4.3.1 第3课时 等比数列的综合应用(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

等比数列的综合应用 (深化课——题型研究式教学) 第3课时 课时目标 1.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题. 2.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.并能解决指数函数单调性问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等比数列的实际应用 题型(二) 等比数列的通项公式与 指数型函数的关系 题型(三)　等差、等比数列的综合问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　等比数列的实际应用 01 [例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 解:(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5, 公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元. (2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. 　　[思维建模] 解等比数列应用题的步骤 (1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意; (2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题; (3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数; (4)还原:即最后转化为实际问题作出回答. 针对训练 1.某制糖厂2011年制糖5万吨,如果从2012年起,平均每年的产量比上一年增加20%,那么到哪一年,该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨? (结果保留到个位,lg 6≈0.778,lg 1.2≈0.079) 解:记该制糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,an,…. 则依题意可得a1=5,=1.2(n≥2且n∈N*), 从而an=5×1.2n-1, 令an>30, 故1.2n-1>6, 即n-1>log1.26=≈≈9.85.故n=11. 即从2021年开始,该制糖厂年制糖量开始超过30万吨. 题型(二) 等比数列的通项公式与 指数型函数的关系 02 　　等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n). (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下: ①当或时,等比数列{an}为递增数列; ②当或时,等比数列{an}为递减数列. ③当q=1时,等比数列{an}为常数列. ④当q<0时,等比数列{an}为摆动数列. 微点助解 (1)q<0或q=1时,等比数列通项公式不具备指数型函数特点. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,只有q>0且q≠1时存在单调性. [例2]　根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是 (　 ) A.an=n B.an= C.an=2-n D.an=log2n 解析:等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. √ [例3]　[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 (　 ) A.q>1⇒{an}为递增数列 B.{an}为递增数列⇒q>1 C.0<q<1⇔{an}为递减数列 √ √ √ 解析:若a1=-2,q=2>1, 则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确; 若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…,是递增数列, 则q=<1,B不正确,D正确; 若a1=-16,q=∈(0,1), 则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确. 　　[思维建模] (1)具备“an=kan(k≠0)”形式,如an=2n-1,an=3×为等比数列. (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,如a1>0,q>1或a1<0,0<q<1, {an}递增;a1>0,0<q<1或a1<0,q>1,{an}递减. 针对训练 2.数列{an}是各项均为实数的等比数列,则“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:∵a2>a1>0, ∴a1q>a1>0, 可得q>1, 于是数列{an}为单调递增数列; 反之不成立,例如数列是单调递增数列, 但a1=-<0. ∴“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件.故选A. √ 3.已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时, a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列. 当数列{an}是递增数列时, 不妨取an=2n, 则a1=2,q=2, 不满足a1(1-q)>0. 故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件. 题型(三)　等差、等比数列的 综合问题 03 [例4]　设{an}是公比大于1的等比数列,已知a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=log2a3n+1,n=1,2,3,…,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)由已知得 解得a2=2. 设数列{an}的公比为q, 由a2=2可得a1=,a3=2q, 由a1+a2+a3=7,可得+2+2q=7, 即2q2-5q+2=0, 解得q=2或q=, 由题意得q>1, ∴q=2,∴a1=1. 故数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由于bn=log2a3n+1, 由(1)得a3n+1=23n, ∴bn=log223n=3n. ∵bn+1-bn=3, ∴{bn}是等差数列,∴Tn=b1+b2+…+bn==. 针对训练 4.在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,问a9是不是数列{bn}中的项?若是,求出是第几项;若不是,请说明理由. 解:(1)设数列{an}的公比为q, 则q4-1===8, 得q=2, 所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2)设等差数列{bn}的公差为d,b3=a3=23=8,b5=a5=25=32. 则d===12, 所以bn=b3+(n-3)d=8+12(n-3)=12n-28. 因为a9=29=512=12×45-28=b45, 所以a9是数列{bn}中的第45项. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 √ A级——综合提能 1.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2=2,a4=8,则{bn}的公比为(　 ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 则a4=8=a2+2d=2+2d, 所以d=3, 所以a2=b2=2=a1+3,a1=b1=-1, 所以q==-2.故选B. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 3 4 √ 2.已知{an}是等差数列,且公差d≠0,若a=,b=,c=,则a,b,c(　 ) A.是等比数列,非等差数列 B.是等差数列,非等比数列 C.既非等比数列,又非等差数列 D.既是等差数列,又是等比数列 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 3 4 解析:由{an}是等差数列,且公差d≠0, 得a1,a3,a5是公差为2d的等差数列, 故a,b,c成等比数列; 若一个数列既是等差数列, 又是等比数列, 则该数列只能是常数列,而a,b,c不是常数列, 故a,b,c不是等差数列. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 3.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为 (　 ) A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 解析:设H1需提供的能量为a,由题意知,H2的能量为10%a, H3的能量为(10%)2a, 即(10%)2a =10, 解得a=103, 所以要能使H3获得10 kJ的能量, 则需H1提供的能量为103 kJ,故选C. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 4.