解】解：设． ， ， ， ， ， ， ， 在中， 解得：， ， ， 故选：B． 111．（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，在 中，，点，分别在所在直线上，且 ，则吗？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定证得是解决问题的关键．根据，可证得是等腰三角形，得到，，进而得到，即可证明，即可得出结论． 【详解】证明： ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ． 112．（23-24八年级·四川绵阳·期中）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定； （1）先证明，可得，进一步可得结论； （2）先证明，即，结合，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：在与中， ， ， 又， ，即． （2）证明：，点是的中点， ，即， 由（1）知：， ，即， 又， 平分． 113．（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据证明，则可得，再根据等腰三角形“三线合一”即可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵F是的中点， ∴． 【考点30 等腰三角形的判定与性质】 114．（23-24八年级·广东茂名·期中）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．延长交于点E，证明，得到，利用平分，，结合三角形内角和定理，可求得，利用三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的判定可得，由此可求得的长. 【详解】解：延长交于点E，如图所示， ， ，， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 是的一个外角， ，又， ，即， ， . 故选：C. 115．（23-24八年级·江西赣州·期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时， 或或． 故答案为：或或． 116．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE．    (1)求证：； (2)当时．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可求得，从而利用证明； （2）由可知：，推出，利用三角形内角和定理可求得，据此可推出为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴， 同理：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为等腰三角形． 【考点31 等边三角形的判定】 117．（23-24八年级·贵州六盘水·期中）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是（）    A．不等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵ ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：D．    【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到 ． 118．（23-24八年级·河南商丘·期中）下列三角形：①有两个角等于；②有一个角等于的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据等边三角形的判定定理逐项判断即可．等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③根据等边三角形三线合一性质，故正确． 所以能判定是等边三角形的是①②③． 故答案为①②③． 119．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】根据线段垂直平分线和角平分线的性质可得，，，然后利用证明，从而可得，再根据等量代换可得，即可解答． 【详解】解：是等边三角形，理由： 设交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，， 是的角平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【考点32 等边三角形的性质】 120．（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（    ） A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解． 【详解】是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 121．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质是解本题的关键． 先根据等边三角形的性质可得、，再根据角的和差可得，再判断出是的垂直平分线可得，最后根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵等边三角形中，， ∴，，即：是的垂直平分线， ∵， ∴， ∵点E在线段上， ∴， ∴． 故答案为：45． 122．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 【考点33 等边三角形的判定与性质】 123．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案． 【详解】证明：①∵等边和等边， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， 则，故②正确； ③作于N，于F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ④在上截取，连接． 由②知， ∴， 由③知：平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形，则， 故， ∵， ∴，故④错误； 正确的有①②③，共3个． 故选：C． 124．（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 125．（2024河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)6 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，以及平行线的性质， （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，；结合题意可得是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一的性质可得平分，根据角平分线的定义得到；根据平行线的性质得到，推得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【考点34 含30°角的直角三角形】 126．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 127．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为 ．（用含字母的代数式表示）    【答案】b 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由，得出，，是等边三角形，那么，再求出．根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么，，从而求出． 【详解】，于， ，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 128．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ，即． 【考点35 最短路径问题】 129．（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    【答案】18 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，即可得到当、、三点共线时，的值最小，此时，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，在上运动， ∴， ∴的周长， ∴要想的周长最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，此时， ∴此时的周长， ∴的周长最小值为， 故答案为：．    130．（23-24八年级·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解；如图所示：作点A的对称点，作点B的对称点，连接，交C街和D街于点， 则， 当点共线时，小明行走的路径最短， 故小明行走的最短路径是，    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.2 期中易错题专项复习【35大考点130题】 （考试范围：第11~13章） 【华东师大版】 【考点1 平方根】 2 【考点2 算术平方根】 3 【考点3 非负数的性质：算术平方根】 4 【考点4 立方根】 5 【考点5 无理数】 6 【考点6 实数及其性质】 8 【考点7 实数与数轴】 9 【考点8 实数大小比较】 13 【考点9 实数的运算】 15 【考点10 实数的应用】 17 【考点11 幂的运算】 20 【考点12 整式的乘法】 23 【考点13 乘法公式】 28 【考点14 整式的除法】 32 【考点15 因式分解】 34 【考点16 全等图形】 40 【考点17 全等三角形的性质】 41 【考点18 全等三角形的判定】 44 【考点19 直角三角形全等的判定】 46 【考点20 全等三角形的判定与性质】 49 【考点21 全等三角形的应用】 54 【考点22 角平分线的性质】 55 【考点23 尺规作角平分线】 56 【考点24 角平分线的判定】 59 【考点25 垂直平分线的性质】 61 【考点26 尺规作垂直平分线】 62 【考点27 垂直平分线的判定】 65 【考点28 等腰三角形的判定】 67 【考点29 等腰三角形的性质】 69 【考点30 等腰三角形的判定与性质】 72 【考点31 等边三角形的判定】 75 【考点32 等边三角形的性质】 77 【考点33 等边三角形的判定与性质】 80 【考点34 含30°角的直角三角形】 85 【考点35 最短路径问题】 88 【考点1 平方根】 1．（23-24八年级·河北沧州·期中）是一个数的算术平方根，则这个数是（  ） A．1 B．2 C．± D． 2．（23-24八年级·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 3．