2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）  

2.2.1 直线的点斜式方程 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．会求直线方程的点斜式和斜截式． 2．理解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题． CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 (一)直线的点斜式方程 设过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程为_______________；由直线上一个_____及该直线的斜率k确定的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 斜率 存在 不存在(α＝90°) 点斜式 _________________ 无 特殊情况图示 k＝0时：l与x轴平行或重合 k不存在时：l⊥x轴，不能用点斜式求方程 y－y0＝k(x－x0) 定点 y－y0＝k(x－x0) 微点助解 (1)构成直线的要素有两个：一个点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的直接反映． (2)当倾斜角为90°时，直线没有斜率，点斜式方程不存在． (3)由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k. 基点训练 × √ √ 2．若直线l过点(－1,1)且斜率为1，则直线l的方程为(　 ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0. √ (二)直线的斜截式方程 如果直线l的斜率为k，过点P0_______，这时P0是直线与y轴的交点，根据直线的点斜式方程可得______________，即__________.我们把直线l与y轴的交点______的纵坐标____叫做直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程__________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． (0，b) y－b＝k(x－0) y＝kx＋b (0，b) b y＝kx＋b 微点助解 (1)b为直线l在y轴上的截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零． (2)斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到． (3)当k≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． (4)斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． (5)斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y＝kx＋b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． 基点训练 1．直线l在y轴上的截距为2，且斜率为－1，则该直线方程为(　 ) A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 D．y＝－x－2 2．直线y＝x＋3在y轴上的截距为_________． 解析：由直线的斜截式可得，直线y＝x＋3在y轴上的截距为3. √ 3 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 [例1]　写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； (4)过点D(2,1)和E(3，－4)． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]． 题型(一)　直线的点斜式方程 (3)∵直线与y轴平行， ∴斜率不存在， ∴直线的方程不能用点斜式表示． 由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)， 求直线的点斜式方程的思路 方法技巧 1．已知A(1,4)，B(－2，－1)，C(4,1)是△ABC的三个顶点，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点． (1)求直线DF的方程； (2)求BC边上的高所在直线的方程． 针对训练 所以BC边上的高所在直线的斜率为－3，BC边上的高所在直线的方程为y－4＝－3(x－1)，即3x＋y－7＝0. [例2]　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1， 所以kl＝－2.由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 题型(二)　直线的斜截式方程 [变式拓展] 本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程． 解：∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2. 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 方法技巧 针对训练 √ 解析：设直线l的倾斜角为α， 则α＝60°， [例3]　当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2. (1)平行；(2)垂直． 解：(1)要使l1∥l2， 题型(三)　斜截式方程的综合应用 解得a＝－1. 故当a＝－1时， 直线l1与直线l2平行． (2)要使l1⊥l2， 则需满足(a2－2)×(－1)＝－1， (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)由两直线平行求参数时，注意验证两直线是否重合．　　 方法技巧 4．直线y＝kx＋k和y＝kx＋k2，k∈R的图象可能为(　 ) 针对训练 √ 解析：当k>0时，y＝kx＋k的图象经过第一、二、三象限，y＝kx＋k2的图象经过第一、二、三象限，且两条直线平行，四个选项均不满足；当k<0时，y＝kx＋k的图象经过第二、三、四象限，y＝kx＋k2的图象经过第一、二、四象限，且两条直线平行，C选项满足；当k＝0时，直线y＝kx＋k＝0，直线y＝kx＋k2＝0，两条直线在x轴重合，四个选项均不满足，故选C. √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 故所求直线的斜率为－2， 故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋2，故选C. 3．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　 ) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 解析：∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　 ) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 解析：直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为l1∥l2， 解得m＝－8. 又l2⊥l3， 解得n＝－2. 所以m＋n＝－10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1. －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________________________． 解析：因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又直线l在y轴上的截距为b， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为0°≤α2<180°， 所以α2＝30°， 所以α1＝60°， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)易知线段AB的中点的坐标为(5，－2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——应用创新 11．[多选]下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是(　 ) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°， 所以A、B、C、D都不成立； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的点斜式方程为(　 ) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设线段OB的中点为M，连接AM， 因为|AO|＝|AB|， 则AM⊥x轴， 则点M(1,0)， 故点B(2,0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：(1)如图，A(1,1)，B(5,1)， 可知直线AB平行于x轴， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0， 将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对于直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝. (　 ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)． (　 ) (3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3. (　 ) ∴斜率k＝＝－5. 故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)． 解：(1)由题意知D，F，kDF＝， 故直线DF的方程为y－＝， 即x－3y＋5＝0. (2)由题意知kBC＝＝， ∴l的斜率为. ∴直线l的方程为y＝x＋2. 2．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　 ) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 ∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 3．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是____________． y＝x＋4 故直线l的方程是y＝x＋4. 解析：直线y＝x＋2的斜率为， 在y轴上的截距为2， 则直线l的斜率为， 在y轴上的截距为4， 则需满足 ∴a＝±. 故当a＝±时，直线l1与直线l2垂直． 5．已知直线l1：y－m＝(x－t)与直线l2：y＝kx＋3垂直，则k＝(　 ) A．2 B． C．－2 D．－ 解得k＝－2. 解析：直线l1：y－m＝(x－t)的斜率为， 直线l2：y＝kx＋3的斜率为k， 又两直线垂直， 故×k＝－1， A级——综合提能 1．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　 ) A．9 B．－9 C． D．－ 解析：由y＋＝(x－1)， 得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 2．过点(1,0)且与直线y＝x－1垂直的直线方程是(　 ) A．y＝x－ B．y＝x＋ C．y＝－2x＋2 D．y＝－x＋ 解析：由于直线y＝x－1的斜率为， 5．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　 ) A．－10 B．－2 C．0 D．8 所以kAB＝＝－2， 所以×(－2)＝－1， y＝x－6或y＝－x－6 所以直线的斜率为或－. 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6. 8．与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为____________． y＝x－3 解析：根据题意知直线l的斜率k＝， 故直线l1的斜率k1＝. 设直线l1的方程为y＝x＋b， 则令y＝0， 得它在x轴上的截距为－b. ∴－b＋b＝－b＝1， ∴b＝－3. ∴直线l1的方程为y＝x－3. 9．直线l1过点A(2，－3)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，求这条直线l1的点斜式方程． 解：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2由点斜式方程可知直线l2的斜率为＝＝tan α2， 其斜率k＝tan 60°＝， 所以直线l1的点斜式方程为y＋3＝(x－2)． 10．已知在平面直角坐标系中的两点A(8，－6)，B(2，2)． (1)求线段AB的中垂线的方程； (2)求以向量为方向向量且过点P(2，－3)的直线l的方程． 其斜率kAB＝＝－， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y－(－2)＝(x－5)，即y＝x－. (2)由已知得＝(－6,8)， 则直线l的斜率为－， 又直线l过点P(2，－3)， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－(－3)＝－(x－2)， 即y＝－x－. 所以直线AB的斜率为k＝＝－3， 所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)． 13．将直线y＝(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是_____________________． y＝－x＋2 解析：∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°， ∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－， 且过点(2,0)， ∴其方程是y－0＝－(x－2)， 即y＝－x＋2. 14．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,1)，B(5,1)，点C在x轴上，且∠CAB＝. (1)求直线AC的斜率； (2)求直线BC的方程． 已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为， 即直线AC的倾斜角为， 故直线AC的斜率kAC＝tan＝－1. 已知B(5,1)，kBC＝＝， 可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)， 化简得lBC：x－3y－2＝0. 需满足 即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. $$