特训03 数的整除 分数 压轴题（二大模块，新旧教材衔接）-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训03 数的整除 分数 压轴题（二大模块，新旧教材衔接） 模块1：数的整除 1．已知是一个素数，是一个偶数，，求的值，并把它分解素因数． 2．已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除． 3．如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是．王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地．甲、乙两地相距多少千米？ 4．小侦探柯南在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是： A B C D E F 他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数；B的所有因数是1，2，4，8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E是2；F既是9的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么． 5．某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人． (1)求这次评选参赛的同学有多少名？ (2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？ 6．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 7．两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把两人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是 123，谁就获胜，让你先报，就一定会赢，那么你就第一个数报几? 8．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． (1)（＋）能被11整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除， 那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 9．阅读以下材料：若关于的三次方程（为整数）有整数解，则将代入方程，得． ， 都是整数， 都是整数， 是的因数， 上述过程说明：整数系数方程的整数解只能是常数项的因数． 如： 方程中常数项的因数为和， 将和分别代入方程， 得是该方程的整数解，，1，2，不是方程的整数解． 解决下列问题： (1)根据上面的学习，方程的整数解可能是__________________________． (2)请根据材料中的方法，判断方程有整数解吗？若有，求出整数解；若没有，请说明理由． 10．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 11．阅读下列材料，解决问题： 我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：，，，，到这里如果你仍然观察不出来，就继续，是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”． (1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由． (2)一个五位节俭数，其中千位上的数字为b，万位上的数字为a，且，请利用上面方法求出这个数． 12．希腊历史学家Polybiu在公元前两百多年前发明“5-5密码格”，它是将字母依照服序排列到方格里面： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y 然后用字母所在的列与行的两个数字表示该字母．例如：32就代表字母H（第3列第2行）． （1）用“5-5密码格”，收信息33532551，它表示哪个英文单词？ （2）要想使对方收到英文单词“china”，应该发出哪一组数字？ （3）探究性学习：用手机发密码．研究手机输出键，看看能否用两个数字表示一个汉语拼音字母．假如现在你要发“LB”（老爸）这两个字母的短信内容给你爸爸，可在手机上发出哪一组数字？ 模块2：分数 13．先观察再答题． 因为 所以 … … （1）____________________； （2）计算：． 14．观察： 根据上述式子，完成下列问题： (1)＝﹣，＝+． (2)计算：． (3)计算：． (4)解方程：． 15．（1）操作：如果把圆的面积看作整体1，请在图中用阴影部分表示出分数，，，，再观察式子，；；； 思考并回答下列问题． （2）把分数，，，由小到大的顺序排列是_________________． （3）比较大小．________（填“<”或“>”）． （4）如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数__________（填“大”或“小”）． （5）请猜想，如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上相同的自然数，所得的分数（    ） A．一定比原来的分数大 B．一定比原来的分数小 C．与原来的分数相等 D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等 16．现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时． (1)如果三位老师同时改阅需要多少时间？ (2)如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ (3)如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 17．