4.2.1 第3课时 等差数列的性质及综合应用(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

第3课时 等差数列的性质及综合应用 (深化课——题型研究式教学) 第3课时 课时目标 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列的性质 题型(二) 由等差数列构造新数列 题型(三)　等差数列的综合应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列的性质 01 　　等差数列的性质 (1)an=am+(n-m)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d=_____________. (2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_______. ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=_____. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____,即a1+an=a2+an-1=…=ak+=…. ap+aq 2ak 和 微点助解 (1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az. (2)由am+an=ap+aq不能得到m+n=p+q,如常数列. [例1]　在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= (　 ) A.-1 B.2 C.4 D.6 解析:由题意知a10-a2=8d, 即8d=16,d=2. √ [例2]　[多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,且a5=2,则 (　 ) A.公差d的取值范围是 B.2a7=a9+2 C.a8+a4>a6+a5 D.a1+a9=4 √ √ √ 解析:由题意得d>0,a1>0,a5=2, 所以a1=2-4d>0, 解得d<, 所以d∈,故A错误; 由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确; 由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确; 由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,故D正确. 　　[变式拓展] 1.例1改为“a10=18,d=2”,则a5=　　　　.  解析:由a10=a5+5d得a5=a10-5d=18-5×2=8. 2.例1改为“若已知a3+a11=6”,则S13=　　　.  解析:S13=a1+a2+a3+…+a11+a12+a13=(a1+a13)+(a2+a12)+(a3+a11)+…+ (a6+a8)+a7=2a7+2a7+…+2a7+a7=6×2a7+a7=13a7. 又a3+a11=2a7=6, 故a7=3,S13=13×3=39. 8 39 [思维建模] (1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. ②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar. 针对训练 1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 (　 ) A.84 B.72 C.60 D.48 解析:在等差数列{an}中, a3+a11=2a7=40, 可得a7=20, 所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C. √ √ 2.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　 ) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 √ 解析:设等差数列{an}的公差为d,易知d>0, ∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0, 且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, ∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0, ∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误; 又∵a51=a1+50d=0, ∴a1=-50d, ∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. 题型(二) 由等差数列构造新数列 02 [例3]　已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项? 解:(1)设新数列为{bn}, 则b1=a1=2,b5=a2=3, 根据bn=b1+(n-1)d, 有b5=b1+4d, 即3=2+4d, 所以d=, 所以bn=2+(n-1)×=. 又因为an=a1+(n-1)×1=n+1=, 所以an=b4n-3, 即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时, 4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项. (2)由(1)知an=b4n-3, 令4n-3=29, 得n=8, 即新数列的第29项是原数列的第8项. 　　[思维建模] 　　对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断: (1)定义:an+1-an是否为常数; (2)通项公式是否为关于n的一次函数. 针对训练 3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b97是数列{an}的第 (　 ) A.32项 B.33项 C.34项 D.35项 √ 解析:设等差数列{an}的公差为d,等差数列{bn}的公差为d1,等差数列{an}各项为a1,a1+d,a1+2d,…,等差数列{bn}各项为a1,a1+d1,a1+2d1, a1+3d1,a1+4d1,…,显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=d,b97=a1+96d1= a1+32d=a33,故选B. 4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 (　 ) A.15 B.16 C.17 D.18 √ 解析:易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6, 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数, 其公差为12, 首项为2, 所以通项公式为an=12n-10, 所以12n-10≤190, 解得n≤, 又n∈N*, 所以n的最大值为16. 题型(三)　等差数列的综合应用 03 [例4]　首项为a1,公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件: ①a3+a5+a7=93; ②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值. 解:由a3+a5+a7=93得a5=31, ∴an=a5+(n-5)d>100,n>+5. ∵n的最小值是15, 故14≤+5<15, ∴6.9<d≤, ∵d为整数, ∴d=7, ∴a1=a5-4d=3. 　　[思维建模] 解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 针对训练 5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则tan(a4+a6)的值为 (　 ) A.- B.- C.- D. 解析:因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=3a5=π, 所以a5=, 所以tan(a4+a6)=tan 2a5=tan =-. √ 6.在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7. (1)求通项公式an. (2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn?请说明理由. 解:(1)∵a2+a10=a5+a7=7, 又∵a5a7=12, ∴或 当时, an=-n+,不恒为正,舍去. ∴ ∴an=n+. (2)bn=an+t=n+t+,b2n=n+t+, ∴n+t+=n+2t+1, ∴t=-, ∴bn=n. 