13.1 三角形中的边角关系（第2课时 三角形中角的关系）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1　三角形中的边角关系 第2课时 三角形中角的关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 ⒈经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法. ⒉能应用三角形内角和定理.（难点） 在一个直角三角形里住着三个内角，平时它们三兄弟非常团结. 可是，有一天，二哥突然不高兴了，发起脾气来，它指着大哥说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！” 大哥说：“不行啊！否则，我们这个家就围不起来了……”. 老大 老二 老三 你能帮着“大哥”解释一下吗？ 情景导入 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 三角形按照角的大小分类，怎样分？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 斜 三 角 形 直角三角形 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边， 直角相对的边叫做斜边， 直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”. 新知探究 三角形按照角分类，怎样分？ 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？ 新知探究 折叠法 2 3 1 3 1 2 三角形的内角和等于180° ∠1+∠2+∠3=180° 在小学，我们曾用折叠）、剪拼或用 量角器度量的方法研究过这个问题 你还记得有什么结 论吗？ 新知探究 剪拼法 三个内角的和仍然是180° 新知探究 例2. 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 　　 B　 A　 C　 D　 分析：可以从以下三个方面考虑， ①所求的角在哪个三角形内； ②所在三角形内其它两个角的度数； ③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算. 课本例题 B　 A　 C　 D　 54° 18° 90° 36° 例2. 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 　　 解：因为BD⊥AC，(已知)所以∠ADB=∠CDB=90°. 在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°) ∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知) ∠A=180°–∠ABD–∠ADB=180°–54°–90°=36°. 在△ABC中，∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC) =180°–36°–(54°+18°)=72°. 课本例题 1. 在△ABC中： （1）已知：∠A=105°，∠B-∠C= 15°，则∠C= ； （2）已知：∠A：∠B：∠C=3:4:5，则∠C= ； 30° 75° 课堂练习 D　 2. 已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D. (1)写出图中所有相等的角； (2)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边. 解：(1) ∠ACB=∠ADC=∠CDB， ∠CAB=∠DCB，∠ACD=∠B. B　 A　 C　 (2) Rt△ACB，AB是斜边； Rt△CDB，CB是斜边； Rt△ADC，AC是斜边. 课堂练习 3. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数. A B C D 解：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°， ∴∠BAD=180°-90°-70°=20°， 又∵∠BAC=46°， ∴∠CAD=46°-20°=26° 课堂练习 4. 在△ABC中，已知∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，求∠B的度数. 分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=180°，然后结合已知条件便可以求出. 课堂练习 解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 联立∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°可得， ∠A=65°，∠B=75°，∠C=40° 答：∠B的度数是75°. 知识点1　三角形的分类 1. 三角形按角分类可以分为(　C　) A. 等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 B. 直角三角形和等边三角形 C. 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 D. 锐角三角形、等腰三角形和钝角三角形 C 分层练习-基础 2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形形状的是(　C　) C 【解析】A项，露出两个角，由此可得第三个角的度数，故能判断该三角形的形状； B项，露出的角是直角，故该三角形是直角三角形； C项，露出的角是锐角，其他两个角的度数无法确定，故不能判断该三角形的形状； D项，露出的角是钝角，故该三角形是钝角三角形. 3. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝87°， AD ⊥ BC ，则图中一共有 个三角形，其中锐角三角形有 个，直角三角形有 个，钝角三角形有 个. (第3题) 6　 2　 3　 1　 【解析】题图中一共有6个三角形， 其中锐角三角形有2个：△ ABE ，△ ABC ； 直角三角形有3个：△ ABD ，△ ADE ，△ ADC ； 钝角三角形有1个：△ AEC . 知识点2　三角形内角和定理 4. 在△ ABC 中，∠ A ＝20°，∠ B ＝4∠ C ，则∠ C ＝(　A　) A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° 【点拨】 因为在△ ABC 中，∠ A ＝20°，所以∠ B ＋∠ C ＝160°.