十一国庆节前夕，某水果超市购进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子和香蕉的重量比为2：3，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，桔子的进价是苹果的． (1)求水果超市购进苹果多少千克？ (2)求购进的苹果比香蕉多多少千克？ (3)在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少元钱？ 18．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径是3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少．（取3.14） (1)求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ (2)每个圆柱形铁块的高为15厘米，圆锥形铁块的体积为47.1立方厘米，求圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ (3)在（2）的条件下，一个底面积是平方厘米的圆柱形容器里盛有高为厘米的水．将立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积减少．两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分没入水中，其中一个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另一个圆柱形铁块露出水面的高的比是3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘米？ 19．学校每天给班级提供一桶体积相同的饮用水，每个同学的平均饮水量和饮水人数关系如表： 每个同学的平均饮水量/升 　 　 饮水人数/人 　 　 25 30 　 　 (1)一桶装纯净水桶可看做圆柱，高度：，直径：，同学们喝了一些，无水部分高，喝了多少水？ (2)假如每个班级学生每天将学校提供饮用水全部喝完，通过计算将表格补充完整．（要有计算过程） (3)若每桶饮用水为15元，超过18桶打八折．某班按每人每天平均饮水升计算，结果到月底共付水费240元（每月在校日按20天计算），请计算这个班级共有多少名学生？ 20．观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 21．探究理解：如图，在数轴上放置一个长方形块，长方形的长为，宽为，长方形的初始位置如图所示，沿A点做数轴垂线，在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动，请寻找规律并填空．      第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：． 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：． (1)第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． (2)第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． (3)第101次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：_______． 22．分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ；     (1)仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． , (2)在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 23．每个假分数可以写成一个自然数与一个最简真分数的和（例如），真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组． 如：对于假分数，则， ， ， ， 所生成的自然数组为 请根据上述阅读材料填空； (1)由假分数生成的自然数组是{______}（请写出解题过程） (2)已知某个假分数所生成的自然数组为，那么这个假分数是______．（直接写出答案） 24．从下面选择合适的图形编号填在等式内，并照图写出相应的分数加减算式． (1)图号和算式分别为________，__________________________． (2)图号和算式分别为________，__________________________． (3)从下面选择合适的图形编号填在等式内，在内“+”或“−”，使等式成立．（本题填的图形编号．“+”、“−”均不重复使用） （所有供选择的图形如下） 25．阅读理解题：求值可用下面的两种方法计算： 方法一： 方法二：通过下图发现的值等于1减去阴影部分的面积，即． （1）请模仿上述两种方法求的值． 方法一：        方法二： （2）用合理的方法求的值． 26．【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如： ， ，…； ， ，…； (1)请观察小明发现的拆分方法，填空： ①=； ②=． (2)请归纳以上拆分规律，计算下列各题： ①； ②； (3)请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果： ①=                        ； ②=                      ． 27．