专题05 抛物线（4大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题05 抛物线 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二上·安徽·期中）以下几个命题中，其中真命题的序号为（ ） ①设A、B为两个定点，为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆； ③双曲线与椭圆有相同的焦点； ④在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线． A．①④ B．②③ C．③④ D．③ 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·安徽安庆·期中）（多选）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，则（    ） A．的最小值为2 B．若，则 C．点在抛物线上，且为正三角形，则 D．若，则抛物线在点处的切线方程为 4．（22-23高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，则= ． 求抛物线的标准方程 6．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知抛物线的准线方程是，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高二下·安徽·期中）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·安徽铜陵·期中）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 9．23-24高三上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（      ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·安徽黄山·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．（20-21高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是 ． 12．（21-22高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且到双曲线渐近线的距离为，则抛物线的方程为 . 13．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值. 抛物线几何性质 14．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线方程为，则其准线方程为（　　） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 16．（20-21高二下·安徽宿州·期中）双曲线离心率为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（20-21高二下·安徽滁州·期中）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，抛物线上纵坐标为1的点P满足，则（    ） A． B．4 C． D．2 18．（23-24高二上·安徽滁州·期中）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数的值为 . 抛物线的综合应用 20．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ）． A．3 B． C．6 D． 21．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（    ） A．20 B．25 C．30 D．50 23．（23-24高二下·安徽滁州·期中）抛物线，过点，F为焦点，定点B的坐标为，则值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，，则（    ） A．3p B．3 C．4p D．4 25．（21-22高二上·安徽六安·期中（多选））已知为坐标原点，，是抛物线：上两点，为其焦点，，若到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ） A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为 B．周长的最小值为 C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．若，则直线的斜率为 26．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 27．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，若，则 ． 抛物线的最值问题 28．（23-24高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 30．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 31．（20-21高二上·安徽淮南·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（    ） A．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 B．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线 D．若，则的轨迹为椭圆 34．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线，其焦点为点，点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 35．（21-22高二上·安徽六安·期中）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯． ①在杯口放一个半径为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 ； ②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 （单位：）． 36．（21-22高二上·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（    ） A．椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 B．双曲线右支和右焦点所形成的弦中最短的弦长为 C．抛物线上两点，，则弦经过焦点的充要条件是 D．若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切 直线与抛物线的位置关系 37．（20-21高二下·安徽安庆·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则实数的值为 . 38．（23-24高二下·安徽六安·期中）设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：. 39．（23-24高二下·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 40．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，，， (1)求p的值； (2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 41．（22-23高二上·安徽·期中）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，． (1)求抛物线的方程； (2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积． 42．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程． 43．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，△PEF是边长为8的正三角形． (1)求C的方程； (2)过点的直线m与C交于A、B两点，若，求直线m的方程． 44．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）平面直角坐标系中O为坐标原点，过点.，且斜率为的直线交抛物线于两点. (1)写出直线的方程；（2）求与的值；（3）求证:. 抛物线的焦点弦 45．（20-21高二上·安徽淮北·期中）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 46．（21-22高三下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 47．（23-24高二下·安徽·期中）对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是 48．（21-22高三下·安徽·期中）已知抛物线，点A在y轴正半轴上，点B，C为抛物线E上两个不同的点，其中点B在第四象限，且四边形为菱形（为坐标原点，），则菱形的面积为 . 49．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知抛物线（）的焦点F，E上一点到焦点的距离为4. （1）求抛物线E的方程； （2）过F作直线l交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为，求直线l的方程及弦的长. 50．（23-24高二下·安徽黄山·期中）抛物线与直线的两个交点分别为，点在抛物线上从向运动（点不同于点）， （1）求由抛物线与直线所围成的封闭图形面积； （2）求使的面积为最大时点的坐标． 51．（23-24高二下·安徽·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线与的交点轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线L交曲线两点M，N，求的面积范围． 52．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则 的值是 A． B． C．3 D．3 抛物线的定值和定点问题 53．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． (1)求C的方程； (2)若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 54．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离． (1)求C的方程； (2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 55．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点． (1)求抛物线的方程； (2)求证直线恒过定点． 56．（23-24高二上·安徽淮南·期中）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标. 57．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4. (1)求抛物线的方程； (2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值. 58．