精品解析：上海市金山中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2025届金山中学高三年级上学期9月月考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知集合，则______. 2. 若，则_______________ 3. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 4. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为_______． 5. 若函数，则的值域为______. 6. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________． 7. 若函数在上严格单调递减，则实数的取值范围是______． 8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 9. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 10. 已知，则中正数的个数为______. 11. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 12. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 若在是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（ ）． A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线相交，直线平面 C. 直线与直线平行，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 三、解答题（共78分） 17. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知（），且满足，. （1）求函数的解析式； （2）函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 19. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； （3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届金山中学高三年级上学期9月月考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A，化简集合B，再根据交集运算即可得结论. 【详解】， ， 则，又， . 故答案为：. 2. 若，则_______________ 【答案】1 【解析】 【分析】 由可得，再利用换底公式和对数运算即可求出. 【详解】， ， . 故答案为：1. 3. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】可知也是实系数一元二次方程的根，从而利用韦达定理求解． 【详解】是实系数一元二次方程的根， 也是实系数一元二次方程的根， ，， 解得，，故. 故答案为：4 4. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】（5，0） 【解析】 【分析】根据定义即可求出投影向量. 【详解】 在方向上投影向量为，所以在方向上投影向量为（5,0）. 故答案为：（5,0）. 5. 若函数，则的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得函数的值域. 【详解】当时，；当时，， 故的值域为， 故答案为：. 6. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________． 【答案】－ 【解析】 【详解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝， ∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－. ∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0， ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－ 7. 若函数在上严格单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，即可得解. 【详解】因为函数在上严格单调递减， 所以， 即， 所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取BC中点为M，做， 将化为，后找到间关系，可得答案. 【详解】如图，取BC中点为M，做， 则，又， ，则， 得. 注意到， 则.又由图可得， 则， 当且仅当，且，即时取等号. 故答案为： 9. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解． 【详解】若，，且， 则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，， ∴，，∴双曲线方程为， 其渐近线方程为， 则曲线上存在点满足， 等价于与双曲线相交，∴． 故答案为：． 10. 已知，则中正数的个数为______. 【答案】1518 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最小值取为1013；从1013到2023共计506个奇数， 当为偶数时，此时，符合题意；中，共计1012个偶数 综上所述：中正数的个数为 故答案为：1518. 11. 如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 【答案】 【解析】 【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角. 【详解】因为，， 故，故，设， 则，故，则， 又 ， 设， 则， ， 当时，，故在上为增函数， 故，此时， 故答案为：. 12. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】因为关于x的方程有实根， 所以关于x的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 设点到直线的距离为，则， 设，则，得到， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 得到，则，又， 由几何意义可知，故， 检验：当时，， 由，解得，此时； 由，解得，此时. 故的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD通过反例即可判断，对于B可通过的单调性判断. 【详解】对于A：取，满足，而，故错误； 对于C：取满足，而，故错误； 对于D：取，满足，而，故错误； 对于B：因为，所以，又函数单调递增，所以， 即，故正确 故选：B 14. 若在是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，再结合余弦函数单调性性质列不等式，解得结果. 【详解】. 当x∈时，∈， 所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是· 故选C. 【点睛】本题考查辅助角公式、余弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 15. 如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（ ）． A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线相交，直线平面 C. 直线与直线平行，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】对于A，连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直； 在正方体中因为，面，面，则面， 又，面，面，则面， 又面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确； 对于B，连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故B不正确； 对于C，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故C不正确； 对于D，因为面，面，面，， 故直线与直线异面是正确的， 又，， 所以，所以直线与平面不垂直，故D不正确； 故选：A 16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 三、解答题（共78分） 17. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接DM,分别以DB,DC,DM为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得平面的法向量，证明直线CD的方向向量与平面的法向量垂直后，结合CD不在平面内，证得平面； （2）再求得平面的法向量，结合（1）的平面的法向量，利用空间向量的夹角余弦值公式计算即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取的中点M，连接DM,则, 由正棱柱的性质可知平面，所以平面, 又因为底面△为正三角形，所以DB、DC、DM两两垂直， 分别以DB,DC,DM为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示： 因为，， 所以, ,设平面的法向量为, = , 令得,, ， 又∵平面， ∴平面． （2）设平面的法向量为, = , 令得,, 又∵由（1）平面的法向量为, ∴, 由图可知二面角为锐二面角角， 二面角的余弦值. 18. 已知（），且满足，. （1）求函数的解析式； （2）函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接将函数代入，计算即可； （2）先求出的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可. 【小问1详解】 由题可知， ， 解得，所以； 【小问2详解】 由题可知，得， 所以， 若存在实数使、、为等差数列，可得， 即若存在实数，， 显然， 因为，所以， 化简得 ， 故该方程在有解即可， 当时，得，不符合题意； 当时，得， 可得， 解得， 所以只需或即可， 得无解；，解得 又因为，所以得. 19. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； （3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 【答案】（1） （2）分布答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解； （3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为. 【小问2详解】 解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望. 【小问3详解】 解：购进350千克时利润的期望值：， 购进400千克时利润的期望值：， 由，解得， 因为且，因此， 所以的最小值是. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 21. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $