3.2.1 第2课时 双曲线的标准方程的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

双曲线的标准方程的综合应用(深化课—题型研究式教学) 第 2 课时 课时目标 进一步掌握双曲线的标准方程及几何性质，并应用它们解决与双曲线有关的应用问题及直线与双曲线的综合问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　双曲线的实际应用 题型(二)　判断直线与双曲线 的位置关系 题型(三)　弦长问题 4 题型(四)　中点弦问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　双曲线的实际应用 01 √ 方法技巧 求解与双曲线有关的应用题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，设出相应点的坐标，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述，转化为数学问题求解．   针对训练 题型(二)　判断直线与双曲线 的位置关系 02 [例2]　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 变式拓展 若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”，确定满足条件的实数k的取值范围． 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点． 方法技巧 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 针对训练 √ 题型(三)　弦长问题 03 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： 方法技巧 针对训练 √ 题型(四)　中点弦问题 04 √ 即直线AB的斜率为1，方程为y－2＝x－1⇒x－y＋1＝0，代入双曲线方程中，得y2－4y－14＝0， 因为(－4)2－4×1×(－14)>0，所以线段AB存在，故选C. 中点弦问题的解决方法 方法技巧 根与系数 的关系法 直线与双曲线方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点 点差法 利用弦两端点适合双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系．若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率 针对训练 √ 课时跟踪检测 05 A级——综合提能 1．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的(　 ) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行．故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”．故必要性满足．所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要且不充分条件． 2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　 ) A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　 ) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (－2,0)，(4,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 若b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，b＝0时，无公共点；b≠0时，有一个公共点． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8．已知焦距为4的双曲线的焦点在x轴上，且过点P(2,3)． (1)求该双曲线的方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 [例1]　从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD＝1，则该双曲线的焦距为(　 ) A. B. C．2 D. 解析：如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则该双曲线过点(，)，且a＝1，所以－＝1，解得b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝3，得c＝，所以该双曲线的焦距为2. 1．A，B，C是我方三个炮兵阵地．A在B的正东，相距6千米；C在B的北偏西30°，相距4千米．P为敌炮兵阵地．某时刻A发现P地某种信号，4秒后B，C两地才同时发现这种信号(该信号的传播速度为1千米/秒)．若从A地炮击P地，求准确炮击的方位角． ∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．其中a＝2，c＝3，b2＝5，其方程为－＝1(x≥2)，又PB＝PC， 解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，依题意PB－PA＝4， ∴P又在线段BC的垂直平分线上，作PD⊥BC于点D，则直线PD：x－y＋7＝0，由方程组结合x≥2，解得即P(8，5)．由于kAP＝，可知P在北偏东30°方向． 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ＞0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ＜0⇔直线与双曲线相离，没有公共点． 解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． 解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 由得k＝±， 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)·(－k2－4)＝4(4－3k2)． 故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． 2．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：由题知，双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以直线l：y＝与双曲线的一条渐近线平行，由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点． [例3]　已知双曲线C的方程为－y2＝1，直线l：y＝x－1与双曲线C交于A，B两点，求AB. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x2＋3x－6＝0，由Δ＝32－4××(－6)＝15>0，所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24， 即AB＝·＝·＝10. ①AB＝|x1－x2| ＝； ②AB＝|y1－y2| ＝(k≠0)． 3．