4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式(概念课 逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）  

4.2.1 等差数列的概念 等差数列的概念与通项公式 (概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义. 2.理解等差中项,能运用通项公式解决一些简单的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等差数列的有关概念 逐点清(二)　等差中项 逐点清(三) 等差数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 等差数列的有关概念 01 多维度理解 (1)文字语言:一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的_______的差都等于_______常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个_____叫做等差数列的_____,公差通常用字母____表示. (2)递推公式:an+1-an=d(d为常数). 2 前一项 同一个 常数 公差 d 　　　微点助解 　　对等差数列概念的解读 (1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数; (4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞). 细微点练明 √ 1.下列说法正确的是 (　 ) A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列 B.若an+1-an=n(n∈N*),则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 解析:对于A,由a-b=b-c, 可得b-a=c-b, 因此a,b,c成等差数列,故A正确; 对于B,n不是固定常数, 因此该数列不是等差数列,故B不正确; 对于C,公差d可以等于0,故C不正确; 对于D,d=an-an-1(n≥2,n∈N*), 而an-1-an=-d(n≥2,n∈N*), 但-d不是等差数列的公差,故D不正确. 2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 (　 ) A.7,13,19,25,31 B.1,1,2,3,…,n C.9,9,9,9,… D.数列{an}满足an+1-an=3 √ √ 解析:因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0, 所以A中数列是公差为6的递增等差数列. 因为1-1=0≠2-1, 所以B中数列不是等差数列. 因为9-9=9-9=…=0, 所以C中数列是公差为0的等差数列, 但不是递增数列. 因为an+1-an=3>0, 所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列. 3.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差. (1)95,82,69,56,43,30; (2)1,1.1,1.11,1.111,1.111 1,1.111 11; (3)1,-2,3,-4,5,-6; (4)1,,,,,,. 解:(1)由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13, 即该数列从第二项起, 每一项与前一项之差为同一个常数-13, 所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-13. (2)通过观察可知,1.1-1=0.1,1.11-1.1=0.01,…该数列从第二项起, 每一项与前一项之差不是同一个常数, 所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. (3)通过观察可知,-2-1=-3,3-(-2)=5,…该数列从第二项起, 每一项与前一项之差不是同一个常数, 所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. (4)由-1=-=-=-=-=-=-, 即该数列从第二项起, 每一项与前一项之差为同一个常数-, 所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-. 逐点清(二)　等差中项 02 多维度理解 　　等差中项 (1)条件:如果a,A,b成等差数列. (2)结论:那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是_________. 2A=a+b 微点助解 (1)任意两个实数都有等差中项,且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=. (3)等差数列{an}中,an是an-k与an+k的等差中项,注意序号间的关系. 细微点练明 1.x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于 (　 ) A.0 B.10 C.20 D.不确定 解析:因为x+1与y-1的等差中项为10, 所以(x+1)+(y-1)=2×10, 所以x+y=20. √ 2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于　　　　.  解析:因为三内角A,B,C成等差数列, 所以2B=A+C, 又因为A+B+C=180°, 所以3B=180°, 所以B=60°. 60° 3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:∵-1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项, ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项, ∴a==1. 又c是3与7的等差中项, ∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. 逐点清(三) 等差数列的通项公式 03 　　等差数列的通项公式 　　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=___________. a1+(n-1)d 微点助解 (1)等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d, q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列. (2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n求an 知a1,d,an求n 知a1,n,an求d 知d,n,an求a1 [典例]　(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75. (2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗? 解:(1)设{an}的公差为d. 由题意知 解得 ∴a75=a1+74d=+74×=24. (2)依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列, ∴d<0. 故取a1=11,d=-5, ∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34, 即-5n+16=-34, 得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. [思维建模]　求等差数列通项公式的步骤 针对训练 在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求: (1) a4; (2)数列{an}的通项公式. 解:(1)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84, 所以3a4=84, 所以a4=28. (2)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73, 所以 解得 得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8, 所以an=9n-8. 课时跟踪检测 04 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 (　 ) A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 解析:A、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列; C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义, 所以不是等差数列. √ √ 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d= (　 ) A.-2 B.2 C.3 D.-4 解析:由题意得a4=a2+2d, 即6+2d=2, 解得d=-2.故选A. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.若1,x,2成等差数列,则x= (　 ) A. B.3 C.2 D.± 解析:因为1,x,2成等差数列, 所以x==.故选A. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=-2,则a5= (　 ) A.-5 B.-11 C.-9 D.-7 解析:a5=a1+4d=1+4×(-2)=-7,故选D. √ 16 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知等差数列{an}中,a6=-24 ,a30=-48 ,则首项a1与公差d分别为 (　 ) A.-18,-2 B.-18,-1 C.-19,-2 D.-19,-1 解析:依题意得 解得故选D. √ 16 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 (　 ) A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 解析:由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d), 即a1=-5d, 所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d, 所以a6=0. √ 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则a+b的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.2 解析:∵lg a,lg b的等差中项是0, ∴lg a+lg b=0, 即lg ab=0,ab=1, ∴a+b≥2=2, 当且仅当a=b=1时取等号, 故a+b的最小值为2. √ 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为(　 ) A.0 B. C.1 D.2 解析:等差数列{an}的公差为d, 由是与-2的等差中项, 得2=+-2, √ 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2, 整理得d2=1, 而d≥0, 解得d=1, 所以d的值为1.故选C. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2,5,8,…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a4= (　 ) A.32 B.47 C.62 D.77 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:根据题意可知an-2既是3的倍数, 又是5的倍数, 即是15的倍数, 可得an-2=15(n-1),n∈N*, 即an=15n-13, 所以a4=15×4-13=47. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= (　 ) A.2 024 B.2 023 C.4 048 D.4 046 解析:设数列{an}的公差为d(d>0), 因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6, 则 √ 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得 所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知a,m∈R,m是a和10-a的等差中项,则m的值等于　　　　.  解析:因为m是a和10-a的等差中项, 故2m=a+(10-a)=10, 则m=5. 5 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=　　　　.  解析:根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1, ∴a1=1. 又a3=a1+2d=1+2d=0, ∴d=-. - 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是　　 　　.  解析:设等差数列{an}的公差为d, 因为{an}单调递增, 所以d>0, 由a1+a10=4得2a1+9d=4, 所以a1==2-, (2,+∞) 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则a8=a1+7d=2-d+7d=2+d>2, 所以a8的取值范围是(2,+∞). 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为　 　 　.  解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d, 由a1=3,a3=9, 得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d, 解得d=1, 所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即an=2n+1. an=2n+1 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.在等差数列{an}中: (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. 解:(1)由题意知 解得 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由题意知 解得 ∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项. (1)求和1的调和中项; (2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:(1)设和1的调和中项为b, 依题意得3,,1成等差数列, 所以==2, 解得b=, 故和1的调和中项为. 16 5 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)依题意,是等差数列,设其公差为d, 则3d=-⇒d=, 所以=+(n-1)d=+(n-1)=, 故an=. 16 5 $$