专题01 有理数-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题01有理数 题型一 数轴上两点之间的距离 例1．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【1-1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 【1-2】数轴上有三点、、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为 ． 【1-3】如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 。 【1-4】如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)表示原点的是点______，点表示的数是______； (2)在点的右侧有两点，点到点的距离是；点到点的距离是，则点，之间的距离是多少？ 题型二 数轴上的动点问题 例2．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）解：点到原点的距离是，两点之间的距离是， 故答案为：3，9； （2）解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是． 5秒后点向左运动了个单位长度，， 所以点表示的数是； （3）解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度， 所以点表示的数是． 第1次运动后点表示的数， 此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：． ， 所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 【答案】(1)3，9 (2) (3)第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【2-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【2-2】正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是 ． 【2-3】刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 【2-4】已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 题型三 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 例3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键． （1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断，的符号，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 【答案】(1)，， (2) 【3-1】如图，点和表示的数分别为和，下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【3-2】数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（    ） A．点左侧 B．点点之间（不含点点） C．点点之间（不含点点） D．点右侧 【3-3】有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 则在下列选项中，正确的是（      ） ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【3-4】如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 题型四 绝对值的几何意义 例4．我们知道的几何意义是：数轴上表示的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______；表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______． (2)数轴上表示数的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______． (3)可理解为与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使，则______． (4)当式子取最小值时，______． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离进行计算即可； （2）根据表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义作答，根据两点间的距离公式，分，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，式子取最小值，即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：3，7； （2）当表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离， ∴； 故答案为：4； （3）可表示为数与数之间的距离； 当时：，解得：； 当时，； 当时，，解得：； 故答案为：；或； （4），表示数与数之间的距离之和， ∴当时，的距离最小； 故答案为：2． 【答案】(1)3，7 (2)4 (3)；或 (4)2 【4-1】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【4-2】探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： (1)如图． ①点D和点A之间的距离为______，点D到点G的距离为______； ②点C和点A之间的距离为______，点C到点F的距离为______； ③点E和点B之间的距离为______，点E到点I的距离为______； (2)如果数轴上点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P和点Q之间的距离可表示为______．（用含a，b的式子表示） (3)数轴上表示x和的两点M，N之间的距离是10，求x． 【4-3】阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【4-4】数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)如果数轴上表示数的点位于和之间，那么_______； (4)若表示一个有理数，则的最小值是________． 题型五 绝对值的化简 例5．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【分析】（）由异号分种情况讨论：①；②，分别求解即可； （）利用绝对值的代数意义，以及小于，求出与的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵异号， ∴分种情况讨论： ①，则有，， ∴； ②，则有，， ∴； 综上，的值为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 【答案】(1)(2)或 【5-1】．a，b，c大小关系如图，下列各式中，错误的个数为  （            ） ①；  ②；  ③  ；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【5-2】有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【5-3】若a、b、c都为整数，满足，则 ． 【5-4】设a、b、c为非零有理数，，，，化简：． 一、单选题 1．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与对应的点是（    ） A．A B．B C．C D．D 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④（a、b都不为0），则的值为0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，圆的周长为4个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合⋯）依次环绕，则数轴上表示的点与圆周上重合的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果是有理数，则的最小值是 ． 8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度．则数轴上点B所对应的数b为 ． 9．数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 10．已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 11．已知非零有理数，，满足，则 ． 12．已知数位置如图所示，化简 ． 三、解答题 13．同学们都知道表示7与之差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)　　　　　　，，则　　　　　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是　　　　　　． (3)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 14．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 15．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 16．