专题08 函数中心对称与轴对称（5基础题型+8提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第一册）

专题08 函数中心对称与轴对称 经典基础题 题型1 识图 1．（22-23高一上·山东聊城·期中）函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·安徽蚌埠·期中）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     4．（23-24高一上·云南·期中）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 题型2利用奇偶性求解析式 1．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·浙江·期中）已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·全国·期中）已知定义在上的函数满足为偶函数，的图象关于原点对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时， D． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 题型3 利用奇偶性解不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 题型4 常见抽象函数奇偶性 1．（23-24高一上·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 2．（21-22高一上·浙江·期中）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 4．（23-24高一下·浙江·期中）设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 5．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 题型5 函数对称性应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．函数也是奇函数 5．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 优选提升题 题型01 奇偶性求参 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设函数，若是奇函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是奇函数，则实数t的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 5．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 题型02中心对称型应用 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 2．（21-22高一·河南·期中）已知，，，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2019·河南鹤壁·期中）已知函数在区间的值域为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 5．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 . 题型03 轴对称型应用 1．（24-25高一·重庆·期中）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．（2024·四川成都·期中）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 3．（2024四川成都·期中）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 5．（2024·全国·期中）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ． 题型04 抽象函数奇偶性应用 1．（23-24·福建泉州·期中）已知为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 3．（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 4．（2023·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 题型05 抽象函数奇偶与周期性应用 1．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 2．（23-24高二下·江苏·期中）已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·陕西渭南·期中）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 题型06 抽象函数性质求和 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河北沧州·期中）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 3．（2024·江苏徐州·期中）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为偶函数 C．的周期为4 D． 5．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数满足对任意实数，都有，是的零点，不是的零点，则 ． 专题07 对称性求交点 1．（23-24高二下·湖南湘西·期中）已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A．45 B． C．90 D． 2．（2024·广东·期中）已知函数的定义域为，函数的图象与直线至多有两个交点，且，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23·河南开封·期中）已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，且，则两函数图象交点的个数为（    ） A．1080 B．1090 C．1100 D．1150 4．（20-21高一上·浙江·期中）已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是 B．若，的增区间为和 C．若，则 D．函数的最大值为 5．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 专题08 双函数奇偶传递 1．（22-23高三·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 2．（22-23高三上·江西·期中）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．80 B．86 C．90 D．96 3．（2023·广西南宁·期中）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 4．