4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

等差数列的前n项和的应用 (深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列前n项和的实际应用 题型(二) 等差数列前n项和的最值问题 题型(三) 求数列{|an|}的前n项和 4 课时跟踪检测 题型(一) 等差数列前n项和 的实际应用 01 [例1]　某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线? 解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25. 由题意可知,此数列为等差数列, 且a1=24, 公差d=-. 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12× =500, 而需要完成的工作量为24×20=480. ∵500>480, ∴在24小时内能构筑成第二道防线. [思维建模]　应用等差数列解决实际问题的一般思路 针对训练 1.老张为锻炼身体,增强体质,计划从下个月1号开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里,则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 (　 ) A.8 B.9 C.13 D.14 √ 解析:由已知可得这20天日跑步量成等差数列,记为{an}, 设其公差为d,前n项和为Sn,且a1=3, 则S20=20a1+d, 即20×3+d=98, 解得d=, 所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+. 由an>5, 得+>5, 解得n>11, 所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9,故选B. 题型(二)　等差数列前n项和 的最值问题 02 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值. [例2]　在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由题意得 解得 ∴an=3n-12. (2)法一　Sn==(3n2-21n)=-, ∴当n=3或4时,前n项和取得最小值, 最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小, 则 即 解得3≤n≤4, 又n∈N*, ∴当n=3或n=4时, 前n项和取得最小值, 最小值为S3=S4=-18. 　　[变式拓展] 1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n. 解:法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值, 由二次函数的图象可知, 其对称轴为x=, 所以当x=0和x=7时, 图象与x轴的交点为(0,0),(7,0), 又n∈N*, 所以S7=0, 所以n=7. 法二　因为S3=S4, 所以a4=S4-S3=0, 故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0, 所以n=7. 2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 解:法一　要求数列前多少项的和最大,从函数的观点来看, 即求二次函数Sn=an2+bn的最大值, 故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时, Sn最大. 由S3=S11, 可得3a1+d=11a1+d, 即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1, 又a1>0, 所以-<0. 故当n=7时, Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数, 由S3=S11, 可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称. 由法一可知a=-<0, 故当n=7时, Sn最大. 　　[思维建模] 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值. (2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值. (3)利用二次函数的图象的对称性. 针对训练 2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 (　 ) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 √ √ 解析:a1>0且S6=S9, ∴6a1+d=9a1+d, 化为a1+7d=0, 可得a8=0,d<0. S7或S8为Sn的最大值, S5<S6.故选BC. 题型(三) 求数列{|an|}的前n项和 03 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式, ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34, 即当n≤34时, an>0; 当n≥35时, an<0. 法一　①当n≤34时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)= 2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时,同法一. ②当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)= -= n2-n+3 502. 故Tn= 　　[思维建模] 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解. (2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn= (3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn= (4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= (　 ) A.578 B.579 C.580 D.581 解析:当n=1时, a1=S1=14, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2), 针对训练 √ 经检验n=1时,不成立, 故得到an= 令an<0, 则15-2n<0, 解得n>, 且n≥2,n∈N*. 当n≤7时, Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1=(14-n)n+1; 当n≥8时, Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn =100-(14n-n2+1)=n2-14n+99. 故Tn=T30=579.故选B. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为(　 ) A.5 B.6 C.7 D.5或6 解析:由d=2,S3=3a1+3d=-24, 得a1=-10. 令an=-10+(n-1)×2=0, 解得n=6, 所以a6=0. 从而S5=S6均为最小值. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1<a2<0,则数列{an}的前n项和Sn (　 ) A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值 C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值 解析:由数列{an}为等差数列, 且a1<a2<0, 得公差d=a2-a1>0, 故数列{an}为递增数列, 且a1<0, 所以Sn有最小值,无最大值. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.若数列{an}满足an+1=an+2,且a3+a10=4,那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 (　 ) A.S1 B.S5 C.S6 D.S11 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据an+1=an+2, 可得an+1-an=2, 所以数列{an}是公差为2的等差数列, 再由a3+a10=2a1+11d=4, 可得a1=-9, 所以an=2n-11,Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25, 所以前n项和Sn取得最小值时,n=5.故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作,其中有物不知数问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?