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 17．阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 18．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 19．（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简． 20．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数 题型一 数轴上两点之间的距离 例1．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是，． 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【1-1】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或1， 故答案为：或1． 【1-2】数轴上有三点、、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当E在线段上时，． 当E在线段的反向延长线上时，， 综上所述：或， 故答案为：8或4． 【1-3】如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 。 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，数轴的运用，由题意可得，底面圆的周长为，而圆柱体的高为，根据侧面积底面周长高即可求解，解题的关键是通过数轴求出圆柱体的底面周长． 【详解】解：由题意可得，底面圆的周长为， ∴这个圆柱体的侧面积为， 故答案为：． 【1-4】如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)表示原点的是点______，点表示的数是______； (2)在点的右侧有两点，点到点的距离是；点到点的距离是，则点，之间的距离是多少？ 【答案】(1)，；(2)． 【分析】（）根据数轴特点即可求解； （）根据数轴特点求出点各表示上午数，然后用数轴见得距离即可求解； 本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点表示的数是，点表示的数是， ∴中点即为原点， ∴原点的是点， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）由题意，得点表示的数为， 因为点在点的右侧，点到点的距离是；点到点的距离是， 所以点表示的数是，点表示的数是， 所以点，之间的距离是． 题型二 数轴上的动点问题 例2．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． (1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？ (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）解：点到原点的距离是，两点之间的距离是， 故答案为：3，9； （2）解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是． 5秒后点向左运动了个单位长度，， 所以点表示的数是； （3）解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度， 所以点表示的数是． 第1次运动后点表示的数， 此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：． ， 所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 【答案】(1)3，9 (2) (3)第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【2-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ∴数轴上表示2024的点与圆周上数字1重合， 故选：B． 【2-2】正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是 ． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上动点问题、数轴上两点的距离，先求得正方形的边长为1，再根据前几次翻滚的数对应的点的变化找到变化规律，进而可求解． 【详解】解：∵点、对应的数分别为0和1， ∴，即该正方形的边长为1， ∴第1次翻转后，点B对应的点为2， 第2次翻转后，点C对应的点为3， 第3次翻转后，点D对应的点为4， 第4次翻转后，点A对应的点为5， 第5次翻转后，点B对应的点为6， ……， 依次类推，翻转4次为一个循环周期， ∵， ∴翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是点D， 故答案为：D． 【2-3】刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，根据刻度“”和“”分别与数轴上表示的数0和的点重合，可求出数轴上一个单位是，再根据向右平移5个单位得出点表示的数，就可求出刻度尺的长，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【详解】解：∵刻度“”和“”分别与数轴上表示数0和的点重合， ∴数轴上一个单位长度为， 将该刻度尺沿数轴向右平移5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合， 原点A表示的数是， 则点A到原点的距离为， 刻度尺长为， 故答案为：40． 【2-4】已知数轴上、两点对应的数分别为、，为数轴上一动点，对应的数为，若点到、距离的比为，则点表示的数为 ． 【答案】8或80 【分析】本题考查了数轴上动点的移动规律，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：考虑到点P是动点，分三种情况讨论： ①当点P在A点左侧时，因，则不符合题意，故舍去； ②当P点在A、B中间时，有，解得； ③当P点在B点右侧时，有，解得． 因此P点表示的数为8或80， 故答案为：8或80． 题型三 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 例3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键． （1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断，的符号，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 【答案】(1)，， (2) 【3-1】如图，点和表示的数分别为和，下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，根据数轴，，然后逐项排除即可，正确理解数轴的特点则是解题的关键． 【详解】解：、根据数轴可知，，， 则，， 故，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则， 故原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则，， 故，原选项不符合题意； 、根据数轴可知，，， 则， 故，原选项符合题意； 故选：． 【3-2】数轴上的三点、、所表示的数分别为、、且满足，，则原点在（    ） A．点左侧 B．点点之间（不含点点） C．点点之间（不含点点） D．点右侧 【答案】B 【分析】此题考查了数轴，有理数的加法运算，乘法运算的含义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．根据，，，可得与，异号，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】解：由图可知，，而，， 原点在点点之间（不含点点） 故选：B． 【3-3】有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 则在下列选项中，正确的是（      ） ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则都同号，所以一定会有，①正确； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，②错误； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，③错误； 如果，则，所以，所以一定会有，④正确； 故选：B． 【3-4】如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①；②；③；④．其中正确式子的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则． 根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，的大小关系，从而确定，，，的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答． 【详解】由数轴可得：，， ∴，，，， ∴，故式子①正确； ，故式子②错误； ，故式子③错误； ，故式子④正确． ∴正确的式子是①④． 故答案为：①④ 题型四 绝对值的几何意义 例4．我们知道的几何意义是：数轴上表示的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为： ①表示在数轴上表示数a，b的两点间的距离； ②表示在数轴上表示数的两点间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______；表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以______． (2)数轴上表示数的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______． (3)可理解为与______两数在数轴上所对应的两点之间的距离，要使，则______． (4)当式子取最小值时，______． