6.2.3&6.2.4 第1课时 组合与组合数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）  

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 组合与组合数 (强基课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.通过实例理解组合的概念，知道组合与排列的区别与联系. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材· 自主落实主干基础 1.组合的概念 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合相同 两个组合只要______相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 作为一组 元素 微点助解 　　区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.排列与组合都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素. 2.组合数的概念、公式、性质 组合数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 _____ 组合数公式 乘积式 =_________________________ 阶乘式 =___________ 所有不同组合 = 性质 ==+ 备注 ①n，m∈N*且m≤n； ②规定=1 续表 基点训练 1.[多选]下列问题属于组合问题的是 (　　) A.由1，2，3，4构成双元素集合 B.5支球队进行单循环足球比赛的分组情况 C.由1，2，3构成两位数的方法 D.由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 √ √ 解析：由集合元素的无序性可知A属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故B是组合问题；C、D中两位数顺序不同数字不同，为排列问题. 2.下列计算结果为21的是 (　　) A.+ B. C. D. 解析：==21. √ 3.若=10，则n=____.  5 课堂环节/题点研究· 迁移应用融会贯通 题型(一)　组合概念的理解 [例1]　判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场? 解：单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果? 解：冠、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法? 解：3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法? 解：3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题. [思维建模] (1)组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可，与顺序无关. (2)判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题. 针对训练 1.以下四个问题，属于组合问题的是 (　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. √ 2.写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解：含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 题型(二)　组合数与组合数公式的应用 [例2]　(1)求值：+++…+； 解：+++…+ =+++…+ =+++…+ =++…+= ==5 985. (2)解不等式：2<3. 解：因为2<3，所以2<3， 即<. 又因为所以x≥2.所以<. 所以2≤x<，且x∈N*，所以x=2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}. [思维建模] 关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. (2)涉及字母的可以用阶乘式=计算. (3)计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 针对训练 3.若=，则+++…+的值为(　　) A.45 B.55 C.120 D.165 解析：因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++ …+=+++…+=++…+=++…+=…= +==165. √ 4.若>，则n的取值集合是(　　) A.{6，7，8，9} B.{6，7，8} C.{n|n≥6，n∈N*} D.{7，8，9} √ 解析：∵>， ∴ 即解得6≤n<10.∵n∈N*， ∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合为{6，7，8，9}. 5.证明下列各等式. (1)=； 证明：∵右边 =· =·===左边，∴原式成立. (2)+++…+=. 证明：∵左边=(+)+++…+=(+)++…+=(+)+…+=(+)+…+=…=+==右边，∴原式成立.   题型(三)　简单的组合问题 [例3]　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人. (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? 解：从这17名学员中选11人，没有限制条件，则有= ==12 376种学员上场方案. (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情? 解：在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，则有· =12 376×11=136 136种方式. [思维建模] 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. (2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. [注意]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 针对训练 6.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 (　　) A.15 B.30 C.35 D.42 解析：由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有+=30种. √ 7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组方法种数为_____.(用数字作答)  解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有=210(种)分法. 210 8.袋中装有大小相同、标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. (1)共有多少种不同结果? 解：从4个白球，5个黑球中任取3个球有=84个不同结果. (2)取出的3个球中有2个白球，1个黑球的结果有几个? 解：设“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为. 所以共有=30种不同的结果. (3)取出的3个球中至少有2个白球的结果有几个? 解：设“取出的3个球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B，B所包含的结果数为+. 所以共有+=34种不同的结果. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——综合提能 1.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.计算2+的值是(　　) A.62 B.102 C.152 D.540 解析：2+=2+=2×+5×4=62，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 (　　) A.种 B.种 C.种 D.30种 解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，即种. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 (　　) A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 解析：从7人中选4人，共有=35(种)选法，4人全是男生的选法有=1(种)，故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]下列结论正确的是 (　　) A.= B.=m C.÷= D.= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由组合数性质，知A正确.B中，=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，=(n-1)(n-2) …(n-m+1)，所以=n，故B错误.对于C，÷===，故C正确.对于D，===，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.不等式-n<5的解集为____________.  解析：由-n<5，得-n<5，所以n2-3n-10<0，解得-2<n<5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n=2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}. {2，3，4} 7.将5个数字5、3个数字3排成一列，组成八位数，共有______个(用数字作答).  解析：数字个数相当于从8位数字中选3个作为3，其余数字都是5，即共有==56个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 56 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2+y2=1所表示的不同椭圆的个数为_____.  解析：因为1≤m<n≤5，所以可以是 ，计算可知====，故x2+y2=1能表示6个不同的椭圆. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知成等差数列，求的值. 解：由已知得2=+，所以2·=+， 整理得n2-21n+98=0，解得n=7或n=14，由于中需n≥12， 所以n=14，所以===91. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法? 解：从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即==45. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法? 解：从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种， 根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法=×=90(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为=，所以抽取的60名学生中初中部应有60×=40(人)，高中部应有60×=20(人)，所以不同的抽样结果共有·种，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是 (　　) A.120 B.204 C.168 D.216 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有2=168个；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有=36个，根据分类加法计数原理，所以共有168+36=204个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为______.  解析：先从5双鞋子中任取1双，有种， 再从剩下的4双中选取两双，并从这两双中每双鞋各取一个，共××种，故共有×××=120种. 120 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知-=，则++++的值为_____ (用数字作答).  解析：由-=可得-=， 即-=， 462 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 化简得1-=，整理得m2-23m+42=0，解得m=2或m=21，因为0≤m≤5，所以m=2， 所以++++=+++=++=+== ==462. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.某足球赛共32支球队参加，先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名.问：这次足球赛共进行了多少场比赛? 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有=6(场)，8个小组共有48场； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场.综上，共有48+8+4+2+2=64(场)比赛. $$