7.2 第1课时 离散型随机变量及其分布列（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

7.2 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量及其分布列 (概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 理解随机变量及离散型随机变量的含义；掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质；理解两点分布. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　随机变量的概念及表示 逐点清(二)　离散型随机 变量的分布列 逐点清(三)　两点分布 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　随机变量的概念及表示 01 多维度理解 1.相关概念 随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量 离散型随机变量的概念 可能取值为_______或______________的随机变量，称为离散型随机变量 表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z 唯一 有限个 可以一一列举 2.离散型随机变量的特征 (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值. (4)试验结果能一一列出. 细微点练明 1.[多选]下列变量是随机变量的是 (　　) A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程x2-2x-3=0的实根个数 √ √ √ 解析：随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A、B、C都符合随机变量的定义；方程x2-2x-3=0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误. 2.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是 (　　) A.某足球队在5次点球中进球的次数 B.某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D.某高中每年参加高考的人数 √ √ 3.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为 (　　) A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点 √ 解析：由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，因此“X>4”只有一种情况，也就是“X=5”，所以“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点. 4.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数为X. (1)写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； 解：X的所有可能的取值为0，1，2，3. “X=0”表示取出3个黑球；“X=1”表示取出1个白球2个黑球； “X=2”表示取出2个白球1个黑球；“X=3”表示取出3个白球. (2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型. 解：由题意可得Y=5X+6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的各值是6，11，16，21，故Y的可能取值为6，11，16，21，显然Y为离散型随机变量. 逐点清(二)　离散型随机 变量的分布列 02 多维度理解 1.定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的_____________，简称_________. 概率分布列 分布列 2.表示 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如表)，还可以用_______表示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3.性质 (1)pi≥____，i=1，2，…，n； (2)p1+p2+…+pn=____. 图形 0 1 微点助解 　　离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础. (1)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和. (2)离散型随机变量的分布列的性质可以检查所写分布列是否正确. 细微点练明 1.已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)： 则下列计算结果正确的是 (　　) A.P(X<2)=0.7 B.P(X≥2)=0.6 C.P(X≥3)=0.3 D.P(X≤1)=0.2 解析：易得a=0.1，P(X≥3)=0.3. X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a √ 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X=2)= (　　) X 1 2 3 P a 2a 3a A.B. C. D. 解析：依题意得a+2a+3a=1，解得a=，所以P(X=2)=2×=. √ 3.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为X，则X的分布列为 (　　) A. X 1 2 P B. X 0 1 P C. X 0 1 2 P D. X 0 1 2 P √ 解析：因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，X的取值可能为0，1，2.P(X=0)=×=，P(X=1)=2××=，P(X=2)=×=，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 4.已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则实数m的值为_____.  解析：由离散型随机变量分布列的性质，得m+++=1，解得m=. 逐点清(三)　两点分布 03 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如表所示： 多维度理解 X 0 1 P 1-p p 　我们称X服从______分布或0-1分布. 两点 微点助解 　　两点分布的特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；(2)由对立事件的概率可知P(X=0)+P(X=1)=1. 1.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是 (　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X= D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 细微点练明 √ 解析：由题意可知B、C、D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A. 2.若离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=4-5P(X=0)=p，则p= (　　) A.B. C. D. 解析：由题意得P(X=0)=1-p.∵4-5P(X=0)=p，∴4-5(1-p)=p，解得p=.故选D. √ 3.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=1)等于 (　　) A.0 B. C. D. √ 解析：设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 由p+2p=1，得p=，所以P(X=1)=2p=. X 0 1 P p 2p 4.在射击试验中，令X=如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为_________.  答案： X 0 1 P 0.1 0.9 解析：由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.1 0.9 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.袋中装有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 (　　) A.1，2，3，…，6 B.1，2，3，…，7 C.0，1，2，…，5 D.1，2，…，5 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7，即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1，2，3，…，7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示 (　　) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以{ξ=3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是 (　　) X 3 4 5 9 P +a A. B. C. D. 解析：由题意可得++a++=1，解得a=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)=0.3，那么 (　　) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9 解析：由题意知P(X<4)=3P(X=1)=0.3，∴P(X=1)=0.1，又nP(X=1)=1，∴n=10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值之和是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：若甲抢到一题但答错，乙抢到两题都答错，则X=-1；若甲没抢到题，乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题，一对一错，乙抢到一题但答错，则X=0；若甲抢到一题并答对，乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题，两对一错，则X=1；若甲抢到两题且答对，则X=2；若甲抢到三题且答对，则X=3，∴X所有可能取值之和为-1+0 +1+2+3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ =k表示的试验结果为 (　　) A.第k-1次检测到正品，而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品，而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品，而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品，而第k+1次检测到次品 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意ξ =k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k+1次检测的是一件次品. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.某次园林博览会上“花艺园”的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是 (　　) A.B. C. D. 解析：设任取1盆的编号为随机变量X，∴X的可能取值为0，1，2，…，9，且P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=9)=，∴P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X-1|≤1)等于 (　　) X -1 0 1 2 P m A. B. C. D. 解析：由分布列的性质可得+m++=1，则m=，P(|X-1|≤1) =P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为____________，其中X=4表示的试验结果有______种.  3，4，5，6 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8，P(X=1)=0.2，令Y=3X-2，则P(Y=-2)= _______.  解析：因为Y=3X-2，所以当Y=-2时，X=0，所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8. 0.8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.若随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3)，则P(X=2)= _____.  解析：∵随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3)，∴++=1，解得a=3，∴P(X=2)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：根据题意可知X的可能取值为0，1，2，3. {X=0}表示“取5个球全是红球”； {X=1}表示“取1个白球，4个红球”； {X=2}表示“取2个白球，3个红球”； {X=3}表示“取3个白球，2个红球”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数. 解：根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7. {X=4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”； {X=5}表示“在前4局中有1人输了1局，后一局此人胜出”； {X=6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”； {X=7}表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)设A=“使得m+n=0成立的有序数组(m，n)”，试列举事件A包含的样本点； 解：由x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S且m+n=0，所以事件A包含的样本点为(-2，2)，(2，-2)，(-1，1)，(1，-1)，(0，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)设X=m2，求X的分布列. 解：由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以X=m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有P(X=0)=，P(X=1)==，P(X=4)==，P(X=9)=. 故X的分布列为 X 0 1 4 9 P $$