若{an}为等比数列,则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 解析:若等比数列{an}是递增数列, 可得a1<a3<a5一定成立; 反之:例如数列{(-1)n+12n},此时满足a1<a3<a5,但数列{an}不是递增数列. 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 5.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼. 1854年,爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列,记为{an},其将满月等分成240份, ai(1≤i≤15且i∈N*)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如,第1天月球被太阳照亮部分占满月的,即a1=5;第15天为满月,即a15=240.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为d的等差数列,且q,d均为正整数,则a5=(　 ) A.40 B.80 C.96 D.112 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 解析:依题意,有a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240. 当q=1时, d不是正整数; 当q=2时, d=16; 当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数. 所以q=2,d=16,a5=a1q4=80. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 6.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比为　　　　.  解析:设衰分比为q, 则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石, ∴+28+28q=98, 解得q=2或q=. 又0<q<1,∴q=. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 7.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　.  解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5), 解得d=-1, ∴q===1. 1 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 8.若数列a1,,,…,,…,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　.  解析:由题意,得=(-)n-1(n≥2), 所以=-,=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘, 得=(-)1+2+3+4=32. 又a1=1, 所以a5=32. 5 32 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 9.2023年,某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a,甲林场木材存量每年比上年递增25%,而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的存量相等? (2)问两林场木材的总量到2028年能否翻一番? 解:(1)设经过n年两林场木材的存量相等,即 16a(1+25%)n=25a(1-20%)n, 解得n=1, 故到2024年两林场木材的存量相等. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 (2)令n=5, 则16a+25a<2(16a+25a), 故到2028年不能翻一番. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}的公比为q=,且满足a4+b4=9,求满足an<bn的所有正整数n的值. 解:(1)由题意设等差数列{an}的公差为d, 由a1=2,S5=20, 得5a1+10d=20, 解得d=1, 故an=2+n-1=n+1. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 (2)因为等比数列{bn}的公比为q=, 且满足a4+b4=9, 而a4=5, 则b4=4, 故b1===32, 则bn=32×=26-n. 又an<bn, 则n+1<26-n, 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 当n=1,2,3时, n+1<26-n显然成立, 由于n+1随着n的增大而增大, 26-n随着n的增大而减小, 当n≥4时, n+1≥5,26-n≤4, 故当n≥4时, n+1<26-n无解, 故满足an<bn的所有正整数n的值为1,2,3. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ B级——应用创新 11.在等比数列{an}中,已知a1>0,则“a2>a3”是“a3>a6”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 解析:∵a2>a3, ∴a1q>a1q2, 又a1>0, ∴q>q2, 解得0<q<1, ∴等比数列{an}是单调递减数列, ∴a3>a6, ∴充分性成立. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 反之,由a3>a6, 得a1q2>a1q5, 又a1>0, ∴1>q3, ∴q<1且q≠0, ∴等比数列{an}是单调递减数列或摆动数列,不一定得出a2>a3, ∴必要性不成立.故选A. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 5 12.[多选]公比为q的等比数列{an},其前n项和为Sn,前n项积为Tn,满足a1>1,a2 022·a2 023>1,<0,则下列结论正确的是(　 ) A.Tn的最大值为T2 022 B.a2 022·a2 024<1 C.Sn的最大值为S2 024 D.0<q<1 √ √ 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 5 解析:因为公比为q的等比数列{an}满足a1>1,a2 022·a2 023>1,<0, 所以a2 022>1,0<a2 023<1,0<q<1, 故当n=2 022时,Tn取得最大值,A、D正确; a2 022·a2 024=<1,B正确; 因为数列{an}各项为正数, 所以Sn没有最大值,C错误. 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 13.我国生物科技发展日新月异,其中生物制药发展尤其迅速,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少　　　　　年后每年投入的资金可达250万元以上(精确到1年).(参考数据lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)  5 9 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 解析:由题知,某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%,满足等比数列模型,令a1=50,q=1.2, 所以an=50×1.2n-1, 令an=50×1.2n-1>250, 所以1.2n-1>5, 所以n-1>log1.25=≈=8.75, 所以n>9.75, 又因为n为正整数, 所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知数列{an},{bn}满足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差数列,若a10a2 013=2,则b1+b2+…+b2 022=　　　　　　.  解析:∵{bn}为等差数列,设公差为d, 则bn+1=log2an+1,bn=log2an,bn+1-bn=log2=d, 则=2d, 故{an}为等比数列, ∴b1+b2 022=log2a1+log2a2 022=log2(a1a2 022)=log2(a10a2 013)=1, ∴b1+b2+…+b2 022==1 011. 5 1 011 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 15.已知等比数列{an}的首项a1=16,公比q=,在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记数列{bn}的前n项的乘积为Tn,试问:Tn是否有最大值?如果有, 请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 解:(1)由已知得数列{bn}的首项b1=16,b5=a2=16×=1,设数列{bn}的公比为q1(q1>0), 即===, ∴q1=, 即bn=b1=16×=25-n. 5 14 1 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 (2)Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+(5-n)= ==, 即当n=4或5时, Tn有最大值, 最大值为=210=1 024. 5 14 D.q>1{an}为递增数列,且{an}为递增数列q>1 $$