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离进行计算即可； （2）根据表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离，进行求解即可； （3）根据绝对值的意义作答，根据两点间的距离公式，分，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，式子取最小值，即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：3，7； （2）当表示数的点在1与5之间移动时，表示和5两个数在数轴上的距离， ∴； 故答案为：4； （3）可表示为数与数之间的距离； 当时：，解得：； 当时，； 当时，，解得：； 故答案为：；或； （4），表示数与数之间的距离之和， ∴当时，的距离最小； 故答案为：2． 【答案】(1)3，7 (2)4 (3)；或 (4)2 【4-1】如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的意义，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2024，故A正确． 故选：A． 【4-2】探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： (1)如图． ①点D和点A之间的距离为______，点D到点G的距离为______； ②点C和点A之间的距离为______，点C到点F的距离为______； ③点E和点B之间的距离为______，点E到点I的距离为______； (2)如果数轴上点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P和点Q之间的距离可表示为______．（用含a，b的式子表示） (3)数轴上表示x和的两点M，N之间的距离是10，求x． 【答案】(1)①4，2；②3，4；③3，3 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、解绝对值方程等知识点，绝对值的意义的运用是解决本题的关键． （1）通过观察数轴即可解答； （2）根据（1）的计算，归纳规律即可； （3）运用（2）中得到规律，再代入代数式求解即可； 【详解】（1）解：观察数轴，可得 ①点D与点A的距离为4，点D与点G的距离为2； 故答案为：4；2； ②点C与点A的距离为3，点C与点F的距离为4； 故答案为：3；4； ③点E与点B的距离为3，点E与点I的距离为3； 故答案为：3；3； （2）解：如果点P对应的数是a,点Q对应的数是b, 那么点P与点Q之间的距离可表示为． 故答案为：． （3）解：根据（2）可得：， ∴或，解得：或． 【4-3】阅读材料：的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离，根据材料的说法，试求： (1)； (2)若x为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值是多少？如果没有，请说明理由； (3)若x为有理数，则有最______值（填“大”或“小”），其值为________． 【答案】(1)或 (2)有最大值是3 (3)小；2 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答； （2）根据绝对值的非负性解答； （3）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据材料所求为x与之间的距离， ①x在左侧的数轴上时，， 即，， ②x在右侧的数轴上时，， 即，，； （2）解：代数式有最大值， ∵， ∴， 即时， 此时：有最大值是3； （3）解：根据绝对值的定义可知：表示点x到1与3两点距离之和， ， ∴点x在1与3之间时， 有最小值，其值为2． 故答案为：小；2． 【4-4】数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； (3)如果数轴上表示数的点位于和之间，那么_______； (4)若表示一个有理数，则的最小值是________． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式表示即可； （）由，可得式子表示到与的距离之和，进而利用两点间距离公式即可求解； （）由，可得式子表示到、与的距离之和，可知，当时，到、与的距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了两点间距离公式，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴式子表示到与的距离之和， ∵表示数的点位于和之间， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ∴式子表示到、与的距离之和， 可知，当时，到、与的距离之和最小，最小值为， ∴的最小值是， 故答案为：． 题型五 绝对值的化简 例5．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【分析】（）由异号分种情况讨论：①；②，分别求解即可； （）利用绝对值的代数意义，以及小于，求出与的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵异号， ∴分种情况讨论： ①，则有，， ∴； ②，则有，， ∴； 综上，的值为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 【答案】(1)(2)或 【5-1】．a，b，c大小关系如图，下列各式中，错误的个数为  （            ） ①；  ②；  ③  ；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，根据点在数轴的位置判断式子的正负．熟练掌握化简绝对值，根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 由数轴可知，，则，可判断①的正误；由，可判断②的正误；由题意知，，可判断③的正误；由，可判断④的正误． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，①正确，故不符合要求； ∴，②正确，故不符合要求； 由题意知，，③正确，故不符合要求； ∵， ∴④正确，故不符合要求； 故选：D． 【5-2】有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 【5-3】若a、b、c都为整数，满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据绝对值的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：a、b、c都为整数， 与都为整数， ，且，， 或， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 故答案为：0 【5-4】设a、b、c为非零有理数，，，，化简：． 【答案】b 【分析】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值性质，根据已知条件判断出a、b、c的符号是关键． 根据，，知，，，继而知，，，根据绝对值性质去绝对值符号后合并即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则原式． 一、单选题 1．正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与对应的点是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键． 先翻转一次和两次确认点、对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案． 【详解】解：翻转一次可得：点对应的数为；再翻转一次可得：点对应的数为3； 在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下： 点A对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 点对应的数分别为，，，，，为非负整数； 由此可知，只有点对应的数可以为，此时为非负整数，符合要求， 故选：D 2．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④（a、b都不为0），则的值为0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、绝对值方程、数轴上两点间的距离公式等知识点．熟记相关结论是解题关键． 根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②∵， ∴或或或， 当时，，是正数； 当时，，是负数； 当时，是正数； 当时，是负数； 故②错误； ③∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或 故③错误； ④∵（a、b都不为0）， ∴互为相反数， 不妨设， 则， 故④错误； 故选：A 3．如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断有理数大小，以及绝对值化简，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据数轴判断的、正负，再结合绝对值意义化简，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， ， ， 故选：A． 4．