第1章 1.6 第2课时 距离公式的综合应用(深化课—题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）  

距离公式的综合应用 (深化课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1．进一步掌握距离公式的应用，初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题. 2．能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　坐标法及应用 题型(二)　与平面图形有关的 距离问题 题型(三)　平行直线间距离的 最值问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　坐标法及应用 01 [例1]　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． 用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． 方法技巧 1．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 针对训练 证明：如图，以Rt△CAB的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)． 设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，BC的中点为D. 因为D是斜边BC的中点， 题型(二)　与平面图形有关的距离问题 02 解：(1)设点D(x0，y0)， 与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下，善于发现、利用几何特征，并借助直线方程、距离公式进行解决．　　 方法技巧 针对训练 解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 解得m＝±4. 又m>0， 所以m＝4， 故直线CD的方程为x＋2y－8＝0. (2)设点D的坐标为(a，b)． 题型(三)　平行直线间距离的最值问题 03 [例3]　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 题型(三)　数列的递推公式及应用 解：(1)如图，显然有0<d≤|AB|. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．　　 方法技巧 3．已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________． 针对训练 x＋2y－3＝0 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是(　 ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 所以|AB|＝|AC|≠|BC|， 且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2， 故△ABC是等腰非等边三角形． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知直线l1：mx－y－2m＝0，直线l2与l1平行且经过点Q(－1,4)，则l1，l2之间距离的最大值是(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直， 解得a＝2. 所以线段AB的中点为P(0,5)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据题意，设点P的坐标为(x0,0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得x0＝4或x0＝－10， 即点P的坐标为(4,0)或(－10,0)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.如图，在△ABC中，A(5，－2)，B(7,4)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则点C的坐标为_____________，|AC|＝_______. (－5，－4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设C(x，y)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0. 所以λ＝±3， 即直线方程为x－1＝0或4x－3y＋5＝0， 所以所求直线的条数为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15°或75° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由两条平行直线的距离公式， 即该直线与直线l1的夹角为30°， 又直线l1的倾斜角为45°， 则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知△ABC的顶点坐标为A(0,5)，B(1，－2)，C(－5，4)． (1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程； (2)求直线AB的方程及△ABC的面积． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)根据两点的斜率公式， 根据两条直线垂直时的斜率关系可知， 所求直线的斜率为1， 而高线经过点A(0,5)， 由直线斜截式方程得y－5＝x， 故所求直线的方程是x－y＋5＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)根据两点的斜率公式， 又因为经过点A(0,5)， 所以由直线斜截式方程得y－5＝－7x， 故直线AB的方程是7x＋y－5＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：|AP|＝|PQ|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的正半轴建立平面直角坐标系．如图所示， 设正方形的边长为a， 则A(0，a)，C(a，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形全等求得点Q坐标)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，使得|OP|＝1， 所以原点O到直线l的距离小于等于1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两条直线距离相等的直线上， 设该直线方程为x＋y＋c＝0， 即c＝－6， ∴点M在直线x＋y－6＝0上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为________________． x＋y－3＝0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以b2＝9，b＝±3. 但b>1， 所以b＝3，从而得到直线l2的方程为x＋y－3＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)因为a>0，由(1)得a＝3， 所以l1：2x－y＋3＝0.