精品解析：湖北省省直辖县级行政单位九年级13校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年10月九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 若是一元二次方程一个根，则m的值为（     ） A. 4 B. C. 6 D. 4. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是 A. ①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解 C ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的说法，下列正确的是（    ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 函数有最大值为2 C. 函数图象对称轴为 D. 函数图象开口向上 8. 电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（　　） A. ； B. ； C ； D. 9. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是__________． 12. 如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ______．（结果保留根号） 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 15. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则_______． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 18. 某校举办艺术会展，要将一副长为，宽为的画四周装裱上等宽度的彩纸．如果要使彩纸的面积恰好等于原画的面积，求彩纸的宽度． 19. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点 （1）求二次函数的解析式； （2）直接写出图象位于轴下方时，自变量的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 21. 已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: ①② ③（n） ⑴请解上述一元二次方程①、②、③、（n）; ⑵请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间的距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年10月九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：．是一元二次方程，该选项正确，符合题意； ． 是二元二次方程，该选项错误，不符合题意； ． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意； ． 不是一元二次方程，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一般式为：， 若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，， 故选：B． 3. 若是一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，正确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．根据一元二次方程的解的概念，将代入一元二次方程，即可解得答案． 【详解】把代入一元二次方程，得， 解得． 故选：C． 4. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是 A. ①②都有实数解 B. ①无实数解，②有实数解 C. ①有实数解，②无实数解 D. ①②都无实数解 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出①、②的判别式，根据：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根，即可得出答案： 【详解】解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解； 方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移特点即可求解. 【详解】将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为= 故选A. 【点睛】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知抛物线的平移规律. 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 关于二次函数的说法，下列正确的是（    ） A. 图象与y轴交点坐标为 B. 函数有最大值为2 C. 函数图象对称轴为 D. 函数图象开口向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 当时，， ∴图象与y轴的交点坐标为； 综上，正确的只有选项C； 故选C． 8. 电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作（　　） A. ； B. ； C. ； D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合该地三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长， 该地第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 又三天后票房收入累计达10亿元， 根据题意可列方程． 故选：D． 9. 若关于x的一元二次方程的解是，则关于y的一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据题意两个方程可得出的解是，进而可求出． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解是， ∴关于y的一元二次方程的解是． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．由抛物线开口方向判断①结论；由对称轴可判断②结论；由函数的对称性和增减性判断③结论；由抛物线的对称性即可判断④结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①结论正确； 抛物线的顶点为， 对称轴为直线， ， ，②结论正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 另一个交点为， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ，③结论正确； 抛物线与轴的交点为，且轴为直线， 点关于对称轴对称点为， 若点此抛物线上且，则或，④结论错误； 即正确结论序号是①②③， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中给定的函数顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，，由得，再解方程即可； 【详解】解：设，则， ， 即， ， 即 解得，（舍）， 点A与点C之间的距离为， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行________秒才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式即可求解． 【详解】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离， ∴， ∴当时，无人机着陆后滑行的最大距离为米停下， 故答案为： ． 15. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而求出n的值． 【详解】解：令，则， 解得：， ， 由图可知，抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了6个单位， ， 抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了48个单位，且在x轴下方， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）先两边都除以2，再用直接开平方法求解； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 17. 已知函数是关于x的二次函数，且该函数图象的开口向下，求m的值；并说出当x为何范围时，y随x的增大而增大？ 【答案】，当时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义和性质．由二次函数的定义结合开口方向得到，，据此可求得，得到函数解析式为，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 解得，，， ∴， ∴函数解析式为，对称轴为轴， ∵函数图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大． 18. 某校举办艺术会展，要将一副长为，宽为的画四周装裱上等宽度的彩纸．如果要使彩纸的面积恰好等于原画的面积，求彩纸的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设彩纸的宽为，然后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩纸面积与原画面的面积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 则， 解得：， 因为彩纸宽度不能为负数， 所以， 答：彩纸宽度为． 19. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点 （1）求二次函数的解析式； （2）直接写出图象位于轴下方时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式求解以及二次函数与轴的交点坐标问题，灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键． （1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入求解即可； （2）结合解析式，求解二次函数与轴的交点坐标，再根据开口方向即可确定范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为． 由题知：，，则， 又∵二次函数图像过点 ∴， ∴． ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：当时， ∴， ∴， 解得：，； ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∵，则抛物线的开口向上， ∴图象位于轴下方时，自变量的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据题意可得，解之即可； （2）由根与系数的关系得到，再由完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解；∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 故实数的值为． 21. 已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: ①② ③（n） ⑴请解上述一元二次方程①、②、③、（n）; ⑵请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【答案】（1）①②③…;（n） （2）共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的十字相乘法求解即可得； （2）根据所求的根，找出共同特点即可 【详解】解：（1）①， （x+1）(x-1)=0， 解得，， ②， （x+2）（x-1）=0， 解得，， ③， （x+3）（x-1）=0， 解得，， … （n）， （x+n）（x-1）=0， 解得， （2）这个方程都有一个根为，另外一根等于常数项． 【点睛】题目主要考查利用十字相乘法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键. 22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 （2）每台A款电器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． （1）求雕塑高OA． （2）求落水点C，D之间距离． （3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）22米；（3）不会 【解析】 【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上． 当时， ． （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）8； （3）， ， ， 【解析】 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． 【小问3详解】 解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：， ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：， ， ，． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$