如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的数的运算．根据点在线段上和线段上以及的取值范围分别判断出的取值范围，即可求得的最大值和最小值，计算即可． 【详解】解：点在线段上， ， ； 点在线段上， ， ， ， 综上： ∴最大值为，最小值为， ∴， 故选：B． 5．如图，圆的周长为4个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合⋯）依次环绕，则数轴上表示的点与圆周上重合的数字是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与动圆．找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系，是解答此类题目的关键． 由于圆的周长为4个单位长度，所以只需用此圆在数轴上环绕的距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：由图可知，每4个数为一组循环组，按照0，3，2，1依次循环， ∵， ∴数轴上表示的点和表示的点与圆周上同一个点重合， ∴数轴上该点在圆上的数为2． 答案：C． 6．设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求的最小值为， 故选：． 二、填空题 7．如果是有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据可得，当时，的值最小，据此即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当取最小值时，的值最小， ∵， ∴当，的值最小，最小值为， 故答案为：． 8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度．则数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，先根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解出单位长度，再求出之间在数轴上的距离，即可求解． 【详解】解：由图1可得，由图2可得， 数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ， ， 在数轴上点所对应的数． 故答案为：． 9．数轴上表示整数的点称为整点，在数轴上任意画出一条长为5个单位长度的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】5个或6个 【分析】本题考查了数轴的特点，解题的关键在于利用分类的思想解决问题，根据题意分两种情况①当，点在整点时，②当，点不在整点时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当，点在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 当，点不在整点时，线段盖住的整点的个数是个； 故答案为：个或个． 10．已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上绝对值的几何意义是解题的关键，根据题意由数轴上表示的几何意义，求出的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵的最小值为3， ∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知非零有理数，，满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，解题的关键是掌握正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 故答案为：或． 12．已知数位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简、数轴等知识点，要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号是关键． 先根据数轴上a，b，c的位置确定的符号，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，则， 所以． 故答案为：． 三、解答题 13．同学们都知道表示7与之差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)　　　　　　，，则　　　　　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是　　　　　　． (3)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；或 (2)，0，1，2 (3)有最小值．最小值为9 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解各个代数式的意义是正确解答的关键． （1）直接求出结果即可； （2）根据的意义，可得出的取值范围，再得出整数解即可； （3）根据的意义，可得出答案． 【详解】（1）解：，，则或， 故答案为：10；或； （2）解：的意义为数轴上表示数的点与表示数，和表示数2的点的距离之和为3， 又数轴上表示数，与表示数2的点距离之和为， ， 又为整数， 可能为，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：有最小值．最小值为9， 理由是：可以理解为：在数轴上表示到3和的距离之和， 当在3与之间的线段上（即时： 即的值有最小值，最小值为． 14．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 15．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____． (2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____． (3)当是_____时，代数式． (4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)0或； (4)运动或秒后，． 【分析】（）根据绝对值的定义即可求解； （）去绝对值符号解方程即可； （）分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，然后分当在左侧时，当在右侧时两种情况分析即可求解； 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴上数到原点的距离为， ∴在原点左边个单位时，的值为，在原点右边个单位时，的值为， 故答案为：，； （2）根据题意：与之间的距离表示为， 当时，；当时，； 故答案为：，或； （3）当时，，解得：， 当时，（舍去）， 当时，，解得：， 综上可知：当时，代数式， 故答案为：0或； （4）∵点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧， ∴点表示的数， 设运动时间为秒， ∵分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴当在左侧时， ，解得：； 当在右侧时， ，解得：； ∴运动或秒后，． 16．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 17．阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③． 从而化简代数式可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时， 原式； ③当时， 原式； 综上讨论， 原式 通过以上阅读， 请你解决以下问题： (1)当时， ； (2)化简代数式；（写出解答过程） (3)直接写出的最大值 ． 【答案】(1) (2)原式 (3) 【分析】本题考查含绝对值的代数式化简问题， （1）根据绝对值的意义可得结论； （2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，分三种情况找出的值即可； （3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 注意读懂题目的解答以及分类思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）令和，分别求得，， 可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式； （3）令和，分别求得，， 当时，原式； 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴的最大值为． 故答案为：． 18．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 19．（1）知识呈现： 我们知道，绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”． ①若，则______； ②若，则______； （2）拓展延伸： ①若，则______； ②若，则______； （3）结论应用： ①计算： ②如图，数轴上有a、b、c三点，化简． 【答案】（1）①a ；②；（2）① ；②；（3）①② 【分析】本题考查了有理数的绝对值的性质，运用性质化简计算，有理数加减运算及整式的加减； 绝对值的性质是“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”．运用性质回答问题（1）（2）．观察数轴，判断，，的正负，利用（2）的结论，完成（3）； 关键是性质的灵活运用． 【详解】解：（1）①若，则； ②若，则； 故答案为：，． （2）①若， 则， 所以； ②若， 则， 所以； 故答案为：，． （3）① ． ②由数轴可知：，． ，，． ．    20．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$