阅读材料并回答问题： 我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小． (1)请问下列适合用通分来比较大小的一组数是 　 　；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是 　 　； ①；②，，，③，，， (2)我们经常也会用到将分数与比较大小，进而比出分数大小的方法．如，，这三个数，比0.5要小，而．我们就可以比较这三个数的大小 　 　（用“＜”连接）．像这样的方法称为“中间数”比大小法，中间数有时也可以是其他数字． (3)阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）： ①，，，，这组数中，哪一个最小？ ②，，，，，，这组数中，第三小的是哪一个？ 28．在判断一个较大的整数是否为素数时，常常使用“N法”．对于一个较大的整数， 第一步，找到一个整数，要求：且； 第二步，用小于等于这个整数的所有素数从小到大依次去除这个整数； 若能够其中一个素数被整除，则不是一个素数；反之，是一个素数． 以667为例， 第一步， ； 所以， 第二步，用2、3、5、7、11、13、17、19、23分别去除667， 得到， 所以，667不是一个素数． (1)模仿上述方法，判断323是一个素数？还是一个合数？ (2)利用上述方法，判断下列分数是否为最简分数，若不是，请进行约分：                    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 数的整除 分数 压轴题（二大模块，新旧教材衔接） 模块1：数的整除 1．已知是一个素数，是一个偶数，，求的值，并把它分解素因数． 【答案】 【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常见的素数，利用这些素数进行分析求解． 【解析】，是偶数，2018是偶数， 因此一定是偶数， 而偶数中只有2是素数， 因此，， ． 【点睛】本题考查对素数的认识，20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19，熟练掌握是关键． 2．已知一个三位数，试证明：若能被9整除，则能被9整除． 【答案】证明见解析 【解析】解：， 因为能被9整除，能被9整除， 所以能被9整除． 【点睛】本题考查了三位数的表示方法，以及整除的运用，熟练掌握多位数的表示法是解答本题的关键． 3．如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是．王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地．甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】60千米． 【分析】根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚所用的时间，再求出甲地到丙地的路程，进而求得甲乙两地的路程． 【解析】解：王刚和李华所用时间比为： 王刚用的时间为：（小时） 甲地到丙地的路程（千米） 甲乙两地的路程为：（千米） 【点睛】此题主要考查比的应用，正确理解比的意义是解题关键． 4．小侦探柯南在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是： A B C D E F 他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数；B的所有因数是1，2，4，8；C是最小的自然数；D只有一个因数；E是2；F既是9的因数又是9的倍数．你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么． 【答案】密码是580129，理由见解析 【分析】根据因数、自然数、倍数的性质计算，即可得到答案． 【解析】∵A是5的最大因数 ∴A是5 ∵B的所有因数是1，2，4，8 ∴B是8 ∵C是最小的自然数 ∴C是0 ∵D只有一个因数 ∴D是1 结合题意，E是2 ∵F既是9的因数又是9的倍数 ∴F是9 ∴这个六位数的密码是：580129． 【点睛】本题考查了因数、自然数、倍数的知识；解题的关键是因数、自然数、倍数的性质，从而完成求解． 5．某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人． (1)求这次评选参赛的同学有多少名？ (2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意：获得一等奖、二等奖和三等奖人数的比是，化简得，实际就是求、和的最小公倍数. （2）根据（1）中求得的人数是，可求得获得一等奖的同学人数是. 【解析】（1）∵， ∴、、的最小公倍数是， 答：这次评选参赛的同学有名； （2）由（1）可知这次评选参赛的同学有名， ∴评选获得一等奖的同学有名， 答：这次评选获得一等奖的同学有名. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握求几个数的最小公倍数的方法. 6．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【解析】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 7．两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把两人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是 123，谁就获胜，让你先报，就一定会赢，那么你就第一个数报几? 【答案】第一个数报6 【分析】对方至少要报数1，至多报数8，不论对方报多少数，你总是可以做到两人所报之和为9，，第一次报数6，之后让每次两人报数之和为9即可． 【解析】对方至少要报数1，至多报数8，不论对方报多少数，你总是可以做到两人所报之和为9， ， 第一次报数6，以后对方报数后，你再报数，使一轮中两人报数之和为9，你就能在13轮候达到123， ∴第一个报6． 