精品解析：江西省吉安市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷

吉安一中2024-2025学年度上学期第一次段考试 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分. 9. 已知集合A=，B，下列说法正确的是（ ） A. 不存在实数使得 B 当时，. C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值是3 11. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C D. 不等式解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 13. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 14. 已知为正实数，则的最小值为__________． 四、解答题：共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知命题，，， （1）若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为假，求实数． 17. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x不等式； 19. 已知不等式的解集为 （1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉安一中2024-2025学年度上学期第一次段考试 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的条件及分式有意义可知，进而求出，代入集合验证可求出的值，进一步计算即可. 【详解】根据集合相等的条件及分式有意义可知， 则， 代入集合得， 则，得 因此 故选： 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步即可判断. 【详解】若，，即，，所以当且仅当， 所以对比选项可知，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：D. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项； 通过作差法，，确定符号，排除C选项； 通过作差法，，确定符号，排除A选项； 详解】由，且，故； 由且，故； 且，故. 所以， 故选：B. 7. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分. 9. 已知集合A=，B，下列说法正确的是（ ） A. 不存实数使得 B. 当时，. C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐个分析判断即可 【详解】对于A，若，则，解得，所以A错误， 对于B，当时，，则 ，所以B正确， 对于C，因为A=，所以或，当时，，得，此时，当时，或，解得，所以当时，的取值范围是，所以C正确， 对于D，由上面可知，当时，，此时，所以当时，成立，所以D正确， 故选：BCD 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最小值是3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得，判断A，将变形为结合基本不等式，判断B，由整理得到结合基本不等式可判断CD. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 由， 即，解得， 即，A错误； 对于B， 由，,， 当且仅当时取等号， 得， 所以, 又， 所以，即， 故B正确； 对C选项，因为，,， 得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确， 对于D, C选项知：， 则 ， 当且仅当，即时等号成立,但， 所以．（等号取不到）,故D错误； 故选：BC. 11. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解. 【详解】因为关于不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 13. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知为正实数，则的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为6. 故答案为：6 四、解答题：共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 16. 已知命题，，， （1）若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为假，求实数． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由命题为真，求出的取值范围，再利用集合的包含关系，列出不等式求解作答. （2）由命题为真，求出的取值范围，再结合（1）及已知分情况讨论作答. 【小问1详解】 因为，，当时，恒成立，即， 当时，不等式对不恒成立， 当时，，解得或， 因此命题为真时，或，而“”是成立的充分条件， 则， 当，即时，，符合题意，于是， 当，即时，或，解得， 所以实数的取值范围. 【小问2详解】 由（1）知，命题为真，或，命题为真时，，解得或， 而命题和有且只有一个为假，即一真一假， 当真假时，即或并且，解得， 当假真时，即并且或，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； 【答案】（1） （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 【小问1详解】 根据题意， 当，即时，，不合题意； 当，即时，的解集为R， 即的解集为R， 即， 故时，或. 所以 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 19. 已知不等式的解集为 （1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知可得方程的2个根为2，3，由韦达定理解得，从而得不等式，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案； （2）分、、、、、讨论解不等式可得答案. 【小问1详解】 ，原不等式等价于恒成立， 且的解集为，故方程的2个根为2，3， 故由韦达定理， 恒成立， 可得恒成立，所以， 解得， ， 故， 不等式有且仅有10个整数解，故， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 1､当时，由（1）得时， ， 即：， ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为. 2､当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为， 由韦达定理：恒成立， 解得， ， 该不等式解集为或， 3､当时， ，则无解. 4､当时， ，则. 综上：当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛：本题体现了转化思想及分类讨论思想的应用，考查了含参数二次不等式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$