3.2.1 第1课时 双曲线的定义及其标准方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）  

3．2.1 双曲线的标准方程 双曲线的定义及其标准方程 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法)． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一) 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的__________________等于常数 (小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线 焦点 _________________叫作双曲线的焦点 焦距 _________________叫作双曲线的焦距 符号语言 |PF1－PF2|＝常数(常数小于F1F2) 距离之差的绝对值 两个定点F1，F2 两个焦点间的距离 微点助解 (1)在双曲线定义中，若PF1－PF2＝常数(0<常数<F1F2)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2)． (2)常数的大小与点P的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<常数<F1F2 动点P的轨迹是双曲线 常数＝F1F2 动点P的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 常数>F1F2 动点P不存在，因而轨迹不存在 常数＝0 动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 基点训练 已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足PF1－PF2＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 √ 解析：依题意得F1F2＝10，当a＝3时，因为PF1－PF2＝2a＝6<F1F2，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝F1F2，故点P的轨迹为一条射线． (二)双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 _________________ ______________________ 焦距 F1F2＝____ a，b，c的关系 b2＝________ F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c c2－a2 续表 微点助解 (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上． (3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示． 基点训练 √ √ 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 方法技巧 针对训练 题型(二)　利用双曲线的标准方程求参数 方法技巧 针对训练 √ √ √ 解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选AB. 题型(三)　双曲线的定义及应用 1．若例4中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离． 变式拓展 2．若例4中的条件“PF1·PF2＝32”变成“PF1∶PF2＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 方法技巧 针对训练 √ √ √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　 ) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (－3,2)∪(3，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，A错误； 对于B，若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，B正确； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则PS＝PT，MS＝MA，NA＝NT，所以PM－PN＝MA－NA＝9－1＝8，且8<MN＝10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)， 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 1．方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为(　 ) A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：由方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A. 2．以F1(－，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1，故选A. [例1]　根据下列条件，分别求双曲线的标准方程． (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． 解：(1)法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 由于点P和Q在双曲线上， ∴解得 (舍去)． 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 综上，双曲线的标准方程为－＝1. 法二　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵P，Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二　∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5,2)； (2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点； (3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点． 解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(－5,2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，因此，双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，因此双曲线的标准方程为－＝1. (3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1. [例2]　求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值； (2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值． 解：(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1， 所以＋k＝32，即k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1， 所以－k＋＝32，即k＝－6. 综上所述，k的值为6或－6. (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1. 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 (1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线． (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围． 2．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　 ) A．(5，＋∞) B．(－2,2)∪(5，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2) 解析：∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)＞0.即 或解得k＞5或－2＜k＜2. 3．[多选]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值可以是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 [例3]　已知M是双曲线－＝1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若MF1＝5，则MF2＝(　 ) 解析：因为M是双曲线－＝1上一点，所以所以 由双曲线定义可知|MF1－MF2|＝2a＝4， 所以MF2＝1或MF2＝9，又MF2≥c－a＝2，所以MF2＝9，故选C. [例4]　已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，求△F1PF2的面积． 解：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5， 所以2a＝6,2c＝10. 因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，所以PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16. 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6， 所以|10－PF2|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16. 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6.又PF1∶PF2＝2∶5，所以PF2＝10，PF1＝4.因为F1F2＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形．易得PF1边上的高为4，所以S＝×4×4＝8. 4．已知双曲线－＝1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则ON等于(　 ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离MF2＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以ON＝MF2＝4. 5．设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　 ) A．22 B．16 C．14 D．12 解析：由题意知|F1F2|＝2＝10，由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22. 6．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　 ) A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3) C.＋＝1(0<x<2) 　 D.＋＝1(0<x<3) 解析：如图设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有AD＝AE＝5，BF＝BE＝1，CD＝CF，所以CA－CB＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以方程为－＝1(x>2)． A．1 B．1或－2 C．1或 D. 解析：由题意知解得a＝1. 3．过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是(　 ) A.－y2＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1 解析：由＝，知b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入可得a2＝，则双曲线方程为－y2＝1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1. 4．已知点M(2,0)，N(－2,0)，动点P满足条件PM－PN＝2，则动点P的轨迹方程为(　 ) A.－y2＝1(x≥) B.－y2＝1(x≤－) C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≤－1) 解析：因为M(2,0)，N(－2,0)，所以MN＝4，动点P满足PM－PN＝2<MN，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有c＝2，a＝1，b＝＝，所以动点P的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 5．设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当PF1＝6时，△PF1F2的面积为(　 ) A．4 B．3 C. D．6 解析：∵双曲线C：x2－＝1，∴a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，PF1＝6，∴PF1－PF2＝2a,6－PF2＝2，即PF2＝4，又F1F2＝2c＝4，∴△PF1F2的面积为×6× ＝3. 6．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于________． 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 7．双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为____． 解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0)，则右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝. 8．若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________． 解析：依题意有或解得－3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)． 9．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5,6)； (3)a＝4，经过点A； (4)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)． 解：(1)由已知得c＝5,2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1. (2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 2a＝|－|＝|13－5|＝8，因此a＝4，从而b2＝62－42＝20. 因此，所求双曲线的标准方程是－＝1. (3)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2＝9， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (4)设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14 (舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1. 10．已知椭圆C1：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，)在双曲线C2上． (1)求双曲线C2的方程； (2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 解：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，∴F1(－2,0)，F2(2,0)， ∵A(3，)， ∴2a＝|AF1－AF2|＝|－|＝2， ∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2， ∴双曲线C2的方程为－＝1. (2)设点P在双曲线的右支上，并且设PF1＝x，PF2＝y， ∴变形为(x－y)2＋xy＝16⇒8＋xy＝16⇒xy＝8， ∴S△PF1F2＝PF1·PF2sin 60°＝2. B级——应用创新 11．[多选]关于x，y的方程＋＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　 ) A．焦点在y轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．长轴长为2的椭圆 对于C，若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，C正确； 对于D，若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a＝2，a＝，则或无解，D错误．故选BC. 12．在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5,0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为(　 ) A.－＝1(x>4) B.－＝1(x<－4) C.－＝1(x>4或x<－4) D.－＝1 这里2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)． 13．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　 ) A. B. C. D. 解析：设PF1＝d1，PF2＝d2，则d1＋d2＝2①，|d1－d2|＝2②， ①2＋②2，得d＋d＝18.①2－②2，得2d1d2＝6. 而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝. 14．已知A(7,3)，双曲线C：－＝1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则PF－PA的最大值是(　 ) A．－1 B．2 C. D．9 解析：若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则PF－PF′＝2a＝4，AF′＝5，而PA≥PF′－AF′，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以PF－PA≤PF－PF′＋AF′＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立． 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状． 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝3，b2＝2， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝2，又MF1＋MF2＝6，故解得MF1＝4，MF2＝2，又F1F2＝2， 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角． 故△MF1F2为钝角三角形． 16．已知定点A(－，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程； (2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程． 解：(1)由题意知，|PA－PB|＝2<AB＝2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，c＝， ∴b＝＝1，故曲线C的方程为－y2＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得＝y－y，即＝(y1－y2)(y1＋y2)， ∵点Q为MN的中点，故 ∴＝，即直线MN的斜率为，又过点Q，故直线MN的方程为y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0. $$