（23-24·江苏淮安·期中）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 5．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 函数中心对称与轴对称 经典基础题 题型1 识图 1．（22-23高一上·山东聊城·期中）函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象对称性以及定义域可利用排除法得出结论. 【详解】根据函数图象的对称性可知为偶函数， A选项的定义域为，C选项的定义域为， 它们的定义域都不关于原点对称，所以不可能是偶函数，即可排除AC选项； 又不在函数的定义域内，而D选项定义域包括， 所以排除D选项； 故选：B 2．（21-22高一下·安徽蚌埠·期中）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     【答案】A 【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项. 【详解】由题意得，即，得，且， 所以的定义域为； 又，所以为奇函数， 其图象关于原点对称，排除B，C； 又，所以排除D． 故选：A． 4．（23-24高一上·云南·期中）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】根据a的不同取值判断函数性质，即可选择函数图象. 【详解】当时，，为偶函数，且在上单调递增，A符合题意； 当时，，为奇函数，当时，，B符合题意，C不符合题意； 当时，，为奇函数，且， 当时，且单调递减，D符合题意. 故选：ABD 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析所以是上的减函数，且，然后利用函数的性质将等价转化，分类讨论即可求得答案. 【详解】，，所以在单调递减， 又是上的奇函数，所以是上的减函数，且， 或， 即或 解得. 故答案为： 题型2利用奇偶性求解析式 1．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 故选：D． 3．（22-23高一上·浙江·期中）已知，均为定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性构造方程组，解出即可. 【详解】令，， 则， 又因为是奇函数，是偶函数， 令替换有，即， 即，整理得， 联立，解得，， 所以所以，故选：A. 4．（22-23高一上·全国·期中）已知定义在上的函数满足为偶函数，的图象关于原点对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时， D． 【答案】BC 【分析】由为偶函数，的图象关于原点对称，可得函数周期为4，且可知当时，，从而可逐项判断. 【详解】为偶函数， 的图象关于直线对称，故A错误； 的图象关于原点对称，， 当时，， ，故C正确； 由的图象关于直线对称，且关于原点对称， 所以， 则，即函数周期为4， ，， ，由选项C可知函数在上单调递增， 所以，，故B正确； 由前可知，， ，故D错误. 故选：BC. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 题型3 利用奇偶性解不等式 1．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，，故，又，得或，解得或，则；所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为，故选：C 3．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数不等式的形式构造函数 ，然后判断的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】 设函数，因为函数为奇函数， 函数为奇函数，所以为奇函数. 因为函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增. 由，得， 即，， 所以， 根据在上单调递增，可得， 解得. 故选：A 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得，从而可求不等式的解. 【详解】当时，，故在上单调递增． 函数在处连续，又是定义域为的奇函数， 故在上单调递增． 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得． 故答案为：. 题型4 常见抽象函数奇偶性 1．（23-24高一上·海南海口·期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是偶函数 【答案】B 【分析】利用赋值法和函数的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，令得，，且， 所以，故A正确； 对于D，令得，，， 且定义域关于原点对称，故是偶函数，故D正确； 对于C，，所以令得，， ,, ，即. 所以，故C正确； 对于B，，且是偶函数， ，即的图象关于对称，故B错误. 故选：B 2．（21-22高一上·浙江·期中）设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案． 【详解】因为是偶函数，所以①， 因为是奇函数，所以②． 令，由①得：， 由②得：， 因为，所以， 令，由②得：， 所以当时，， . 故选：C． 【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性： （1）是偶函数，则； （2）是奇函数，则. 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】令，则，，，选项A错误； 令，，则，即，则，选项B错误； ，不是奇函数，选项C错误； 令，则，即，故，为偶函数，选项D正确；故选：D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，都有成立，则（    ） A．或 B．关于直线对称 C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】采用赋值法可判断选项A，B，C；根据函数周期性可判断选项D. 【详解】因为对于任意的，都有成立， 令，代入可得， 由因为，联立可得或，故A正确； 令，代入可得， 当时，有， 则关于直线对称， 当时，有， 再令，代入可得，得， 所以， 即关于直线对称， 综上所述，关于直线对称，B正确； 当时，令，代入可得， 又因为，所以， 根据B选项，，所以， 故为偶函数，故C错误； 由上面可得，， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：采根据已知条件对任意的，都有成立，用赋值法可得函数性质，从而判断选项. 5．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论. 【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确； 对于②，令，则，， 由当时，，所以，所以，得， 故②错误； 对于③，令，则，得， 令，则，得， 故③正确 对于④，设，则， 当时，，所以， 由已知得， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 题型5 函数对称性应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求. 