【点睛】本题考查数的整除问题，根据题意分析出不论对方报多少数，你总是可以做到两人所报之和为9，是解题的关键． 8．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． (1)（＋）能被11整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除， 那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【答案】(1)能被整除，理由见解析 (2)， 【分析】（1）根据给定的运算可表示出，即可得证； （2）根据,结合已知条件即可证得． 【解析】（1）解：能被整除，理由为： ， ∴能被整除． （2）解： ， ∵，都能被3整除， ∴就能被3整除， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 9．阅读以下材料：若关于的三次方程（为整数）有整数解，则将代入方程，得． ， 都是整数， 都是整数， 是的因数， 上述过程说明：整数系数方程的整数解只能是常数项的因数． 如： 方程中常数项的因数为和， 将和分别代入方程， 得是该方程的整数解，，1，2，不是方程的整数解． 解决下列问题： (1)根据上面的学习，方程的整数解可能是__________________________． (2)请根据材料中的方法，判断方程有整数解吗？若有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)该方程的整数解为 【分析】（1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程的整数解只可能是的因数”，即可得到答案； （2）根据题目给出的材料，对方程进行变形求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是5的因数，而5的因数只有：，这四个数， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 均为整数， 为整数， 为6的因数， 6的因数为：和和和， 将和和和分别代入， 得是该方程的整数解，，2，，3，，6，不是方程的整数解， 该方程的整数解为． 【点睛】本题考查了阅读能力以及自主学习、自主探究的能力，该类型的题目是近几年的热点考题，认真学习题目中给出的材料，掌握“整数系数方程的整数解只可能是的因数”是解答问题的关键． 10．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 【答案】(1)312，875均是“好数”，理由见解析 (2)611，617，721，723，729，831，941，理由见解析 【分析】（1）根据“好数”的意义，判断即可得出结论； （2）设十位数数字为，则百位数字为的整数），得出百位数字和十位数字的和为，再分别取，2，3，4，计算判断即可得出结论． 【解析】（1）解：312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且，4能被2整除； 875是“好数”，因为8，7，5都不为0，且，15能被5整除； （2）解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由： 设十位数数字为，则百位数字为的整数）， ， 当时，， 能被1，7整除， 满足条件的三位数有611，617， 当时，， 能被1，3，9整除， 满足条件的三位数有721，723，729， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有831， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有941， 即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个． 【点睛】本题主要考查了数的整除问题和新定义问题，理解并灵活运用新定义是解本题的关键． 11．阅读下列材料，解决问题： 我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：，，，，到这里如果你仍然观察不出来，就继续，是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”． (1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由． (2)一个五位节俭数，其中千位上的数字为b，万位上的数字为a，且，请利用上面方法求出这个数． 【答案】(1)是“节俭数”； 是“节俭数” (2) 【分析】（1）模仿例题解决问题即可； （2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可； 【解析】（1），，， 所以能被整除，是“节俭数”； ，，，，， 所以能被整除，是“节俭数”； （2）解：∴，能被整除 ∴， ∴能被整除 ∴ ∴当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， ∴， ∴这个数为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键． 12．希腊历史学家Polybiu在公元前两百多年前发明“5-5密码格”，它是将字母依照服序排列到方格里面： A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y 然后用字母所在的列与行的两个数字表示该字母．例如：32就代表字母H（第3列第2行）． （1）用“5-5密码格”，收信息33532551，它表示哪个英文单词？ （2）要想使对方收到英文单词“china”，应该发出哪一组数字？ （3）探究性学习：用手机发密码．研究手机输出键，看看能否用两个数字表示一个汉语拼音字母．假如现在你要发“LB”（老爸）这两个字母的短信内容给你爸爸，可在手机上发出哪一组数字？ 