意思是:有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个.这些物品的数量是多少个?若一个正整数除以三余二,除以五余三,将这样的正整数由小到大排列,则前5个数的和为 (　 ) A.189 B.190 C.191 D.192 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据题意,除以3余2,除以5余3的数,构成首项为8,公差为15的等差数列, 则an=8+(n-1)×15=15n-7, 所以将这样的正整数由小到大排列, 则前5个数的和为=190.故选B. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 (　 ) A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 √ √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设等差数列{an}的公差为d, 则a5=a1+4d=11+4d=3, 解得d=-2. S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35,A正确; an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=13-2n,B正确; |an|=|13-2n|=故当n=6或7时,|an|取最小值1,C错误; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36, 故当n=6时, Sn取得最大值36,D正确.故选ABD. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为　　　　.  解析:∵ ∴ ∴Sn的最大值为S5. S5 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为______ 万元.  解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元, 即每年的维修费构成以12为首项, 4为公差的等差数列, 则S10=10×12+×10×9×4=300(万元). 300 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在等差数列{an}中,已知公差d>0,a3+a5=-4,a2a6=-12,则数列{|an|}的前4项和S4=　 　　.  解析:由 解得或(舍去). 故an=2n-10, 20 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当n≤4时, an<0, ∴S4=-=20. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.等差数列{an}满足a4=11,a7=2,前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn的最大值. 解:(1)设首项为a1,公差为d, 因为等差数列{an}满足a4=11,a7=2, 所以 解得 所以an=20-3(n-1)=23-3n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)因为当n≤7时, an=23-3n>0, 当n≥8时, an=23-3n<0, 所以Sn的最大值为S7. 因为a7=23-3×7=2, 所以S7=×7=77. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:(1)设{an}的公差为d, 则 解得a1=13,d=-2. 所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由(1)得|an|= 当n≤7时, Tn=13n+×(-2)=14n-n2, 当n≥8时, Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+ =98-14n+n2. 综上,Tn= 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ B级——应用创新 11.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中(　 ) A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由nn+1>(n+1)Sn, 得>, 即->0. 而-=, 所以d>0. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为<-1, 所以<0, 即a7(a7+a8)<0. 由于d>0, 因此数列{an}是递增数列, 所以a7<0,a7+a8>0, 所以a7<0,a8>0, 所以在Sn中最小值是S7. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 12.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 (　 ) A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意,等差数列{an}的公差d==3,由S8=-556, 得8a1+28×3=-556, 解得a1=-80,数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83,A正确; 显然等差数列{an}是递增数列, 且a27<0,a28>0, 则{Sn}中的最小值为S27,B错误; 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又Sn==, 由Sn<0, 得0<n<, 又n∈N*, 故n的最大值为54,C错误; |a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27=-2×= 81×27=37,D正确.故选AD. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为bn= 所以b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6. 因为S4=32,T3=16, 所以 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 整理得 解得 所以{an}的通项公式为an=2n+3. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)证明:由(1)知an=2n+3, 所以Sn==n2+4n. 当n为奇数时, Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+7+…+(2n-7) +(2n-3)]+[14+22+30+…+(4n+2)]=+=. 当n>5时, Tn-Sn=-(n2+4n)==>0, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以Tn>Sn. 当n为偶数时, Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+7+…+(2n-5)]+ [14+22+30+…+(4n+6)]=+=. 当n>5时, Tn-Sn=-(n2+4n)==>0, 所以Tn>Sn. 综上可知,当n>5时,Tn>Sn. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示:   2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完,则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少? (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地? 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)依题意,每年比上一年多造林400公顷,其中2023年新植1 400公顷, 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷, 而实际沙地面积为24 000公顷, 所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷, 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1,a2,a3,…,an, 则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400, 所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400, 由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷,依题意可得Sn-200n≥24 000, 化简得n2+7n-120≥0, 解得n≥8. 故8年, 即到2031年可绿化完全部荒沙地. 5 $$