又因为∠ B ＝4∠ C ，所以5∠ C ＝160°.所以∠ C ＝32°. A 5. [2023·达州]如图， AE ∥ CD ， AC 平分∠ BCD ，∠2＝35°，∠ D ＝60°，则∠ B ＝(　B　) A. 52° B. 50° C. 45° D. 25° (第5题) 因为 AE ∥ CD ，∠2＝35°， 所以∠1＝∠2＝35°. 因为 AC 平分∠ BCD ，所以∠ BCD ＝2∠1＝70°. 因为∠ D ＝60°，所以∠ B ＝180°－∠ D －∠ BCD ＝180°－60°－70°＝50°. B 6. [新考法·折叠法]如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝50°，将其折叠使点 A 落在 BC 边上的点A'处，折痕为 CD ，则∠A'DC＝(　D　) A. 10° B. 30° C. 65° D. 85° (第6题) 由折叠可知∠CA'D＝∠ A ＝50°，∠A'CD＝∠ ACD ＝ ∠ ACB ＝45°，所以∠A'DC＝180°－50°－45°＝85°. D 7. [2023·青岛]如图，直线 a ∥ b ，∠1＝63°，∠ B ＝45°，则∠2的度数为(　B　) A. 105° B. 108° C. 117° D. 135° (第7题) B 8. [2023·聊城]如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为(　B　) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° (第8题) 因为 AD ∥ BE ，∠ EBC ＝80°，所以∠ ADC ＝∠ EBC ＝80°. 因为∠ CAD ＋∠ ADC ＋∠ ACB ＝180°，∠ CAD ＝25°， 所以∠ ACB ＝180°－25°－80°＝75°，故选B. B 9. [2023·十堰]一副三角板按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ ⁠. 100°　 (第9题) 如图，由题意得∠ BAC ＝60°，∠ C ＝30°，∠ D ＝45°， 因为∠ EAB ＝35°， 所以∠ CAD ＝180°－∠ EAB －∠ BAC ＝85°. 所以∠ AGD ＝180°－∠ D －∠ CAD ＝50°. 所以∠ CGF ＝∠ AGD ＝50°. 所以∠ DFC ＝180°－∠ C －∠ CGF ＝100°. 10. [2023·杭州]如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 DE ∥ BC ，点 F 在线段 BC 的延长线上，若∠ ADE ＝28°，∠ ACF ＝118°，则∠ A ＝ ⁠. 90°　 11. 如图，点 C 在点 B 的北偏西60°方向上，点 C 在点 A 的北偏西30°方向上，点 B 在点 A 的北偏东30°方向上. (1)求∠ ABC 的大小； 【解】如图，根据题意可得∠1＝60°， ∠3＝30°，∠4＝30°， 因为 AE ∥ DB ， 所以∠3＝∠2＝30°.所以∠ ABC ＝180°－60°－30°＝90°. (2)求∠ C 的大小. 【解】因为∠3＝30°，∠4＝30°，∠ CBA ＝90°， 所以∠ C ＝180°－90°－30°－30°＝30°. 易错点　忽视高的位置情况而漏解 12. [新考法·分类讨论法 2022·哈尔滨]在△ ABC 中， AD 为边 BC 上的高，∠ ABC ＝30°，∠ CAD ＝20°，则∠ BAC 的度数是 . 80°或40°　 13. [2022·武汉]如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝80°. (1)求∠ BAD 的度数； 【解】因为 AD ∥ BC ，所以∠ B ＋∠ BAD ＝180°. 因为∠ B ＝80°，所以∠ BAD ＝100°. 分层练习-巩固 (2) AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E ，∠ BCD ＝50°.试说明 AE ∥ DC . 【解】因为 AE 平分∠ BAD ，∠ BAD ＝100°，所以∠ DAE ＝50°. 因为 AD ∥ BC ，所以∠ AEB ＝∠ DAE ＝50°. 因为∠ BCD ＝50°，所以∠ AEB ＝∠ BCD . 所以 AE ∥ DC . 14. 如图，请猜想∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F 的度数，并说明你的理由. 【解】∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝360°. 理由：因为∠ A ＋∠ B ＋∠ AMB ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ CPD ＋∠ E ＋∠ F ＋ ∠ ENF ＝180°＋180°＋180°＝540°， ∠ AMB ＝∠ NMP ，∠ CPD ＝∠ MPN ， ∠ ENF ＝∠ MNP ，∠ MNP ＋∠ MPN ＋∠ MNP 180°， 所以∠ AMB ＋∠ CPD ＋∠ ENF ＝180°. 所以∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E ＋∠ F ＝540°－180°＝360°. 15. [新考法·推理探究法] (1)在图①中，请直接写出∠ A ，∠ B ，∠ C ，∠ D 之间的数量关系： ⁠ ⁠. ∠ A ＋∠ D ＝∠ C＋∠ B 　 (2)仔细观察，在图②中“8字形”图形的个数是 ⁠. 6　 分层练习-拓展 (3)如果在图②中，∠ D ＝40°，∠ B ＝36°， AP 与 CP 分别是∠ DAB 和 ∠ DCB 的平分线，试求∠ P 的度数. 【解】因为 AP ， CP 分别是∠ DAB 和∠ DCB 的平 分线，所以∠ DAP ＝∠ PAB ，∠ DCP ＝∠ PCB . 又因为∠ DAP ＋∠ D ＝∠ P ＋∠ DCP ，① ∠ PCB ＋∠ B ＝∠ PAB ＋∠ P . ② 所以①＋②得∠ DAP ＋∠ D ＋∠ PCB ＋∠ B ＝∠ P ＋∠ DCP ＋∠ PAB ＋∠ P . 又因为∠ D ＝40°，∠ B ＝36°， 所以40°＋36°＝2∠ P . 所以∠ P ＝38°. (4)如果图②中∠ D 和∠ B 为任意角，其他条件不变，试问∠ P 与∠ D ，∠ B 之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可) 2∠ P ＝∠ D ＋∠ B . 三角形中角的关系 三角形按角的大小分类： 三角形三个内角的关系： 三角形的内角和等于180°. 任意三角形 课堂小结 $$