专题04 二次函数的应用【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题04 二次函数的应用【四大题型】 抛物线与x轴的交点 1．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 2．（2023•朝阳区校级期中）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3 3．（2023•朝阳区校级期中）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论： ①此二次函数表达式为yx2﹣x+9； ②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m； ③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）； ④当0＜x＜6时，m＜y＜8． 所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2023•石景山区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；②点C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2；③常数项c的取值范围是2≤c≤3；④系数a的取值范围是﹣1≤a．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 5．（2023•朝阳区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 　 　． 6．（2023•西城区校级期中）如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C11，若点P（31，m）在第11段抛物线C11上，则m的值为 　 　． 7．（2023•昌平区校级期中）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m． （1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点； （2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标） （3）S△ABC＝3，求抛物线的解析式． 8．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 　 　，y轴的交点坐标是 　 　，顶点坐标是 　 　； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 　 　． 二次函数与不等式（组） 9．（2023•海淀区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（　　） A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或x≥0 10．（2023•朝阳区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣1 11．（2023•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，直线y＝kx+d（k≠0）经过A，C．当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围为 　 　． 12．（2023•西城区校级期中）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为　 　． 13．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）与y轴的交点坐标是　 　；与x轴的交点坐标是　 　． （3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． （4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是　 　． （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　． 14．（2023•石景山区校级期中）阅读下面材料： 上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围． 小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围． 请结合小捷的思路回答： 对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是　 　． 参考小捷思考问题的方法，解决问题： 关于x的方程x﹣4在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围． 二次函数的应用 15．（2023•通州区校级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 16．（2023•石景山区校级期中）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　） A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s 17．（2023•东城区校级期中）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系yx2x，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 18．（2023•朝阳区校级期中）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　 　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　 　． 19．（2023•房山区校级期中）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米． （1）活动区面积S与x之间的关系式为 　 　； （2）菜园ABCD最大面积是 　 　平方米． 20．（2023•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 21．（2023•东城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系ybx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是 　 　，点P的坐标是 　 　； （2）求满足的函数关系ybx+c； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 22．（2023•朝阳区校级期中）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　 　，直接写出满足的函数关系式：　 　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 二次函数综合题 23．（2023•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由． 24．（2023•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标； （2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C． ①当a＝2时，求PB+PC的值； ②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围． 25．（2023•房山区校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”． （1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 　 　； （2）点G（2，2）是反比例函数y1图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 　 　，直线GH的表达式是y2＝　 　； （3）已知点A，B是抛物线y（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积． 26．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用【四大题型】 抛物线与x轴的交点 1．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1． ∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t． ∴1+t＝4， 解得 t＝3． 即方程的另一根为3． 答案：D． 2．（2023•朝阳区校级期中）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3 解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4）， 如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b＝0，解得b＝﹣3； 当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b， 所以b的值为﹣3或， 答案：A． 3．（2023•朝阳区校级期中）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论： ①此二次函数表达式为yx2﹣x+9； ②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m； ③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）； ④当0＜x＜6时，m＜y＜8． 所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0）， 则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9， 将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a， 故抛物线的表达式为yx2﹣x+8，故①错误，不符合题意； ②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0）， 故③正确，符合题意； ④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意； 答案：C． 4．（2023•石景山区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；②点C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2；③常数项c的取值范围是2≤c≤3；④系数a的取值范围是﹣1≤a．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），所以①正确； ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动， ∴抛物线开口向下，2≤c≤3，所以③正确； ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x1＜x2＜1，y1＜y2；所以②错误； ∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a， 而2≤c≤3， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a，所以④正确． 