过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线交双曲线于A，B两点，若AB＝4，则这样的直线有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：双曲线x2－＝1的右焦点为(，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝，代入双曲线x2－＝1可得y＝±2，即AB＝4，满足条件； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－0＝k(x－)，代入双曲线x2－＝1可得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝(2k2)2－4(2－k2)·(－3k2－2)＝12k4＋4(2－k2)(3k2＋2)＝16k2＋16>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以 AB＝4＝，两边平方可得6k2＝3，解得k＝±，所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选C. [例4]　设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(1,2)，则直线AB的方程是(　 ) A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得＝，因为线段AB的中点为M(1,2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，因此由＝⇒＝1， 4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－4，－7)，则E的方程为(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：直线l的方程为y＝·(x－3)，即y＝x－3，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，由消去y并整理得(b2－a2)x2＋6a2x－a2(9＋b2)＝0， Δ＝36a4－4a2(a2－b2)(9＋b2)＝4a2b2(9＋b2－a2)>0，因为弦AB的中点为N(－4，－7)， 于是得－＝－4，即a2＝b2，而a2＋b2＝9，解得a2＝，b2＝，满足Δ>0，所以双曲线E的方程为－＝1，即－＝1. 解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2. 解析：法一　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2)． 法二　设直线y＝x－1与双曲线2x2－y2＝3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得2x－y＝3,2x－y＝3，作差整理得kAB＝＝＝＝1　①， 又M在y＝x－1上，则有y0＝x0－1　②， 联立①②解得x0＝－1，y0＝－2，所以M(－1，－2)． 解析：将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1得3x2＋2x－2＝0.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴AB＝|x1－x2|＝·＝. 4．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为(　 ) A. B. C. D. 5．已知双曲线C：－＝1，直线l：x－2y＋2＝0，则直线l与双曲线C的公共点的坐标为_______________． 解析：由题意，联立方程组解得因此，所求公共点的坐标为(－2，0)，(4,3)． 6.如图，B地在A地的正东方向4 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________________． x2－＝1(x≥1) 解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．则DA－DB＝2，根据双曲线的定义知，曲线PQ的轨迹为双曲线的右支．故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故曲线PQ的轨迹方程为x2－＝1(x≥1) 7．讨论直线y＝x＋b与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数． 解：联立直线和双曲线方程消去y得x2－(x＋b)2＝1. 整理得2bx＋b2＋1＝0　①， 若b＝0，则方程①变为1＝0，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为y＝x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则PF1－PF2＝2＝2a，所以a＝1.又c＝2，所以b＝， 所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)由题意得直线m的方程为y＝x－2， 联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0. 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2, x1x2＝－， 由弦长公式得AB＝6. B级——应用创新 9．[多选]已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是(　 ) A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为米 D．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680米 解析：设爆炸点为P，由已知得PA－PB＝2×340＝680(米)．∵680<AB＝800，∴A错误，B正确． 设爆炸点与监测点的距离为r米，依题意得声强f(x)＝，k>0.记PA＝r1，PB＝r2.若4f(r1)＝f(r2)，则＝，∴r1＝2r2.又r1－r2＝680，∴r2＝680，故C错误，D正确． 10．已知A，B为双曲线x2－＝1上两点，且线段AB的中点坐标为(－1，－4)，则直线AB的斜率为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 11．已知直线MN：y＝x＋2和双曲线C：－＝1相交于M，N两点，O为原点，则△OMN面积为________． 解析：联立得x2－4x－24＝0，设M(x1，y1)， N(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－24，所以MN＝ 4 ＝，又因为点O到直线MN的距离为d＝， 所以S△OMN＝MN·d＝××＝4. 12．经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点． (1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1，两式相减得x－x－＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)－(y1－y2) (y1＋y2)＝0，因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，所以4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以直线的斜率为k＝＝4， 所以l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6， 经验证y＝4x－6符合题意，所以直线l的方程为y＝4x－6. (2)将y＝4x－6代入x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以AB＝·＝× ＝. 13.如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP运到P处，其中AP＝100 m，BP＝150 m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工？ 解：由题知，设M为分界线上任一点，则MA＋AP＝MB＋BP， 即MA－MB＝PB－PA＝50 m，所以M在以A，B为焦点的双曲线的右支上．在△PAB中，由余弦定理得AB2＝PA2＋PB2－2PA·PBcos 60°＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，所以以AB所在直线为x轴，AB中点为 原点建立平面直角坐标系，可得分界线所在的曲线方程为－＝1(x≥25)．故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工． $$