【答案】（1）MOVE；（2）3132424311；（3）2321 【分析】（1）根据“列与行的两个数字表示字母”，找到33、53、25、51，就可知道它表示哪个英文单词； （2）分别找到字母c、h、i、n、a所在的列与行的两个数字，就可知道该发出哪一组数字； （3）分别找到字母L、B所在的列与行的两个数字，就可知道该在手机上发出哪一组数字． 【解析】（1）33代表字母M、53代表字母O、25代表字母V、51代表字母E， 表示的英文单词是：MOVE； （2）c所在的列与行的两个数字是31， h所在的列与行的两个数字是32， i所在的列与行的两个数字是42， n所在的列与行的两个数字是43， a所在的列与行的两个数字是11， 应该发出的一组数字是：3132424311； （2）L所在的列与行的两个数字是23， B所在的列与行的两个数字是21， 该在手机上发出的一组数字是：2321． 【点睛】本题考查了数对与位置．解答此题的关键是根据已知条件确定数对中每个数字所表示的意义． 模块2：分数 13．先观察再答题． 因为 所以 … … （1）____________________； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意得，求出结果即可； （2）将算式每一项拆开，然后求和即可． 【解析】（1） （2）解：原式． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了分数减法，分数乘法，熟练掌握分数乘分数的意义和运算法则是本题的关键，根据题意总结归纳规律是本题的难点． 14．观察： 根据上述式子，完成下列问题： (1)＝﹣，＝+． (2)计算：． (3)计算：． (4)解方程：． 【答案】(1)7，8，8，9 (2) (3)36 (4)x＝ 【解析】（1）， 故答案为：7，8，8，9 （2） （3） （4）∵ ∴ 即： ∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查了分式的加减运算，关键是读懂题意，会把一个分数拆分成两个分数的和或差的形式，对学生灵活运用知识有较高的要求． 15．（1）操作：如果把圆的面积看作整体1，请在图中用阴影部分表示出分数，，，，再观察式子，；；； 思考并回答下列问题． （2）把分数，，，由小到大的顺序排列是_________________． （3）比较大小．________（填“<”或“>”）． （4）如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数__________（填“大”或“小”）． （5）请猜想，如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上相同的自然数，所得的分数（    ） A．一定比原来的分数大 B．一定比原来的分数小 C．与原来的分数相等 D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等 【答案】（1）见解析；（2）；（3）<；（4）大；（5）D 【分析】（1）根据分数的意义进行表示即可； （2）根据（1）中面积大小进行比较即可； （3）根据题目可推得，从而得到结果； （4）根据（1）、（2）即可得到结果； （5）分“加上的自然数为0和加上的自然数不为0”两种情况，进行判断即可． 【解析】（1）如图所示； （2）由（1）中阴影面积的大小得知，； （3）由（2）可推得，， ∴； （4）由（1）、（2）可知，，，， ∴一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数大； （5）若一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上0，则所得的分数与原来的分数相等，若一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上相同的非零自然数，由（4）可知，所得的分数可能比原来的分数大，所以选D． 【点睛】本题考查了分数的意义及比较大小，认真观察找出题目规律是解题的关键． 16．现有A、B、C三位老师参加民校联考试卷改阅，已知A老师单独改阅需10小时，B老师单独改阅需8小时，C老师单独改阅需6小时． (1)如果三位老师同时改阅需要多少时间？ (2)如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？ (3)如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？ 【答案】(1)如果三位老师同时改阅需要小时 (2)改阅完全部试卷需要7小时56分钟 (3)可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成 【分析】（1）根据题意，可知A老师工作效率为每小时，B老师工作效率为每小时，C老师工作效率为每小时，根据“工作时间工作总量工作效率”列式计算即可； （2）按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，可先工作完两轮（即6小时），则剩下，再由A改阅1小时，则剩下，由B独做，需要（分钟）．小时小时分钟，计算总时间即可； （3）按C、B、A的顺序，2轮之后剩余工作量，再由C改阅1小时，则剩下，由B独做，需要（分钟）．计算总时间，小时小时分钟小时分钟．计算提前的时间，小时分钟小时分钟（分钟），故可以提前半小时完成． 【解析】（1）解： （小时） 答：如果三位老师同时改阅需要小时． （2）按照A、B、C、A、B、C…的顺序，两轮后剩余工作量为： 剩余工作量由A独做1小时后剩下： ； 最后剩下的工作量由B独做需要的时间： （分钟）； 因此，总共需要的时间： 小时小时分钟小时分钟． 答：改阅完全部试卷需要7小时56分钟． （3）按C、B、A的顺序，2轮之后剩余工作量： 剩余工作量由C独做1小时后剩下： ； 最后剩余的工作量由B独做需要的时间： （分钟）； 所以总共用的时间为： 小时小时分钟小时分钟， 小时分钟小时分钟（分钟）， ， 故可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成． 