答案：D． 5．（2023•朝阳区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 　（﹣2，0）　． 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）． 答案：（﹣2，0）． 6．（2023•西城区校级期中）如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C11，若点P（31，m）在第11段抛物线C11上，则m的值为 　2　． 解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0， 解得x1＝0，x2＝3， ∴A1（3，0）， 由图可知，抛物线C11在x轴上方， 相当于抛物线C1向右平移3×10＝30个单位，再沿x轴翻折得到， ∴抛物线C11的解析式为y＝﹣（x﹣30）（x﹣30﹣3）＝﹣（x﹣33）（x﹣30）， ∵P（31，m）在第11段抛物线C11上， ∴m＝﹣（31﹣33）（31﹣30）＝2． 答案：2． 7．（2023•昌平区校级期中）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m． （1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点； （2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标） （3）S△ABC＝3，求抛物线的解析式． 解：（1）∵△＝（m﹣1）2﹣4×1×m＝（m+1）2≥0 ∴无论m为何值这条抛物线都与x轴至少有一个交点； （2）∵令x＝0得：y＝m， ∴点C的坐标为（0，m）． ∵令y＝0得；﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，解得：x＝﹣1或x＝m， ∴A（﹣1，0）B（m，0）． （3）由上题可得|AB|＝|m+1|，OC＝|m|， ∵SS△ABC＝3， ∴|m+1||m|＝6． 解得：m＝﹣3，m＝2． ∴y＝﹣x2﹣4x﹣3或y＝﹣x2+x+2． 8．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴的交点坐标是 　（1，0），（3，0）　，y轴的交点坐标是 　（0，3）　，顶点坐标是 　（2，﹣1）　； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 　﹣1≤y＜3　． 解：（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0， ∴x＝1或x＝3． ∴抛物线与x轴额交点坐标为（1，0），（3，0）． 令x＝0可得，y＝3． ∴与y轴交点为（0，3）， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； 答案：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）； （2）由（1）可画图象如下： （3）由题意，当x＝2时抛物线有最小值y＝﹣1； 当x＝4时，y＝3； 当x＝1时，y＝0， 由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3． 答案：﹣1≤y＜3． 二次函数与不等式（组） 9．（2023•海淀区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（　　） A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或x≥0 解：由图象可知函数的对称轴为直线x， 当x＝0时，y＝2， ∴当y＝2时，x＝0或x＝﹣3， ∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0， 答案：C． 10．（2023•朝阳区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是（　　） A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣1 解：由图可知：抛物线y＝ax2+c在直线y＝mx+n下方时，x的范围是：﹣1＜x＜3， 即不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3， 答案：A． 11．（2023•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中A（0，1），B（2，﹣1），C（4，5）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，直线y＝kx+d（k≠0）经过A，C．当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围为 　0＜x＜4　． 解：观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C， 当ax2+bx+c＜kx+d时，x的取值范围是0＜x＜4， 答案：0＜x＜4． 12．（2023•西城区校级期中）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为　0＜x＜3　． 解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B， ∴点A（0，3）， 当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴点B（3，0）， ∴不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3， 答案：0＜x＜3． 13．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）与y轴的交点坐标是　（0，﹣3）　；与x轴的交点坐标是　（3，0）（﹣1，0）　． （3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线． （4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是　x＜﹣1或x＞3　． （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是　﹣4≤y＜0　． 解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4，即y＝（x﹣1）2﹣4； （2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是 （0，﹣3）， 又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）． 答案：（0，﹣3）；（3，0），（﹣1，0）； （3）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 图象如图所示： （4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3． 答案：x＜﹣1或x＞3； （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜0． 答案：﹣4≤y＜0． 14．（2023•石景山区校级期中）阅读下面材料： 上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围． 小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围． 请结合小捷的思路回答： 对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是　a＜﹣2　． 参考小捷思考问题的方法，解决问题： 关于x的方程x﹣4在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围． 解：请结合小捷的思路回答： 由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立． 答案：a＜﹣2． 解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3＝a， 设y1＝x2﹣4x+3，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3． 二次函数的应用 15．（2023•通州区校级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， 即y与x是一次函数关系． ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ＝﹣x2+5x， ∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x， 即满足二次函数关系， 答案：A． 16．（2023•石景山区校级期中）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　） A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s 解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得： ， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t， 当t1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下， 则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒． 答案：B． 17．（2023•东城区校级期中）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系yx2x，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A．14米 B．12米 C．11米 D．10米 解：当y＝0时，则x2x0， 解得x＝﹣2（舍去）或x＝12． 答案：B． 18．（2023•朝阳区校级期中）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 　0≤w≤5　；当2≤t≤3时，w的取值范围是 　5≤w≤20　． 解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒， ∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15， ∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20， ∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）． ∵20﹣15＝5， ∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5； 当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0， ∵20﹣15＝5，20﹣0＝20， ∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20． 答案：0≤w≤5；5≤w≤20． 19．