33.2.3 相似三角形应用举例（教学课件）数学人教版五四制九年级下册

第33.2.3 相似三角形应用举例 人教版五四制数学九年级下册 学习目标 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 人教版五四制数学九年级下册 相似三角形的性质： (1)对应边成比例，对应角相等； (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 复习引入 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？ 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF ∴ ∴ 因此金字塔的高度为134m. 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 利用相似三角形测量高度 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ. P R Q S b T a 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 解：∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST. ∴ 即 PQ×90=(PQ+45)×60. 解得 PQ=90(m). 因此，河宽大约为90m. P R Q S b T a 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了? 人教版五四制数学九年级下册 典例精析 分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH 是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了. 人教版五四制数学九年级下册 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥l， ∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK, ∴ , 即 . 解得 EH=8(m). 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 典例精析 人教版五四制数学九年级下册 1.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． B 小试牛刀 人教版五四制数学九年级下册 2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝______m．　 5.5 小试牛刀 人教版五四制数学九年级下册 1.如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)(　　) A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m C 课堂检测 人教版五四制数学九年级下册 2.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度是xm． 由题意得 解得x＝54. 因此这栋楼的高度是54m. 课堂检测 人教版五四制数学九年级下册 3.为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°, ∴△DCE∽△BAE. ∴ , 解得BA=18.75m. 因此树高约为18.75m. 课堂检测 人教版五四制数学九年级下册 1.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m． (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)； (2)求旗杆CD 的高度. 拓展训练 人教版五四制数学九年级下册 解:(1)∵在教学楼上的B 处观测到旗杆底端D 的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°. 在Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°， AB＝4 m， ∴BD＝2AB＝8 m． ∴AD＝　　　　　　　 　　　(m)． 即教学楼与旗杆的水平距离AD是　 m. (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)； 拓展训练 人教版五四制数学九年级下册 (2)求旗杆CD 的高度. 拓展训练 解:(2)∵在Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠ACD＝30°. ∴△ABD∽△DAC. ∴ 即 ∴CD＝12 m. 即旗杆CD 的高度是12 m. 人教版五四制数学九年级下册 相似三角形的应用主要有如下两个方面： 1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)； 2.测距(不能直接测量的两点间的距离). 测高的方法： 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 . 测距的方法： 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 课堂小结 人教版五四制数学九年级下册 1.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为( ) A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米 A 课后作业 人教版五四制数学九年级下册 2.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度. 解:过点E作EH∥FB，分别交CD、AB于点G、H. 根据题意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG= =BH=EF=1.6m. ∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4mEH=EG+GH=2+15=17m ∵CD∥AB ∴△ECG∽△EAH ∴ 即 解得，AH=11.9(m) 因此，旗杆AB的高度为: 11.9+1.6=13.5(m). G H 课后作业 人教版五四制数学九年级下册 谢谢聆听 人教版五四制数学九年级下册 $$