设存在点P(m，n)(m>0，n>0)满足题意， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)直线l1：mx＋y－m－2＝0， 即m(x－1)＋y－2＝0， 令x－1＝0， 解得x＝1，y＝2， 可得直线l1的定点P(1,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴n＝3或n＝19， 故直线l2：3x＋4y－3＝0或3x＋4y－19＝0. (2)由过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，设A(a,0)，B(0，b)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 令t＝ab>0， 则有t2－8t≥0， 解得t<0(舍去)或t≥8， ∴t的最小值为8. ∴|AC|＝＝，|BD|＝＝. 故|AC|＝|BD|. 故点D的坐标为， 即D.由两点间距离公式得|BC|＝＝，|AD|＝＝ ， 所以|AD|＝|BC|， 因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． [例2]　已知▱ABCD，A(1,2)，B(2,4)，C，求： (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离； (2)平行四边形ABCD的面积． 则线段BD的中点坐标为，依题意，线段AC的中点坐标为，由平行四边形性质知 解得x0＝－，y0＝3， 即2x－y＋4＝0， 所以点A(1，2)到直线CD的距离d＝＝. 所以点D的坐标为. 直线CD的斜率k＝＝2， 直线CD的方程为y－5＝2， (2)由(1)知，线段CD的长|CD|＝＝， 所以平行四边形ABCD的面积S＝|CD|·d＝×＝4. 2.如图，已知▱ABCD的面积为8，A为原点，点B的坐标为(2，－1)，点C，D在第一象限． (1)求直线CD的方程； (2)若|BC|＝，求点D的横坐标． 因为▱ABCD的面积为8，|AB|＝， 所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝－. 设直线CD的方程为y＝－x＋m(m>0)， 即x＋2y－2m＝0. 所以AB与CD的距离为. 易知直线AB的方程为x＋2y＝0，于是＝， 故点D的横坐标为或2. 因为|BC|＝， 所以|AD|＝. 所以解得或 而|AB|＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]． 而kAB＝＝， 解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 解析：根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3， 解析：直线l1：mx－y－2m＝0，即y＝m(x－2)，恒过定点A(2,0)．显然若直线l2平行于l1且过点Q，则l1，l2之间距离的最大值为|AQ|＝＝5. 3．已知两条直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：直线3ax－y－2＝0经过定点A(0，－2)．(2a－1)x＋5ay－1＝0化为a(2x＋5y)－x－1＝0，令解得x＝－1，y＝，即直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B.则|AB|＝＝. 4．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　 ) A．11 B．10 C．9 D．8 所以2×＝－1， 设A(m,2m)，B， 则 解得 所以A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10. 5．已知点P为x轴上的点，A(－1,2)，B(0,3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为(　 ) A．(4,0)或(10,0) B．(4,0)或(－10,0) C．(－4,0)或(10,0) D．(－4,0)或(11,0) 则kAB＝＝1， 故直线AB为y－3＝x， 即x－y＋3＝0，故P到直线AB的距离为d＝＝， 又因为|AB|＝＝， 所以S△ABC＝|AB|d＝××＝， 2 由题意得 解得 所以点C的坐标是(－5，－4)，|AC|＝＝2. 因为原点到直线的距离d＝＝1， 8．若某直线被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为____________． 可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝. 又直线被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2， 可得kBC＝＝－1， 可得kAB＝＝－7， 由两点间距离公式可得|AB|＝＝5， 由点到直线距离公式，可得点C到AB的距离是d＝＝， 所以△ABC的面积是S△ABC＝×5×＝18. 设点P的坐标为(t,0)(0<t<a)．kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)　①， lCQ：y＝x－a　②. ∵|AP|＝，|PQ|＝， ∴|AP|＝|PQ|. B级——应用创新 11．已知直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，满足|OP|＝1，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 即≤1， 解得0≤k≤， 即实数k的取值范围是. 12．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　 ) A．3 B．2 C． D．4 则＝， 即＝3. 13．已知点A(－，0)，B(cos α，sin α)且|AB|＝2，则α的一个值为____________________________________．(写出符合题意的一个答案即可) (答案不唯一，符合＋kπ，k∈Z即可) 解析：根据两点间的距离公式，得＝2，即sin2α＋cos2α＋3＋2cos α＝4，即cos α＝0，所以α可以为. 所以AD＝，BC＝b，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离， 故h＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 15．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且原点到直线l1的距离是. (1)求a的值； (2)若a>0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)因为原点到直线l1的距离是， 即d＝＝， 所以a＝±3. 则点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍有＝2×， 即|4m－2n－1|＝4|2m－n＋3|＝|8m－4n＋12|①， 点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，＝⇒|2m－n＋3|＝|m＋n－1|②， m>0，n>0③，联立①②③解得m＝，n＝， 故存在满足上述三个条件的点P. 16．已知直线l1：mx＋y－m－2＝0，l2：3x＋4y－n＝0. (1)求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为； (2)过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程． ∵定点P(1,2)到直线l2：3x＋4y－n＝0的距离为＝， 则P，A，B三点共线，＝， ∴ ab＝2a＋b≥2， ∴△AOB面积为ab最小值为4，此时a＝2，b＝4，直线l的斜率为－2，直线l的方程为y－2＝－2(x－1)， 即2x＋y－4＝0. $$