4.3.1 第4课时 构造法求数列通项公式(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

构造法求数列通项公式 (深化课——题型研究式教学) 第4课时 课时目标 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　形如an+1=Aan+B的递推关系 求通项公式 题型(二)　形如an=p+pn的递推关系 求通项公式 题型(三)　形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式 4 课时跟踪检测 题型(一)　形如an+1=Aan+B的 递推关系求通项公式 01 [例1]　已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an. 解:∵an+1=an+, ∴an+1-1=(an-1). 又a1-1=-. ∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列. ∴an-1=-×, ∴an=1-×. 　　[思维建模] 　　对于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0)的递推关系的递推数列, 即数列相邻的次数都是一次,尾巴上有一个常数,求此类数列的通项公式,通常采用待定系数法将其转化为an+1+k=A(an+k)求解. 针对训练 1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,求数列{an}的通项公式. 解:∵an+1=2an+2, ∴an+1+2=2(an+2), 又a1+2=4, ∴{an+2}是以4为首项,2为公比的等比数列, ∴an+2=4×2n-1, ∴an=2n+1-2(n∈N*). 题型(二)　形如an=p+pn的 递推关系求通项公式 02 [例2]　已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式. 解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1, 即-=1, 又=, 所以是以为首项,1为公差的等差数列, 即=+(n-1)×1, 所以an=×2n. 　　[变式拓展] 　本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式. 解:等式两边同时除以2n, 得=+2, 即-=2, 又=, 所以是以为首项,2为公差的等差数列, 所以=+(n-1)×2, 即an=×2n. 　　[思维建模] 　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来. 第二步:写出数列的通项公式. 第三步:写出数列{an}的通项公式. 针对训练 2.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式. 解:由an+1=3an+2×3n+1, 得=+2, ∴-=2, 又=1, 即数列是首项为1,公差为2的等差数列, ∴=2n-1, 得an=(2n-1)·3n. 题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数) 的递推关系求通项公式 03 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　 　　.  解析:因为an+1=,a1=1, 所以an≠0, 所以=+, 即-=. 又a1=1, 则=1, 所以是以1为首项,为公差的等差数列. 所以=+(n-1)×=+. 所以an=. 　　[思维建模] 　　形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 针对训练 3.已知数列{an}满足a1=,且an+1=,则数列an=　 　　　.  解析:由an+1=可得=+3, 所以数列是等差数列, 且首项为2,公差为3, 则=3n-1,an=. 4.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),bn=,则{bn}的通项公式为　　 　　.  解析:数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*), 所以=+3, 所以+3=2, 又+3=4, bn=2n+1-3 故是以4为首项,2为公比的等比数列, 所以+3=4×2n-1=2n+1, 所以bn==2n+1-3. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 √ 1.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 (　 ) A.15 B.255 C.16 D.63 解析:∵an=4an-1+3(n≥2), ∴an+1=4(an-1+1)(n≥2), ∴{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列, 则an+1=4n-1. ∴an=4n-1-1, ∴a5=44-1=255.故选B. 1 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 2.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则a20=(　 ) A. B. C. D. 解析:因为an+1=, 则==+1, 又=, 故是首项为,公差为1的等差数列. =+n-1=n-,an=,a20=.故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是　　　 　.  解析:在正项数列{an}中,=4+4an+1=(2an+1)2, 则有an+1=2an+1, 于是得an+1+1=2(an+1), 而a1+1=3, 因此数列{an+1}是首项为3,公比为2的等比数列, 5 an=3×2n-1-1 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 则有an+1=3×2n-1, 即an=3×2n-1-1, 所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an=　　　　.  解析:∵an+1=an+3n+1, ∴an+1-(n+1)2+=an-n2+, ∴数列为常数列, 又a1=1, 则a1-+=0, ∴an=n2-. 5 n2- 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知数列{an}满足:a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an=　　　　.  解析:由题设,=+(n≥2), 即-=(n≥2), 而=, ∴是首项、公差均为的等差数列, 即=+(n-1)=, ∴an=n·2n-1. 5 n·2n-1 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an=　　　　.  解析:∵3an+1an=an-an+1, ∴-=3,且=1, ∴是以1为首项,3为公差的等差数列, ∴=1+(n-1)·3=3n-2, ∴an=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为 　　　　　　.  解析:由an+1=, 即(n+1)an+1=nan, 故数列{nan}为常数列,a1=1, 即nan=1,an=. 5 an= 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.记Sn为数列{an}的前n项和,若an=-1,则S7=　　　　.  解析:由已知an=-1, 得Sn-Sn-1=-1, 所以Sn-2=2(Sn-1-2)(n≥2), 又a1=-1, 即S1=-2,S1-2=-4, 5 -254 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以{Sn-2}是以-4为首项,2为公比的等比数列, 所以Sn-2=-4×2n-1, 即Sn=2-, 所以S7=2-28=-254. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为　　 　　.  解析:由=3an+1-2an, 得-an+1=2(an+1-an). 又a1=1,a2=3, 所以a2-a1=2≠0, 所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列, 5 an=2n-1 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以an+1-an=2n, 所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1,n≥2, 因为a1=1符合上式, 所以an=2n-1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*). (1)n∈N*时,写出an+1与an之间的递推关系; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)因为3Sn=an+1-2n+2+2　①, 所以当n≥2时,3Sn-1=an-2n+1+2　②, ①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2), 即an+1=4an+2n+1 (n≥2), 在①中,令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式,所以an+1=4an+2n+1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)因为an+1=4an+2n+1, 则an+1+2n+1=4(an+2n), 且a1+2=4≠0, 所以数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列, 所以an+2n=4n,故an=4n-2n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*. (1)求S9的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3, 所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3. 两式相减,得an+2+an+1=4(n+2),n∈N*. 所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)] =3+4×=99. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①, 可得an+an+1=4(n+1)②,n≥2. 因为a1=3,S2+S1=11, 所以a2=5, 又S3+S2=23=2a1+2a2+a3, 所以a3=7. 又由①②得an+2-an=4,n≥2. 所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 即an=2n+1,n为偶数, 则当n≥3,且为奇数时,an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1, 又a1=3,a3=7符合上式,综上得an=2n+1. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5 12.在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式. 解:由an+1=两边减去1得,an+1-1=-1=, 两边取倒数得,===+·, 两边同加得,+=+·=·, 由a1=4, 1 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5 则+=≠0, 所以有=, 故是以为首项,为公比的等比数列. 所以+=·, 故an-1=, 解得an=. $$