【点睛】本题考查了工作效率问题、分数除法的应用，熟练掌握“工作时间工作总量工作效率”是解题的关键． 17．十一国庆节前夕，某水果超市购进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子和香蕉的重量比为2：3，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，桔子的进价是苹果的． (1)求水果超市购进苹果多少千克？ (2)求购进的苹果比香蕉多多少千克？ (3)在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少元钱？ 【答案】(1)购进苹果240千克 (2)苹果比香蕉多24千克 (3)共赚1111元 【分析】（1）根据题意苹果占总数的列出算式，计算即可求出值； （2）根据题意求出苹果与香蕉的千克数，相减即可求出值； （3）根据题意求出三种水果的单价，进而表示出提价后的价钱，乘以各自的千克数（除去损失），列出算式，计算即可求出值． 【解析】（1）解：根据题意得：， 则水果超市购进苹果240千克； （2）解：∵桔子和香蕉的重量比为2：3， ∴桔子占剩下的， ， ， 则购进的苹果比香蕉多24千克； （3）解：根据题意得：苹果： （元）， （元）， 实赚（元）； 香蕉： （元）， （元）， 实赚：（元）； 桔子： （元）， =576（元）， 实赚：（元）， （元）， 则该商店共赚1111元钱． 【点睛】此题考查了分数四则混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 18．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径是3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少．（取3.14） (1)求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ (2)每个圆柱形铁块的高为15厘米，圆锥形铁块的体积为47.1立方厘米，求圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ (3)在（2）的条件下，一个底面积是平方厘米的圆柱形容器里盛有高为厘米的水．将立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积减少．两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分没入水中，其中一个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另一个圆柱形铁块露出水面的高的比是3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘米？ 【答案】(1)2厘米 (2)圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的 (3)12厘米 【分析】（1）根据圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少列式计算即可； （2）根据圆锥形铁块的体积公式求出圆锥的高，然后用圆锥形铁块的高除以圆柱形铁块的高即可； （3）先求出容器中水的总体积，再设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米，根据题意列出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：（厘米） 答：圆锥形铁块底面半径是2厘米． （2）解：（厘米） 答：圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的； （3）解：圆柱形容器原有水：（cm3） 冰化成水的体积为：（cm3） 混合后圆柱形容器中水的总体积： 设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米 解得 所以cm 答：此时容器中水面的高是12厘米． 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式． 19．学校每天给班级提供一桶体积相同的饮用水，每个同学的平均饮水量和饮水人数关系如表： 每个同学的平均饮水量/升 　 　 饮水人数/人 　 　 25 30 　 　 (1)一桶装纯净水桶可看做圆柱，高度：，直径：，同学们喝了一些，无水部分高，喝了多少水？ (2)假如每个班级学生每天将学校提供饮用水全部喝完，通过计算将表格补充完整．（要有计算过程） (3)若每桶饮用水为15元，超过18桶打八折．某班按每人每天平均饮水升计算，结果到月底共付水费240元（每月在校日按20天计算），请计算这个班级共有多少名学生？ 【答案】(1)喝了的水 (2)填表见解析，计算过程见解析 (3)50人或40人 【分析】（1）根据圆柱体积计算公式求解即可； （2）先求出一桶水的体积，再根据一桶水的体积每个同学的平均饮水量饮水人数进行求解即可； （3）分当超过18桶时，当没有超过18桶时，两种情况分别计算出一共喝了多少桶，再根据水的体积每个同学的平均饮水量饮水人数天数进行求解即可． 【解析】（1）解：， 所以喝了的水； （2）解：一桶水的体积为：（升）， （人）， （升/人）， （人）， 填表如下： 每个同学的平均饮水量/升 饮水人数/人 24 25 30 40 （3）解：当超过18桶时， （桶）， （人）； 当没有超过18桶时， （桶）， （人）； 综上所述，这个班级的学生人数为50人或40人， 答：这个班级的学生人数为50人或40人． 【点睛】本题主要考查了分数的实际应用，圆柱的体积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．