【详解】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由的图像关于点对称，在上单调递增和，得出为奇函数，在上单调递增，且，将转化为，根据的单调性解不等式即可． 【详解】设，因为的图像关于点对称， 所以的图像关于对称，所以为奇函数，即， 因为，所以为奇函数， 又因为，所以，则， 而，得，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，得， 即不等式的解集为．故选：A． 4．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．函数也是奇函数 【答案】AB 【分析】由奇函数性质判断A、B、C，由与具有平移关系，其奇偶性不确定判断D. 【详解】由奇函数性质知，A正确； 若在上有最小值，由奇函数对称性知在上有最大值1，B正确； 奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性，C不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，故图象的对称中心为不一定关于对称， 如在上为奇函数，但在上不是奇函数，故D不正确． 故选：AB 5．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4046 【分析】 化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， 因为，， 所以. 故答案为：4046. 优选提升题 题型01 奇偶性求参 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得. 【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数， 则，即，解得， 则，， 则. 故选：B. 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设函数，若是奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到的解析式，再根据为奇函数求出参数的值，即可得到的解析式，最后代入计算可得. 【详解】因为，所以 ，因为是奇函数， 所以，即，又， 所以，解得，所以， 所以.故选：C 4．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是奇函数，则实数t的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】AB 【分析】利用，求得，根据函数的定义域得到，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，且，且， 因为函数为奇函数，可得，即， 整理得，则， 要使得函数的定义域关于原点对称，只需． 结合选项，A、B符合题意. 故选：AB. 5．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 题型02中心对称型应用 1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】利用函数的对称性即可得解. 【详解】令，由题意可知为奇函数. 故，即， 则，所以函数的图象关于点对称， 又， 所以的图象也关于点对称， 故与图象的交点两两关于点对称， 则. 故选：C. 2．（21-22高一·河南·期中）已知，，，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，结合基本不等式转化求解即可． 【详解】设，函数定义域为R， ，∴是奇函数， ，有，则，即， ∴函数是增函数， 由，，，， 所以，可得，两边同时平方再利用基本不等式， 有，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2， 故选：C． 3．（2019·河南鹤壁·期中）已知函数在区间的值域为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据函数在上为奇函数知对称中心为，根据平移可知函数图象的对称中心，即可求解. 【详解】因为在上为奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 因为， 是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到， 所以图象关于对称，则， 故选：C 【点睛】本题主要考查了奇函数的对称性，函数图象的平移，利用对称性求解问题，属于中档题. 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．值域为 C．当时，恒有成立 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】先判断的奇偶性，再在上，令研究其单调性和值域，再判断的区间单调性和值域判断AB；利用解析式推出，根据已知得到，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将代入判断D. 【详解】对于AB，因为，则由解析式知的定义域为， 又，所以为奇函数， 当时，由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，且值域为，而在上递增，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 由奇函数的对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且， 所以值域为，故A正确，B错误； 对于C，当时， 恒成立， 所以恒有成立，故C正确； 对于D，由， 因为，且， 所以，故，当且仅当时等号成立， 而时，，故等号不成立，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于D 选项，根据解析式推导出，进而得到为关键. 5．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 . 【答案】15 【分析】 令，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求. 【详解】 令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即 故答案为： 题型03 轴对称型应用 1．（24-25高一·重庆·期中）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解. 【详解】设，，显然， 故与的图象关于直线对称. 故选：B. 2．（2024·四川成都·期中）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】首先得到曲线关于的对称曲线为，再对比系数得到方程求出，即可得解. 【详解】因为曲线关于的对称曲线为，即， 与对比系数可知，解得， 所以函数与的图象关于对称． 故选：D 3．（2024四川成都·期中）若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小． 