（2023•房山区校级期中）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．设矩形ABCD的边AB＝x米，面积为S平方米． （1）活动区面积S与x之间的关系式为 　S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）　； （2）菜园ABCD最大面积是 　200　平方米． 解：（1）根据题意得：BC＝（40﹣2x）米， ∴S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x， ∵40﹣2x＞0， ∴x＜20， ∴面积S与x之间的关系式为S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）； 答案：S＝﹣2x2+40x（0＜x＜20）； （2）∵S＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，且﹣2＜0，0＜x＜20， ∴当x＝10时，S取最大值200， ∴菜园ABCD最大面积是200平方米； 答案：200． 20．（2023•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为yx2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　8　米． 解：令y＝8，即yx2+10＝8， 解得：x＝±4， ∴则EF＝4（﹣4）＝8（米）． 21．（2023•东城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系ybx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是 　（0，70）　，点P的坐标是 　（40，30）　； （2）求满足的函数关系ybx+c； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30）， 答案：（0，70），（40，30）； （2）把A（0，70），P（40，30）代入ybx+c得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为yx2x+70； （3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点， ∵OC＝60m， ∴C（0，60）， 设线段BC的关系式为y＝kx+m，则， 解得：， 所以线段BC的关系式为yx+60， 设M（a，a2a+70），则N（a，a+60）， 则MNa2a+70a﹣60a2a+10（a﹣18）2+30.25， ∵0， ∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25， 答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m． 22．（2023•朝阳区校级期中）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25 根据上述数据，直接写出k的值为 　11.25　，直接写出满足的函数关系式：　y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25　； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25）， ∴h3.5， ∴y＝a（x﹣3.5）2+k， ∴， 解得：， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25； 答案：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， （2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）； ∴d1＝5米； ∵y＝﹣5x2+40x﹣68， 当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0， 解得：x4或x4（不合题意，舍去）； ∴d24＞5， ∴d1＜d2， 答案：＜； （3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12， ∴B（4，12）， ∴c＝12， ∴y＝﹣5t2+12， 当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8， ∵﹣0.8＜0， 即她在水面上无法完成此动作， ∴她当天的比赛不能成功完成此动作． 二次函数综合题 23．（2023•东城区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）． （1）若t＝0， ①求此抛物线的对称轴； ②当p＜t时，直接写出m的取值范围； （2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由． 解：（1）当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0）， ∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0）， ∴4a+2（a+2）+2＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x； ②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0）， ∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0， ∴点B（m，p）在x轴的下方， ∴m＜﹣2或m＞1． （2）p＜q，理由如下： 将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6， ∵t＜0， ∴6a+6＜0， ∴a＜﹣1， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线x， ∵a＜﹣1， ∴﹣10， ∴， ∵m＜n且3m+3n≤﹣4， ∴， ∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离， ∴p＜q． 24．（2023•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标； （2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C． ①当a＝2时，求PB+PC的值； ②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣1时，有y＝﹣x2﹣2x． 令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0． 解得x1＝0，x2＝﹣2． ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣2，0），B（0，0）． （2）①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x． 令y＝0，得2x2﹣2x＝0． 解得x1＝0，x2＝1． ∵点A在点B的左侧， ∴A（0，0），B（1，0）． ∴PB＝2． 当x＝3时，yC＝2×9﹣2×3＝12． ∴PC＝12． ∴PB+PC＝14． ②当a＜0时， ∵PB+PC≥14，PB＝3， ∴PC≥11， ∴9a﹣6≤﹣11， ∴a， 当a＞0时， ∵PB+PC≥14， ∴39a﹣6≥14 解得a≥2或a（舍弃）， 综上所述，a或a≥2， 25．（2023•房山区校级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“和谐点”． （1）如图，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“和谐点”的是 　M1，M2　； （2）点G（2，2）是反比例函数y1图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”H的坐标是 　（﹣2，﹣2）　，直线GH的表达式是y2＝　x　； （3）已知点A，B是抛物线y（x﹣1）2+5上的“和谐点”，点A在点B的左侧，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，求点A，B的坐标，并直接写出△ABC的面积． 解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2）， ∴矩形ABCD的“和谐点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2， ∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“和谐点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“和谐点”， 答案：M1，M2； （2）∵点G（2，2）是反比例函数y1图象上的一个“和谐点”， ∴把G（2，2）代入y1得k＝4， ∴y1， ∵“和谐点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“和谐点”都在y＝x的图象上，联立得：， 解得或， ∴H（﹣2，﹣2）， ∴直线GH的解析式为y2＝x， 答案：（﹣2，﹣2），x； （3）∵点A，B是抛物线y（x﹣1）2+5上的“和谐点”， ∴y＝x， 即（x﹣1）2+5＝x， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴当x＝3时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝﹣3， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣3，﹣3），B（3，3）， ∵y（x﹣1）2+5， ∴顶点C（1，5）， ∴BC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，AC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80， ∴AC2＝BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形． ∴BC＝2，AB＝6， ∴S△ABCBC•AB2612． 26．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4）， 定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴CD， BC3， BD2， ∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形； （3）存在． y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1． ①若以CD为底边，则P1D＝P1C， 设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即y＝4﹣x． 又P1点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即x2﹣3x+1＝0， 解得x1，x21，应舍去， ∴x， ∴y＝4﹣x， 即点P1坐标为（，）． ②若以CD为一腰， ∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称， 此时点P2坐标为（2，3）． ∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$