观察下列等式． ，，， (1)直接写出计算结果： ___________ (2)探究并计算： (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3)998 【分析】（1）根据已知算式找到规律，将所求式子变形为减法，再计算即可； （2）由已知规律可得，将变形为，依次变形，再计算即可； （3）找到规律，，…，依次变形计算即可． 【解析】（1）解：由题意可得： ； （2） ； （3）， ， 则 ． 【点睛】本题考查了分数的混合运算，数字型规律，解题的关键是找到相应规律，将计算简化． 21．探究理解：如图，在数轴上放置一个长方形块，长方形的长为，宽为，长方形的初始位置如图所示，沿A点做数轴垂线，在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动，请寻找规律并填空．      第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：． 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：． (1)第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． (2)第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________． (3)第101次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：_______． 【答案】(1)2 (2)5 (3) 【分析】（1）根据数轴上A的位置的变动可得第三次翻滚后对应的数； （2）再分别计算第四次，第五次翻滚，从而总结规律，再利用规律作答即可； （3）由，结合（2）中的规律可得答案． 【解析】（1）解：第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：； （2）第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：； 第4次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 第5次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：， 发现是4次一循环，加一个周长； 做顺时针的翻动时边依次相加，0， ，1， ， 所以第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：． （3）∵， ∴第101次翻动，即翻动了25个长方形的周长还余一次， 由（2）可得： 即． 【点睛】本题考查的是分数的加减运算的规律探究，除法运算的含义，理解题意，掌握探究的方法是解本题的关键． 22．分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ；     (1)仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． , (2)在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）由单位分数的意义可知将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和，过程就是利用同分母分数的加法或分数的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母； （2）只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个分数利用分数的性质继续拆分即可． 【解析】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解：第一种： ； 第二种：， ； 第三种：， ； 第四种：， ． 【点睛】此题考查了分数性质的灵活应用，掌握同分母分数相加以及约分方法是解题关键． 23．每个假分数可以写成一个自然数与一个最简真分数的和（例如），真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组． 如：对于假分数，则， ， ， ， 所生成的自然数组为 请根据上述阅读材料填空； (1)由假分数生成的自然数组是{______}（请写出解题过程） (2)已知某个假分数所生成的自然数组为，那么这个假分数是______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解； （2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解． 【解析】（1）∵，，，，， ∴假分数生成的自然数组是， （2）∵这个假分数所生成的自然数组为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了假分数化为带分数，倒数的定义，掌握新定义运算是解题的关键． 24．从下面选择合适的图形编号填在等式内，并照图写出相应的分数加减算式． (1)图号和算式分别为________，__________________________． (2)图号和算式分别为________，__________________________． (3)从下面选择合适的图形编号填在等式内，在内“+”或“−”，使等式成立．（本题填的图形编号．“+”、“−”均不重复使用） （所有供选择的图形如下） 【答案】(1)④，； (2)①，； (3)． 【分析】（1）根据分数的意义可知，第一个三角形平均分成4份，阴影部分1份表示为，第二个三角形平均分成两份，阴影部分1份表示为，列式为，再根据分数的意义找出相符图号即可； （2）根据分数的意义可知，第一个三角形平均分成8份，阴影部分占7份，表示为，第二个三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，列式为，再根据分数的意义找出相符图号即可； （3）根据分数的意义可知，等号后面的三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为，要找到三个分数，使其和差等于即可． 