因为bkn=kn=kbn, 所以恒有bkn=kbn. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于(　 ) A.3 B.-6 C.4 D.-3 解析:由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d, 所以d==-6. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= (　 ) A.12 B.8 C.6 D.4 解析:由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+ 2a8=4a8=32, ∴a8=8. 又d≠0, ∴m=8. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 023= (　 ) A.4 044 B.4 046 C.4 048 D.4 050 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1= 8=4d1, 故d1=2, 故bn=2n, 则b2 023=2 023×2=4 046. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是 (　 ) A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞) 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为{an}为等差数列,设公差为d, 因为数列{an}单调递增, 所以d>0, 所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6, 则2a6-6=3d>0, 解得a6>3,故选C. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 (　 ) A.132 B.133 C.134 D.135 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…, 所以数列{an}为等差数列, 且首项为a1=11,公差为d=26-11=15, 所以an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4, 则2≤an≤2 024, 即2≤15n-4≤2 024, 解得≤n≤135, 则满足≤n≤135的正整数n的个数为135,因此该数列共有135项. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9=　　　　.  解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列, 又2a3-+2a11=0, 所以4a7-=0, 即a7=4, 所以a5+a9=2a7=8. 8 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=　　　　.  解析:∵a1+a2+a3=3a2=15, ∴a2=5. 设公差为d>0, 则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80, 又d为正数, ∴d=3. ∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 105 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.   第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n+1列的数是　　　.  n2+n 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:第n行的第一个数是n, 第n行的数构成以n为公差的等差数列, 其第n+1项为n+n·n=n2+n. 所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24. (1)求a20的值; (2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0. 解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24, 所以a3=6,a4=8, 则公差d=2, 所以a20=a3+17d=40. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n, 所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0, 即3n->0, 得n>, 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2; (2)求{bn}的通项公式; (3){bn}中的第506项是{an}中的第几项? 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列. (1)因为a1=3,d=-5, 所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…, 所以b1=a3=-7,b2=a7=-27. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项, 即bn=am, 则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*). (3)由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023, 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ B级——应用创新 11.已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<,则a1+a4+a6+a8+a11的值为(　 ) A. B. C. D. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1, 所以=1, 即tan(a5+a7)=1, 所以a5+a7=+kπ,k∈Z. 又0<a5+a7=2a6<1, 所以a5+a7==2a6, 解得a6=, 故a1+a4+a6+a8+a11=5a6=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 12.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=4n-3,n∈N*,将{an},{bn}各项并在一起,相等的项即为一项,从小到大排列成一个新的数列{cn},则c2 023= (　 ) A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据题意,得{an}:1,4,7,10,13,…;{bn}:1,5,9,13,17,…. 故{cn}:1,4,5,7,9,10,13,…,把{cn}中的项按6个一组划分, 则第k组可表示为12(k-1)+1,12(k-1)+4,12(k-1)+5,12(k-1)+7,12(k-1)+9, 12(k-1)+10(k∈N*), 又2 023=337×6+1, 故c2 023是第338组的第一个数, 则c2 023=12×337+1=4 045. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.已知函数f(x)在(-1,+∞)上具有单调性,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于　　　　.  -2 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称, 则函数f(x)的图象关于x=-1对称, 且在(-1,+∞)上具有单调性, 因为f(a50)=f(a51), 所以a50+a51=-2. 因为数列{an}是公差不为0的等差数列, 所以a1+a100=a50+a51=-2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=. (1)求数列{}的通项公式; (2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)由已知得-=-, 所以数列{}是等差数列,设其公差为d. 由a4-a2=, 得-=2. 所以2d=2, 即d=1, 所以=+(n-1)d=n. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)由an>0, 得an=, 所以原不等式可化为+1<2, 两边平方可得n+6+2<4n, 即2<3n-6, 所以4(n+5)<(3n-6)2, 整理得(n-4)(9n-4)>0, 解得n>4或n<. 所以正整数n的最小值为5. 5 $$