4.2.1 第2课时 等差数列及其通项公式的应用(深化课 题型研究式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

等差数列及其通项公式的应用(深化课——题型研究式教学) 第2课时 课时目标 掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列的实际应用 题型(二) 等差数列的判定与证明 题型(三) 等差数列项的设法与求解 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列的实际应用 01 [例1]　某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km (不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时, 每增加1 km, 乘客需要支付1.2元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2, 表示4 km处的车费, 公差d=1.2, 那么当出租车行至14 km处时, n=11, 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 即需要支付车费23.2元. 　[变式拓展] 　在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费? 解:由题意知,当出租车行至18.5 km处时, n=16, 此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元). 即需要支付车费29.2元. [思维建模] (1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列. (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 针对训练 1.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为 (　 ) A.4.5尺 B.5尺 C.5.5尺 D.6尺 √ 解析:设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=(a4+a10)=6.故选D. 题型(二) 等差数列的判定与证明 02 [例2]　已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)证明:因为an=2-, 所以an+1=2-. 则bn+1-bn=-=-==1, 所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列. (2)由(1)知bn=n, 所以bn==n(n∈N*), 解得an=1+, 所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N*). 　　[变式拓展] 　本例条件“an=2-(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解:数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=, ∴==+, ∴-=, 即数列是首项为=,公差为d=的等差数列. 　　[思维建模] 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. (1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法. (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解. 针对训练 2.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1). (1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1){bn}是等差数列,理由如下: b1=log2(a1+1)=log22=1, 当n≥2时, bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2=log2=1, ∴{bn}是以1为首项, 1为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n, ∴an+1==2n, ∴an=2n-1. 题型(三) 等差数列项的设法与求解 03 [例3]　已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数. 解:法一　设这三个数首项为a1,公差为d, 则 解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 法二　设这三个数为a-d,a,a+d, 则 解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 　　[变式拓展] 　本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则 又该数列是递增数列, 所以d>0, 所以a=±,d=, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. [思维建模] 　　利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d, a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 针对训练 3.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式. 解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d, 由题意,得 即 解得 ∵等差数列{an}是递增数列, ∴d=4. ∴等差数列的首项为3,公差为4. ∴an=3+4(n-1)=4n-1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——综合提能 1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则(　 ) A.数列{bn}是公差为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为cd的等差数列 C.数列{bn}是首项为c的等差数列 D.数列{bn}不是等差数列 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd, 所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,-=,则a35=(　 ) A. B. C. D. 解析:当n≥2时, -=, 即是公差为的等差数列. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 因为=, 所以=+(n-1)=,=6,a35=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=,则a3=(　 ) A.1 B. C.2 D. 解析:由2an+1=2an+1, 得an+1-an=, 即{an}是等差数列,a3=a8-5d=-5×=2.故选C. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　 ) A.1升 B.升 C.升 D.升 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d, 由条件得 即 解得 所以a5=a1+4d=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则 (　 ) A.a2=3 B.an=2n-1 C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列 解析:a2=S2-S1=3,故A正确; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1, 当n=1时, √ 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 a1=S1=4,不适合上式,故B错误; {an}从第2项开始为等差数列, 所以其偶数项构成等差数列,故C正确; 因为a1=4>a2=3,故D错误. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an= 　 　.  解析:由题设可得-+1=0, 即-=1, 所以数列是以1为首项, 1为公差的等差数列, 故通项公式为=n, 所以an=n2(n∈N*). n2(n∈N*) 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于　 　.  解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知, 数列{an}是等差数列, 设公差为d, 由a6=a1+5d=47+5d=7, 得d=-8, 所以a5=a6-d=7-(-8)=15. 15 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列,则这个正实数是　　　　.  解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*),自身是x+y, 则2y=2x+x+y, 所以y=3x, 由于0≤x<1,y∈N*, 或 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当y=1时, x=,x+y=; 当y=2时, x=,x+y=; 当y≥3时, x=≥1,不符合题意. 综上所述,这个正实数是或. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. 解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则 解得 所以这三个数为4,3,2. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, 所以d2=1, 所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列, 所以d>0, 所以d=1, 故所求的四个数为-2,0,2,4. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)证明:由=====+, 得-=,n∈N*, 故数列是等差数列. (2)由(1)知=+(n-1)×=, 所以an=,n∈N*. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ B级——应用创新 11.《周髀算经》中有这样一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则冬至的日影长为(　 ) A.4尺 B.8.5尺 C.12.5尺 D.15.5尺 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:记十二节气日影长构成的等差数列为{an},设其公差为d, 因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺, 所以 即 即 则8d=a12-a4=-8, 所以d=-1, 因此a1=a12-11d=4.5+11=15.5尺. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 12.若数列{an}的前n项积为Sn,且满足a1=,+=2,则S11=(　 ) A. B. C. D.7 解析:由题意知,当n≥2时, Sn-1an=Sn. 由+=2, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 得Sn=2Sn, 所以当n≥2时, Sn-1an=2Sn-1+1=2Sn, 即Sn-Sn-1=, 又a1=S1=, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以{Sn}是首项为, 公差为的等差数列, 故S11=+×(11-1)=. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.某城市的绿化建设有如下统计数据: 年份 2017 2018 2019 2020 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%? 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an}, 则a1=17,公差d=17.8-17=0.8, 故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8(n-1)=0.8n+16.2, 令0.8n+16.2>23.4, 解得n>9,2 017+9=2 026. 故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值; (2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由. 解:(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*), 且a1=1, 所以当a2=-1时, 得-1=2-λ, 解得λ=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)不存在实数λ使得{an}为等差数列. 理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在实数λ, 使得{an}为等差数列, 则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ, 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解得λ=3. 于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,a2-a1≠a4-a3, 这与{an}为等差数列矛盾. 所以不存在实数λ使得{an}为等差数列. 5 $$