【详解】因为， 所以 所以关于对称， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 又关于对称，故在上单调递增，且， 因为， 又， 且， ， 所以，故. 故选：A. 4．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）对于函数，则（    ） A．与具有相同的最小值 B．与在上具有相同的单调性 C．与都是轴对称图形 D．与在上具有相反的单调性 【答案】AC 【分析】在同一坐标系中，作出函数，的图像，进而对四个选项一一作出判断. 【详解】A选项，在同一坐标系中，作出函数，的图像如图所示， 由图可知与的最小值都为1，A项正确； B选项，在上单调递增，在上不单调，B项错误； C选项，的图像关于直线对称，的图像关于直线对称，C项正确； D选项，与在上均单调递减，D项错误. 故选：AC 5．（2024·全国·期中）若存在实数b，使得函数的图像关于直线对称，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由函数定义域及其对称性，确定其为偶函数，进而得到的值，再由对勾函数即可求解. 【详解】解：．因为的定义域为， 故其图像如果关于直线对称，只能有，即是偶函数． 因此有和前的系数均为0，从而，． 由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值16． 故答案为： 题型04 抽象函数奇偶性应用 1．（23-24·福建泉州·期中）已知为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，可直接得出结果. 【详解】因为为奇函数， 所以， 即，所以. 故选：A 2．（23-24·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由函数为奇函数，得函数的图象关于点中心对称；由为偶函数，得的图象关于直线轴对称；根据对称性求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以，即函数的图象关于点中心对称； 因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线轴对称； 又当时，， 所以， 故选：A. 3．（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由题意结合函数奇偶性的性质逐一考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若，均为奇函数，则有， 所以，所以“为奇函数”，故充分性成立， 若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立. 综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件. 故选：B． 4．（2023·河北·期中）已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由条件可得函数为偶函数，结合偶函数定义可得，由此判断A；由条件可得函数为奇函数，结合奇函数定义可得，由此判断BC；根据，，可得，由此可判断D. 【详解】根据题意得，函数的图象关于直线对称， 所以函数为偶函数，所以，所以，所以选项A正确； 函数的图象关于对称，所以函数为奇函数， 所以，所以，所以选项B不正确，选项C正确； ， ∴，∴，所以选项D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 题型05 抽象函数奇偶与周期性应用 1．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可. 【详解】对于A，因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，所以的一个周期是4，所以A错误， 对于BC，因为，所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误， 对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称， 即的图象关于点中心对称，所以D正确， 故选：D 2．（23-24高二下·江苏·期中）已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义探讨函数的周期，再根据函数的周期性求解即可. 【详解】因为，即， 所以函数关于对称， 因为为奇函数，所以， 令，则，所以，所以， 所以，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 是以. 故选：D. 3．（2024·陕西渭南·期中）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以的周期为6. 又因为为奇函数， 所以，即，即， 令，则，即 所以， 故选：C. 4．（23-24高二下·浙江·期中）已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用的奇偶性与条件，结合赋值法依次得到，从而判断AB；利用的相关性质推得的周期性，从而判断CD，由此得解. 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，则， 令，得， 因为，， 令，得， 又，所以，故A正确； 对于B，在中， 令，得，即，得， 在中，令，得，故B错误； 对于CD，因为，所以， 所以，又，， 则，所以，故， 所以函数是周期为6的函数， 故，故C错误，D正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 5．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，则 ． 【答案】3 【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期性和偶函数的性质求值. 【详解】因为，所以，则， 从而，所以是周期为8的周期函数，故． 令，得．又是定义在上的偶函数，所以， 故． 故答案为：3 题型06 抽象函数性质求和 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 2．（2024·河北沧州·期中）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（    ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果. 【详解】，① ， 即，所以， 所以函数的图象关于对称， 令，则，所以， 令，，又，所以， 又，，② 即函数的图象关于直线对称， 且由①和②，得， 所以，则函数的一个周期为4， 则， 所以. 故选：C 3．（2024·江苏徐州·期中）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解. 【详解】由，得，则，即函数的周期为4， 由是R上的奇函数，得，即， 于是，，即， 因此，AB错误； 由，取，得，则， 因此，取，得， 于是， 则，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为偶函数 C．的周期为4 D． 