（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【考点2 算术平方根】 4．（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数有平方根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级·安徽黄山·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（  ） A． B． C． D． 【考点3 非负数的性质：算术平方根】 7．（23-24八年级·山东聊城·阶段练习）若，则=（     ） A．－15 B．－9 C．9 D．15 8．（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 9．（23-24八年级·吉林白城·期末）若 ． 【考点4 立方根】 10．（23-24八年级·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 11．（23-24八年级·四川凉山·期末）若， ，那么 ． 12．（23-24八年级·全国·期末）若，则 ． 13．（23-24八年级·安徽池州·期末）若，， ． 14．（23-24八年级·江西新余·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【考点5 无理数】 15．（23-24八年级·全国·期末）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 16．（23-24八年级·河南开封·期末）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 17．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）请写出一个大于而小于的无理数 ． 【考点6 实数及其性质】 18．（23-24八年级·浙江宁波·期中）将下列各数分别填入相应的大括号里：，，，，，，，， （1）正数集合{______________________}； （2）负整数集合{______________________}； （3）无理数集合{______________________}； 19．（23-24八年级·河北邢台·期中）若正方形的边长为a，面积为10，下列关于a的四种说法：①a是10的算术平方根；②a是有理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④3＜a＜4.其中正确的有 (填序号)． 20．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知实数满足，化简． 21．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知实数满足,且是负数，求取值范围． 【考点7 实数与数轴】 22．（23-24八年级·江西上饶·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．    (1)实数m的值是_______； (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值． 23．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，数轴上有、、三点，表示和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等． (1)的长为_______；点表示的数为：_______； (2)求的长． 24．（23-24八年级·浙江台州·期中）（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．     ①小正方形的对角线长为 ； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A，B表示的数分别为 ， ． （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．    ①大正方形的边长为 ； ②请在图4中画出表示的点（保留作图痕迹）． 25．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【考点8 实数大小比较】 26．（2024·河南南阳·三模）下列四个实数1，，，中，最小的实数是（　　） A．1 B． C． D． 27．（23-24八年级·安徽六安·期中）下列两实数比较大小，表示正确的是（　　） A． B． C．1 D．π 28．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（　　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点9 实数的运算】 29．（23-24八年级·安徽合肥·期中）下列各数中，与的和为有理数的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级·全国·课后作业）计算的值是（　　） A． B． C． D． 31．（23-24八年级·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　） A．与 B．23与32 C．与 D．与 32．（23-24八年级·重庆开州·期中）计算： 33．（23-24八年级·四川内江·期中）计算：． 34．（23-24八年级·福建龙岩·期中）计算：． 【考点10 实数的应用】 35．（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 36．（23-24八年级·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 37．（23-24八年级·浙江·期末）阅读材料，回答问题： （1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________． （2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 ①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元； ②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？ 【考点11 幂的运算】 38．（23-24八年级·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 39．（23-24八年级·河北秦皇岛·期中）若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 40．（23-24八年级·山西朔州·期末）已知，，则的值为（   ） A．25 B．96 C．5 D．3 41．（23-24八年级·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 42．（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 43．（23-24八年级·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【考点12 整式的乘法】 44．（23-24八年级·山东德州·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）若单项式和的积为，则的值为（    ） A．2 B．30 C．－15 D．15 46．（23-24八年级·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 48．（2024八年级·全国·专题练习）要使中不含有的四次项，则等于(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 49．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）若，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 51．（23-24八年级·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级·湖南永州·期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【考点13 乘法公式】 54．（23-24八年级·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 55．（23-24八年级·浙江温州·期末）若，则的值是 ． 56．（23-24八年级·四川达州·期末）若，则 57．（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，将甲、乙两个正方形纸片并列放置，已知H为的中点，连接，．设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，已知，则图中阴影部分的面积为 ．    58．（23-24八年级·安徽安庆·期末）已知实数a满足，则的值是 ． 59．（23-24八年级·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 60．（23-24八年级·江苏泰州·期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ． 【考点14 整式的除法】 61．（23-24八年级·山东烟台·期末）若是正整数，且，则 ． 62．（23-24八年级·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为 ，余式为 ． 63．（23-24八年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 64．（23-24八年级·浙江金华·期末）小玲想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为，宽为，则图2的小正方形的边长可用关于和的代数式表示为 ；小玲随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为 ． 65．（23-24八年级·浙江杭州·期末）一个长方体的长为，宽为，若这个长方体的体积为，则它的高为 （用含a，b的代数式表示）． 【考点15 因式分解】 66．（23-24八年级·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 67．（23-24八年级·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 68．（23-24八年级·宁夏银川·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)． 69．（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 70．