精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

彭山一中高2025届高三上学期十月月考数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数 ，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二､多选题 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义，则（ ） A. B. 是周期函数，且最小正周期为 C. 若，则 D. 11. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B. C. 双纽线上满足的点有2个 D. 的最大值为 三､填空题 12. 设，集合，且，则的值为__________. 13. 若是偶函数，则实数的值为__________. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四､解答题 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面平面，N是CD的中点． （1）若点M为线段PD上一点，且平面AMN，求的值； （2）求二面角的正弦值． 17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8. （1）求的方程. （2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中高2025届高三上学期十月月考数学试卷 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求交集. 【详解】,则.则. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由及，解出与即可求解. 【详解】因为，且， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：A. 3. 已知是实数，那么“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的范围，再根据必要不充分条件定义判定可得答案. 【详解】由得，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 即“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分段求解，即可求得答案. 【详解】∵，, ∴当时， ，解得； 当时，，解得,即（舍去）， ∴, 故选:C 5. 函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可. 【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以， 又，所以， 所以，因此函数为周期函数，周期， 所以. 故选：C 6. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】实数，，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 7. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案. 【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以． 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为． 故选：A. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误. 【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为, 则满足，可得， 此时外接球的表面积为，可知①错误； 对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，所以， 设，其中； 可得， 异面直线与所成角的余弦值为， 易知时，， 可得， 所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确； 对于③，由②可知，，则； 设平面的法向量为，又， 则，取，则； 所以平面的法向量为， 此时，可得，又平面， 所以直线平面，即③正确； 对于④，根据正方体性质平面，所以， 易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法： （1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值； （2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 二､多选题 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用和角公式可求值验证A项；运用辅助角公式和诱导公式可得B项；运用两角和的正切公式可以验证C项；利用倍角公式和诱导公式可以判定D项. 【详解】对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C正确； 对于选项D： ，故D错误. 故选：AC. 10. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义，则（ ） A. B. 是周期函数，且最小正周期为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知求得，直接计算判断A，由二倍角公式化简函数式，结合余弦函数性质判断B，由同角关系变形求得，并利用二倍角公式，齐次式变形计算判断C，利用两角和的正弦公式，正弦函数的性质，换元法求最小值后判断D． 【详解】由题意得在角的终边上，且，所以，，则 对A：，故A正确； 对B：为周期函数周期为，故B正确. 对C：，解得， 又由，故C错误； 对D：，令 ，所以，故正确. 故选：ABD. 11. 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（ ） A. 双纽线的方程为 B. C. 双纽线上满足的点有2个 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义将代入，化简后即可判断A；根据，判断B；由，可得在线段的中垂线即上，将代入方程求解后，即可判断C；利用向量和余弦定理判断D. 【详解】解：由到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 当时，则双纽线的方程为， 化简可得，故A正确； 由等面积法得， 则，所以，故B正确； 因为，， 所以在线段的中垂线即上， 令，得，解得， 所以双曲线上满足的点有一个，故C错误； 因为在线段的中点，所以， 所以， 由余弦定理得， 即， ， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 设，集合，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，则由集合的包含关系和集合中元素的性质，即可求得的值. 【详解】因为，所以， ①（舍去，不满足集合的互异性）， ②（舍），或. 显然时满足题设. 故答案为：. 13. 若是偶函数，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则，代入计算并验证即可求出. 【详解】函数是偶函数，则, , 化简可得. 当时，则 所以，则， 所以函数是偶函数，则. 故答案为： 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四､解答题 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）先根据平移的规则求得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为. 令，， 即，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由题意，， 因为，所以， 由，即， 所以或或或， 即或或或， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，平面平面，N是CD的中点． （1）若点M为线段PD上一点，且平面AMN，求的值； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得，则得到； （2）根据面面垂直的性质定理得到面，从而建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，而面的一个法向量为，从而求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 连接，交于,连接, 因为面面,且面面， 所以,故. 【小问2详解】 设为中点,连接,又是的中点,底面为正方形, 所以,等边三角形中, 因为平面平面,面面面, 所以面, 而面,则, 所以,,两两垂直,故可构建如下图示的空间直角坐标系, 由,则 所以, 若为面的一个法向量,则, 令,则, 而为面的一个法向量, 所以, 故二面角的正弦值为. 17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） （1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 （2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率； （3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得. 【小问1详解】 该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； 【小问2详解】 设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． 【小问3详解】 设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件的概率问题，把事件分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，并与交于A，B两点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与交于M，N两点，，的周长为8. （1）求的方程. （2）记，分别为的左、右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点Q，和的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据通径以及焦点三角形的周长即可联立求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据直线方程可得坐标，即可由三角形的面积公式化简求解. 【小问1详解】 将代入可得， 所以 解得，，故的方程为 【小问2详解】 为定值，定值为.理由如下： 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组整理得， 则，. 易知，，直线的方程为， 则直线的方程为，令，得， 同理可得. . 故为定值，且该定值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对于任意，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）将代入函数，对函数二次求导，即可求出函数的单调区间； （2）分情况讨论，结合（1）中结论，判断符合题意，对函数二次求导，分别判断和不符合题意，最终确定的取值范围； （3）根据（2）中结论先得到，取取，得到，令，，…，，累加可得；又构造函数， 求导判断函数单调性可得：，，取（），得，令，，…，，累加得，结论得证. 【小问1详解】 的定义域为； 当时，，则； 令，则； 故当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 于是，即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 由题意知，令， 则； 由（1）可知若，则当时，， 若，则当时，有 ，符合题意； 若，则当时，，于是， 单调递减，则，与题意矛盾； 若，则当时，，于是， 单调递减，此时，与题意矛盾； 综上所述：a的取值范围是． 【小问3详解】 当时，上（2）可知， 即，取，可得 ， 即． 令，，…，，累加可得 ． 另一方面，考虑函数，， 则， 在上单调递减，则， 于是，． 取（），可得， 整理得． 令，，…，， 累加可得． 综上所述，对于任意，成立． 【点睛】二次求导探究函数得单调性； 分类讨论确定的取值； 构造函数，利用函数的单调性证明不等式； 累加法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $