2024—2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优课件《专题1 三角形的边和角》

专题1 三角形的边和角 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 1.三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形. 2.三角形三边关系:三角形任何两边的和大于第三边. （1）三角形任何两边的和大于第三边，三角形任何两边的差小于第三边.利用这两个性质可以根据三角形的两边确定第三条边的取值范围. （2）在运用三角形的三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形. 3.三角形的内角和定理:三角形的内角和是180°. 知识梳理 4.三角形的内角和定理是几何图形中角度计算的重要定理，与角有关的几何计算大多都转化为三角形内角之间的数量关系结合方程解决，与三角形的角有关的定理还有： （1）三角形的外角和等于 （2）三角形的任意一个外角都等于与它不相邻的两个内角的和. 重点突破 知识点一：三角形的三边关系 【例1】王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为 和 的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分， 那么他可以把细木条分为两截的是 ( ) B A. 的木条 B. 的木条 C.两根都可以 D.两根都不行 思路点拨 根据三角形的三边关系，将 10 cm 的细木条截成两段，可以确保三角形的任何两边的和大于第三边 重点突破 [解析] 解题过程 三角形任何两边的和大于第三边， 可以把 的细木条分为两截.故选 重点突破 【变式训练1】已知三角形两边的长分别为1和6，第三边长为整数，则该三 角形的周长为____. 13 [解析] 设第三边长为 根据三角形的三边关系， 得6 - 1 ＜ ＜ ，即5 ＜ ＜ 为整数， 的值为6. 该三角形的周长为 故答案为13. 重点突破 【例2】已知 是三角形的三边长. （1）化简： 思路点拨 根据三角形的三边关系，任何两边的和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，最后进行化简即可。 重点突破 [答案] 解题过程 是三角形的三边长， 重点突破 （2）若 ，求（1）中式子的值. 思路点拨 将 . ， ，代入(1)中的式子求值即可。 [答案] 解题过程把 代入（1）中的式子，得原式 重点突破 【变式训练2】某工艺店打算制作一批有两边长分别是 ，第三 边的长为奇数（单位： ）的不同规格的三角形木框. （1）满足上述条件的三角形木框共有___种. 3 [解析] 三角形的第三边 满足： 7 - 3 ＜ ＜ ，即4 ＜ ＜ 10. 第三边的长为奇数， 第三边的长可以为5，7或9. 满足上述条件的三角形木框共有3种.故答案为3. 重点突破 （2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头处的长度） [答案] 制作这种木框的木条的长为 （元）. 至少需要408元购买材料. 重点突破 知识点二：三角形的内角和 【例3】如图，在 中， ，在 边上取一 点 ，使得 ，将 沿 翻折得 ，此时 ，求 的度数. 思路点拨 设 ，根据翻折，得 ， 由 ，得 ， ，由三角形的内角和定理即 可求得答案 重点突破 [答案] 解题过程 设 沿 翻折得 由三角形内角和定理，得 ，即 ，解得 重点突破 【变式训练3】如图，在 中，点 在边 上， 是 上一个动点，将 沿点 所在的直线翻折得到 重点突破 （1）若 ，则 _ _____. <m></m> [解析] 在 中， 由折 叠的性质，可知 又 故答案为 重点突破 （2）在图中细心的小明发现了 之间的关系，请你替 小明写出这个数量关系并证明. [答案] 证明如下： 在 中， ， 由折叠的性质， 可知 ， 又 ， ，即 重点突破 【例4】如图1，已知线段 相交于点 ，连结 ，则我们把形如 这样的图形称为“8字型”. 重点突破 （1）求证： 思路点拨根据三角形的内角和、外角性质即可得到结论. [答案] 解题过程 重点突破 （2）如图2，若 ，则 的度 数为_ _____. <m></m> 思路点拨根据三角形的内角和、外角性质即可得到结论. [解析] 解题过程 如图4，设 与 交于点 重点突破 ， 故答案为 重点突破 （3）如图 和 的平分线 和 相交于点 ，且与 分别相交于点 若 ，求 的度数. 思路点拨根据角乎分线的定义得到 ， ， 再根据(1)的结论得到 ， ，两等式相减得到 ， 即 ，再把 ， 代入计算即可。 