【答案】ABD 【分析】根据及得，通过赋值，结合判断A；根据题意结合偶函数判断B；通过赋值根据周期函数的定义判断C；根据函数的周期为6，并且结合及赋值法求得，进而求和判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：根据及 得，令，，可得， 且，可得，令，则， 则，即，可知为偶函数，故B正确； 对于C：令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C错误； 对于D：因为，且，， 令，，可得，所以， 则，，，， 所以，又周期为6， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 5．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数满足对任意实数，都有，是的零点，不是的零点，则 ． 【答案】50 【分析】根据已知条件，令，可得是周期为的周期函数，进而即可求解. 【详解】由题意得，， 在中， 令，得，令，得， 令，得，令，得， 所以，即是周期为的周期函数， 且，，， 所以， 故答案为： 专题07 对称性求交点 1．（23-24高二下·湖南湘西·期中）已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A．45 B． C．90 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得函数与图象的交点关于直线对称，由中点公式可解. 【详解】因为为偶函数，所以， 即函数的图象关于直线对称， 又函数的图象关于直线对称， 所以函数与图象的交点关于直线对称， 由交点有9个，故两函数必都过点，即. 故选：A 2．（2024·广东·期中）已知函数的定义域为，函数的图象与直线至多有两个交点，且，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】函数的图象关于直线对称，可得到，再根据列出方程式可求解 【详解】根据题意知，函数的图象关于直线对称， 则得到，又因， 则令或解之可得. 故选：B 3．（22-23·河南开封·期中）已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，且，则两函数图象交点的个数为（    ） A．1080 B．1090 C．1100 D．1150 【答案】A 【分析】根据题意推导与的图象均关于点对称，从而得出两函数的交点也关于点对称，进而根据求和满足的条件求解即可. 【详解】因为函数满足，即，所以函数的图象关于点对称. 又，所以函数的图象也关于点对称. 若点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称， 所以交点可以两两配对，所以，解得. 故选：A 4．（20-21高一上·浙江·期中）已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是 B．若，的增区间为和 C．若，则 D．函数的最大值为 【答案】BD 【分析】利用函数的单调性判断AB选项；解方程求出从而判断C选项；分类讨论判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，，为偶函数， 当时，，任取，且， ， 若，则；若，则， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图像如图示： 结合偶函数的性质可知，的值域是，故A选项错误； 对于B选项，，当时，，，则为偶函数， 当时，，易知函数在区间上单调递减， 当时，，易知函数在区间上单调递增， 图像如图示： 根据偶函数的性质可知，函数的增区间为和，故B选项正确； 对于C选项，若，图像如图示： 若，则，与方程在有两个解矛盾，故C选项错误； 对于D选项，若时，令，解得（舍负）； 令，解得（舍负）， 此时； 当时，只有一个正数解，不合题意； 当，时，，至多有一个正数解，不合题意； 当时，由对勾函数的性质可得有两个正数解， 且时，在上单调递减，上单调递增， 且，，不妨设，所以， 此时； 所以函数的最大值为4，故D选项正确； 故选：BD 5．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 . 【答案】16 【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得. 【详解】为奇函数 函数关于点对称 函数关于点对称 与图像的8个交点关于点对称 ,,, 可得 同理可知 故答案为： 专题08 双函数奇偶传递 1．（22-23高三·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 【答案】A 【分析】根据函数的奇函数的性质得到函数的图象关于点对称，从而得到的图象关于直线对称，根据偶函数的性质得到函数的图象关于直线对称，即可得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称. 因为为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称， 所以的图象关于直线对称. 故选：A. 2．（22-23高三上·江西·期中）已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．80 B．86 C．90 D．96 【答案】C 【分析】由的图象关于直线对称，结合已知函数等式推得的图象关于点对称，进而可得的周期为4，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为的图象关于直线对称， 所以，所以，因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则的图象关于点对称，且. 因为，所以，所以， 所以，则，即的周期为4. 因为，且，所以.因为， 所以.因为，所以， 则. 【点睛】结论点睛：函数关于直线对称，则有； 函数关于中心对称，则有， 函数的周期为，则有. 3．（2023·广西南宁·期中）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果. 【详解】∵，∴以为对称中心，且； ∵即， ∴为偶函数，以轴为对称轴； ∴，即， 由知，， ∴，， 从而，即， ∴的周期为4，∴的周期为4； 故． 故选：B. 4．（23-24·江苏淮安·期中）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【答案】BD 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，又为奇函数， 所以，即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以，， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称，则， 故D正确，故选：BD. 5．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则 ． 【答案】1012 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到函数的周期为，再根据，求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以． 因为为偶函数，所以， 所以． 又因为，所以①， 所以，所以②， ①+②得，所以，所以， 所以函数的周期为，又因为， 所以．故答案为：1012． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$