【解析】（1）解：第一个三角形平均分成4份，阴影部分1份表示为， 第二个三角形平均分成两份，阴影部分1份表示为， 列式为， 而图号④中的三角形平均分成4份，阴影部分占3份，表示为，符合题意， 故答案为：④，； （2）解：第一个三角形平均分成8份，阴影部分占7份，表示为， 第二个三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为， 列式为， 而图号①中的三角形平均分成4份，阴影部分占2份，表示为，符合题意， 故答案为：①，； （3）解：根据分数的意义可知，等号后面的三角形平均分成8份，阴影部分占3份，表示为， 同理可得，①表示，②表示，③表示，④表示，⑤表示，⑥表示，⑦表示，⑧表示， ∵， ∴． 【点睛】本题通过图形考查了学生对于分数意义的理解与应用，以及分数的加减运算，正确理解分数的意义是解题的关键． 25．阅读理解题：求值可用下面的两种方法计算： 方法一： 方法二：通过下图发现的值等于1减去阴影部分的面积，即． （1）请模仿上述两种方法求的值． 方法一：        方法二： （2）用合理的方法求的值． 【答案】（1）见解析，；（2）． 【分析】（1）方法一：根据异分母的分数加法法则解答；方法二：运用题目例题中的方法二计算，即用1减去最后一个分数计算； （2）用方法一通分计算比较麻烦，可采用方法二的方法计算，即用1减去最后一个分数计算． 【解析】解：（1）方法一：； 方法二：通过图2发现的值等于1减去阴影部分的面积，即=； （2）由（1）题方法二可得． 【点睛】本题考查了分数的运算和规律探求，正确理解题意、找出解答的方法和规律是关键． 26．【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如： ， ，…； ， ，…； (1)请观察小明发现的拆分方法，填空： ①=； ②=． (2)请归纳以上拆分规律，计算下列各题： ①； ②； (3)请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果： ①=                        ； ②=                      ． 【答案】(1)① 4，5；② 4，5 (2)①，② (3)①，② 【分析】（1）仿照所给等式的形式进行求解即可； （2）①将式子中的每一项拆分为两个不同的“单位分数”之和；②将式子中的每一项拆分为两个不同的“单位分数”之差； （3）仿照（2）进行求解即可． 【解析】（1）解：，， 故①，②； （2）解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； （3）解：①， ； ② ． 【点睛】本题考查分数的混合运算，掌握拆分方法是解题的关键． 27．阅读材料并回答问题： 我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小． (1)请问下列适合用通分来比较大小的一组数是 　 　；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是 　 　； ①；②，，，③，，， (2)我们经常也会用到将分数与比较大小，进而比出分数大小的方法．如，，这三个数，比0.5要小，而．我们就可以比较这三个数的大小 　 　（用“＜”连接）．像这样的方法称为“中间数”比大小法，中间数有时也可以是其他数字． (3)阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）： ①，，，，这组数中，哪一个最小？ ②，，，，，，这组数中，第三小的是哪一个？ 【答案】(1)①；②； (2) (3)①本组数中，最小；②这组数中，第三小的是． 【分析】（1）根据分数的特点、通分法则判断即可； （2）根据有理数的大小比较法则解答； （3）①先比较各个分数与的大小，再比较和的大小即可； ②先比较各个分数与的大小，再比较、、的大小，进而得到答案． 【解析】（1）解：适合用通分来比较大小的一组数是①， 适合将分数化成小数来比较大小的一组数是②， 故答案为：①；②； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴、和是较小的两个数， ∵，， ∴， ∴本组数中，最小； ②∵， ∴较小的三个数是； ∵， ∴， ∴这组数中，第三小的是． 【点睛】本题考查的是分数的通分，掌握分数的基本性质、分数的大小比较法则是解题的关键． 28．在判断一个较大的整数是否为素数时，常常使用“N法”．对于一个较大的整数， 第一步，找到一个整数，要求：且； 第二步，用小于等于这个整数的所有素数从小到大依次去除这个整数； 若能够其中一个素数被整除，则不是一个素数；反之，是一个素数． 以667为例， 第一步， ； 所以， 第二步，用2、3、5、7、11、13、17、19、23分别去除667， 得到， 所以，667不是一个素数． (1)模仿上述方法，判断323是一个素数？还是一个合数？ (2)利用上述方法，判断下列分数是否为最简分数，若不是，请进行约分：                    【答案】(1)素数 (2)不是；； 【分析】（1）根据“N法”，用2、3、5、7、11、13，依次去除323即可得出结论； （2）根据“N法”可得，，，即可判断分数是、不是最简分数，再约分即可化简分数． 【解析】（1）解：第一步，∵，， ∴ 第二步，用2、3、5、7、11、13分别去除323，发现没有质数能整除， 所以323是一个素数； （2）解：和都不是最简分数， 用“N法”可得，， ∴； 用“N法”可得，， ∴． 【点睛】本题考查新定义；能够读懂材料，根据“N法”步骤求解是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$