4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式(概念课 逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

4.3.1 等比数列的概念 等比数列的概念与通项公式 (概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等比数列的有关概念 逐点清(二)　等比中项 逐点清(三) 等比数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 等比数列的有关概念 01 多维度理解 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的____一项的____都等于_______常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_____,公比通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列定义的符号表示 =q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). 2 前 比 同一个 公比 微点助解 (1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项. (2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列. 细微点练明 √ 1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 (　 ) ①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2; ③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. √ 2.下列通项公式中代表等比数列的是 (　 ) A.an=c B.an=n+1 C.an=n2 D.an=2n 解析:利用逐个检验,A中,c如果为0, 显然不是等比数列; B,C不符合常数; D中,==2为常数,符合. 3.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比. (1)1,3,32,33,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a1,a2,a3,…,an,…. 解:(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…. ∵==3(n≥2,n∈N*), ∴数列为等比数列,且公比为3. (2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…, ∵=-1≠=2, ∴此数列不是等比数列. (3)当a=0时, 数列为0,0,0,…是常数列, 不是等比数列; 当a≠0时, 数列为a1,a2,a3,…,an,…, 显然此数列为等比数列, 且公比为a. 逐点清(二)　等比中项 02 多维度理解 　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的___________,此时,G2=ab. 等比中项 微点助解 (1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列,如G=a=b=0. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数,即G=±. 细微点练明 √ 1.“G=”是“G是a,b的等比中项”的(　 ) A.既不充分也不必要条件 　　 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 　　 D.充要条件 解析:当G=a=b=0时, 满足G=, 不满足G是a,b的等比中项; 当G是a,b的等比中项时, 如a=1,b=4,G=-2, 但不满足G=, 故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件.故选A. 2.在等比数列{an}中,a1=8,q=,则a4与a8的等比中项是(　 ) A.± B.4 C.±4 D. 解析:由已知可得a6=a1q5=8×=, 由等比中项的性质可得a4a8==, 因此,a4与a8的等比中项是±. √ 3.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为　　　　.  解析:∵1,a,3成等差数列, ∴a==2, ∵1,b,4成等比数列, ∴b2=1×4,b=±2, ∴==±1. ±1 4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则= 　　　　.  解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项, ∴=a1a9. ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d), 解得a1=d, ∴==. 逐点清(三) 等比数列的通项公式 03 　　等比数列的通项公式 　　以a1为首项,q为公比的等比数列{an}的通项公式是an=______(q≠0). 　 a1qn-1 　　 　　微点助解 (1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. (3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. [例1]　在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:因为an=a1qn-1, 所以×=, 即=, 解得n=5. √ [例2]　已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  解析:设等比数列{an}的公比为q, 由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=, 由=a10=a1q9>0⇒a1>0, 又数列{an}递增, 所以q=2. =a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n. 2n 　　[思维建模] a1和q的求法通常有以下两种 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算. 针对训练 1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 (　 ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析:设等比数列{an}的公比为q, 因为4a1,2a2,a3成等差数列, 所以4a1q=4a1+a1q2, 即q2-4q+4=0, 解得q=2. √ 2.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 解:设公比为q,由题意,得 由得q=, ∴a1=32. 又an=1, ∴32×=1, 即26-n=20, ∴n=6. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——综合提能 1.下列三个数依次成等比数列的是(　 ) A.1,4,8 B.-1,2,4 C.9,6,4 D.4,6,8 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:42≠1×8,A错误; 22≠-1×4,B错误; 因为==, 所以9,6,4依次成等比数列,C正确; 62≠4×8,D错误.故选C. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= (　 ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= (　 ) A.±4 B.-4 C.4 D.5 解析:因为实数m是2,8的等比中项, 所以m2=2×8=16, 得m=±4,故选A. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1,记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为an,则数列{an}的各项依次为 (　 ) A.1,,,,… B.,,,,… C.,,,,… D.,,,,… 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:根据题意,a1=1×=,a2=×=,a3=×=, a4=×=,….故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.数列{an}中,“=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对数列{an},an+1=2an, 若a1=0, 则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列; 若{an}是公比为2的等比数列, 则=2, 即an+1=2an. 故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件,故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为　　　.  解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项, 所以 解得a=-4. -4 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在等比数列{an}中,若a1=1,=2a6,则公比q=　　　　.  解析:∵=2a6,a1=1, ∴(q3)2=2q5, 得q=2. 2 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为　　 　　　　.  解析:设这6个数所成等比数列的公比为q, 则5=160q5, ∴q5=, ∴q=. ∴这4个数依次为80,40,20,10. 80,40,20,10 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项. 解:法一　由a4=48,a6=12,设该等比数列的公比为q, 得 ②的两边分别除以①的两边, 得q2=, 解得q=或q=-. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 把q=代入①, 得a1=384. 此时a5=a1q4=384×=24. 把q=-代入①, 得a1=-384. 此时a5=a1q4=-384×=-24. 所以{an}的第5项是24或-24. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为a5是a4与a6的等比中项, 所以=a4a6=48×12=576. 所以a5=±=±24. 所以{an}的第5项是24或-24. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式; (2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:(1)法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 由题意得 解得 ∴an=a1qn-1=×. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　∵{an}为等比数列, ∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由a7=a5q2, 得q2==9, ∴q=±3, 则a1=, 当q=3时, an=a1qn-1=×3n-1=3n-4; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当q=-3时, an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“y2=xz”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:lg x,lg y,lg z成等差数列, ∴2lg y=lg x+lg z, ∴lg(x·z)=lg y2, ∴y2=xz,但y2=xz不能保证x,y,z均为正数,故选A. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.[多选]已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有 (　 ) A.数列{an}是等差数列 B.a2k=7-2k(k∈N*) C.a2k-1=12-2k(k∈N*) D.an+an+1=18-3n √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由an-an+2=2, 得a3=a1-2=8, 因为2a2≠a1+a3, 所以{an}不是等差数列,A不正确; 由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2, 当n=2k(k∈N*)时, a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当n=2k-1(k∈N*)时, a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确; 当n=2时, a2+a3=5+8=13≠18-3×2,故D不正确.故选BC. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2·…·an取得最小值的n为　　　　.  解析:设公比为q, 则q==3, ∴a1-a3=-8a1=-, ∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…, 3或4 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即{an}是递增的等比数列, ∴n=3或n=4时, a1a2·…·an取得最小值. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个 符合条件的通项公式an=_______________________________________ . 解析:因为{an}为正项等比数列, 所以a3a7==4, 所以a5=2, 又q≠1, 不妨令q=2, 所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4. 2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常数列) 且a5=2即可) 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知无穷数列1,1,…,1,…,求证: (1)这个数列是等比数列; (2)这个数列中的任一项是其后第5项的; (3)数列中任两项之积仍为数列中的项. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明:(1)任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1, 则==1, 且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)任取数列中的一项am=1, 则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=,得证. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)任取数列中两项=1,=1, 则=1·1=1. ∵n1≥1,n2≥1, 且n1,n2∈N*,n1≠n2, ∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*, ∴符合已知数列中的项的特点, 即为数列中的项. 5 $$