（23-24八年级·全国·期末）把一个各个数位均不为0的正整数，重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为．例如，357的差数，2133的差数． (1) ， ； (2)若一个两位数，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值． 71．（23-24八年级·陕西汉中·期末）阅读材料：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 利用上述“配方法”分解因式： (1)； (2)． 72．（23-24八年级·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【考点16 全等图形】 73．（23-24八年级·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 74．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有 ． 【考点17 全等三角形的性质】 75．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 76．（2024八年级·广东佛山·期中）如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 77．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，，，则的度数为 ． 78．（23-24八年级·河南安阳·期中）三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 【考点18 全等三角形的判定】 79．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 80．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    81．（2024八年级·广东佛山·期中）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF． 82．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 【考点19 直角三角形全等的判定】 83．（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 84．（23-24八年级·山东聊城·期中）如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 85．（23-24八年级·河北邢台·期中）如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 86．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：如图，，为的高，E为上一点，交于F且有．求证：． 【考点20 全等三角形的判定与性质】 87．（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（    ） A． B． C． D． 88．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 89．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 90．（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：． 91．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【考点21 全等三角形的应用】 92．（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 93．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是 ．    【考点22 角平分线的性质】 94．（23-24八年级·四川达州·期中）如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【考点23 尺规作角平分线】 95．（23-24八年级·湖北荆州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 96．（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 97．（23-24八年级·广西来宾·期中）如图，已知中，是边上的高． (1)求作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 【考点24 角平分线的判定】 98．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，是内一点，且到三边、、的距离，若， ． 99．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【考点25 垂直平分线的性质】 100.（23-24八年级·福建厦门·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 101．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【考点26 尺规作垂直平分线】 102．（2024广西河池·八年级期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A．   B．   C．   D．   103．（2024吉林长春·八年级期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 104．（23-24八年级·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 【考点27 垂直平分线的判定】 105．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图所示的仪器中，．小州把这个仪器放在直线l上，使点落在直线l上，作直线，则，其中蕴含的道理是 106．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（    ）    A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【考点28 等腰三角形的判定】 107．（23-24八年级·浙江杭州·期中）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 108．（23-24八年级·河北承德·期中）是的中线同时平分，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 109．（23-24八年级·山西吕梁·期中）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【考点29 等腰三角形的性质】 110．（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，在中，，点在上，且 ，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 111．（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，在 中，，点，分别在所在直线上，且 ，则吗？请说明理由． 112．（23-24八年级·四川绵阳·期中）如图，在中，，点是的中点，且与交于点． (1)证明：； (2)证明：平分． 113．（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 【考点30 等腰三角形的判定与性质】 114．（23-24八年级·广东茂名·期中）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 115．（23-24八年级·江西赣州·期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    116．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE．    (1)求证：； (2)当时．判断的形状，并说明理由． 【考点31 等边三角形的判定】 117．（23-24八年级·贵州六盘水·期中）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是（）    A．不等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 118．（23-24八年级·河南商丘·期中）下列三角形：①有两个角等于；②有一个角等于的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 ． 119．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【考点32 等边三角形的性质】 120．（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（    ） A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 121．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，，则 °． 122．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【考点33 等边三角形的判定与性质】 123．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 124．（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 125．（2024河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【考点34 含30°角的直角三角形】 126．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 127．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为 ．（用含字母的代数式表示）    128．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点35 最短路径问题】 129．（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在等腰中，，点在边上，连接，且，，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．    130．（23-24八年级·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$