重点突破 [答案] 解题过程 在以 为交点的“8字型”中，有 在以 为交点的“8字型”中，有 分别平分 和 ， 整理得 课后练习 1.以下列各组数据为边长，能组成三角形的是( ) C A.1，1，3 B.3，3，8 C.3，4，5 D.3，10，4 2.已知三角形的三边长分别是 ，则 的取值可能是( ) A A.10 B.11 C.12 D.13 A组 基础巩固 课后练习 3.如图，直线 分别与 的两边 相交， 且 若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 4.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图 中 的度数为( ) C A. B. C. D. 课后练习 5.已知 是 的三边长， 满足 为 奇数，则 ___. 9 6.若一个三角形的三个内角的度数之比为 ，则该三角形中最大的 一个内角等于____ 80 7.如图，将一把三角尺 放置在锐角三角形 上，使得该三角尺的两条直角边 恰好分别 经过点 ，若 ，则 的度 数为_ ____. <m></m> 课后练习 8.在 中，已知 （1）求 的度数. [答案] 设 ，则 ，解得 （2） 按角分类，属于什么三角形？ [答案] 是直角三角形. 课后练习 9.某木材市场上木棒规格与价格如下表所示： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为 和 的木棒，还需要到该木材市场上购买一根木棒. 课后练习 （1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ [答案] 设第三根木棒的长度为 根据三角形的三边关系，可得 ， 有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择. （2）选择哪一种规格的木棒最省钱？ [答案] 根据木棒的价格可得选 长的木棒最省钱. 课后练习 10.如图，在 中， ，连结 ， 则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. B组 能力提升 课后练习 [解析] 如图，延长 交 于点 ， ， ， 故选 课后练习 11.用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部 用完），能摆出不同形状的三角形的个数是 ( ) B A.6 B.5 C.4 D.3 [解析] 三角形任何两边的和大于第三边， 只能有5种摆放方案，即①1，6，6；②2，5，6；③3，5，5；④4，4， 5；⑤3，4，6.故选 课后练习 12.已知三角形的三边长分别为 ，则化简 的 结果为___. 2 课后练习 13.如图，将 沿 折叠，使点 落在点 处， 且 平分 平分 若 ， 则 的度数为_ _____. <m></m> 课后练习 [解析] 连结 平分 平分 ， 沿 折叠， ， 故答案 为 课后练习 14.已知 为 的三边长. （1）若 满足 ，且 为方程 的解， 求出该三角形的周长，并判断 的形状. [答案] ， ，解得 为方程 的解， ，解得 或2. 为 的三边长， ＜ ＜ ，即1 ＜ ＜ 不合题意，舍去 的周长为 是等腰三角形. 课后练习 （2）若 ，且 为整数，求 的周长的最大值和最小值. [答案] 为整数， ＜ ＜ ，即3 ＜ ＜ 的最小值为 的最大值为6. 的周长的最大值 ，最小值 课后练习 15.如图， 分别是锐角三角形 的边 上的点， 是与 在同一平面内的一动点，且 与点 不在同一直线上，令 课后练习 （1）如图1，当 是 的边 上的一点时，已知 ，求 的度数. [答案] 课后练习 （2）当 是 内一点时，直接写出 和 之间的数量关系. 课后练习 [答案] 或 理由如下： 当点 位于 下方时， 当点 位于 上方时，如图，延长 交 于点 课后练习 （3）如图2，当 是 的延长线上一点时，探索 和 之间的数量关系并加以证明. [答案] 理由如下： 设 与 交于点 ， 课后练习 16.探究题： （1）我们把如图1的图形称为“8字形”，图中 之间的数 量关系是_ ___________________. <m></m> C组 思维拓展 课后练习 （2）如图2，若 的平分线 交于点 ，则 与 的数量关系为 _ _________________. <m></m> [解析] 设 分别平分 ， 故答案为 课后练习 （3）如图 分别平分 ，当 时，试 求 的度数（提示：解决此问题可以直接利用上述结论）. [答案] 如图1，延长 交于点 由（2）知 ， 课后练习 （4）如图4，若 ，当 时， 的度数为_ ___________. <m></m> [解析] 如图2，延长 交于点 设 同（2） 理得 ， 课后练习 故答案为 $$