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且. (1)求该抛物线的方程； (2)已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由. 59．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线，过点作抛物线的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 抛物线 抛物线的定义及应用 1．（23-24高二上·安徽·期中）以下几个命题中，其中真命题的序号为（ ） ①设A、B为两个定点，为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆； ③双曲线与椭圆有相同的焦点； ④在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线． A．①④ B．②③ C．③④ D．③ 【答案】D 【分析】根据圆锥曲线知识逐一判断 【详解】对于①，如果，则轨迹是一条射线，①错误； 对于②，由知是线段的中点，所以，因此点在以为直径的圆上，②错误； 对于③，双曲线中，即焦点为， 椭圆中，焦点也为，③正确； 对于④，由于点在直线上，因此动点轨迹是一条直线，④错误． 故选：D 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期中）若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线，， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 3．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，则（    ） A．的最小值为2 B．若，则 C．点在抛物线上，且为正三角形，则 D．若，则抛物线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【分析】选项A、B，由抛物线的定义及几何性质判断选项；选项C，由为正三角形，得的斜率为，得出的坐标；选项D，利用导数求切线方程判断选项. 【详解】由为抛物线的焦点，，故； 对于A，设， ,所以的最小值为2，故A正确； 对于B，由抛物线的定义知，得，故B正确； 对于C，为正三角形，则可得与轴平行，且，得的斜率为，所以的坐标为， 所以，故C错误； 对于D，因为，代入，可得， 由得，抛物线在点处的切线斜率为1，所以切线方程为,即，故D正确. 故选：ABD. 4．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线的定义，结合点在抛物线上，对每个选项逐一求解即可. 【详解】对：由题意可知，由，可得，故A正确； 对B：当时，，解得，即，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：AD. 5．（20-21高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作，垂足为，若，则= ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合已知条件求解的坐标，判定三角形的形状，然后求解结果即可． 【详解】解：由于抛物线的焦点为，准线为，， 过抛物线上一点作，垂足为，若， 可得点，三角形是等腰三角形， 所以． 故答案为：． 求抛物线的标准方程 6．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知抛物线的准线方程是，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在轴的负半轴,再设抛物线的标准方程为,根据准线方程求出的值,代入即可求解. 【详解】由题意可知,抛物线的焦点在轴的负半轴, 所以可设抛物线的标准方程为：, 因为抛物线的准线方程是, 所以,即, 所以所求抛物线的标准方程为. 故选:B 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求其标准方程;熟练掌握四种不同形式的抛物线的标准方程是求解本题的关键;属于基础题. 7．（20-21高二下·安徽·期中）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点差法得到得解 【详解】设，则， 相减得，，所以， 即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是． 故选：C． 8．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由中点坐标公式列出方程，消去参数，化简即可. 【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以 设， 则，消去，得，即 故选B. 【点睛】本题考查了动点的轨迹方程，关键是要找到动点坐标满足的关系式. 9．（23-24高三上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出抛物线方程，结合抛物线的焦半径公式计算求解即可. 【详解】依题意，设抛物线方程为，则，所以，即抛物线方程为. 故选D. 【点睛】在处理抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，但要注意抛物线的方程是那种标准方程，如：抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为. 10．（22-23高二上·安徽黄山·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在抛物线上及抛物线定义列方程组求参数p，即可得结果. 【详解】由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D. 11．（20-21高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是 ． 【答案】 【分析】先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可. 【详解】椭圆中，． 于是抛物线的焦点是，故其准线方程是． 故答案为：. 12．（21-22高二上·安徽合肥·期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且到双曲线渐近线的距离为，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设抛物线方程为,由于双曲线渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得的值，即可得抛物线的方程. 【详解】解：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，则设抛物线方程为：, 则抛物线的焦点坐标为，又到双曲线渐近线的距离为， 双曲线中，所以，则渐近线方程为： 所以，解得或（舍）， 则抛物线的方程为. 故答案为：. 13．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线，点到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用抛物线定义即可； （2）联立方程解到韦达定理，再将转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可. 【详解】（1）已知抛物线过点，且， 则， ， 故抛物线的方程为. （2）设. 联立， 消去整理得， ， 则， 则. 由得 或. 当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意， 综上，实数的值为. 抛物线几何性质 14．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线方程为，则其准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可． 【详解】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 故选：D． 15．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标，再结合离心率求出方程作答. 【详解】抛物线的准线方程为，则双曲线的焦点坐标为， 而双曲线的离心率为，令其实半轴长为，则，即有，虚半轴长， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 16．（20-21高二下·安徽宿州·期中）双曲线离心率为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的方程求得焦点坐标，得到双曲线的半焦距的值，结合双曲线的离心率求得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为(3,0). ∴双曲线（）的一个焦点的坐标为(3,0)， 故有双曲线的半焦距 再根据双曲线的离心率 ，可得, 故选：A. 17．（20-21高二下·安徽滁州·期中）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，抛物线上纵坐标为1的点P满足，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】借助抛物线定义和两点间距离公式求解即可． 【详解】由题意，，点，故，， ． 故选：C． 18．（23-24高二上·安徽滁州·期中）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可. 【详解】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且， . 抛物线的焦点坐标是. 故选：B. 19．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则实数的值为 . 【答案】8 【分析】写出抛物线焦点坐标及双曲线右顶点坐标，即可求的值. 【详解】由题设，抛物线焦点为，而双曲线的右顶点为， 所以，即. 故答案为：8. 抛物线的综合应用 20．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ）． A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，即可求出的值， 【详解】由题知，，则．设准线与轴交于点，则． 又是边长为6的等边三角形，， 所以，， 即． 故选：A. 21．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合已知条件写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，最后结合韦达定理和抛物线定义即可求解. 【详解】由题意知,，则直线的方程为：， 设，， 将代入的方程得，， 则，， 因为，且， 所以，整理得， 故，结合，解得. 故选：C. 22．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（    ） A．20 B．25 C．30 D．50 【答案】B 【分析】由题意可得，从而求出，求出参数，得出准线方程，求出三角形的高，从而得出面积. 【详解】抛物线的焦点为 直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，则 由，可得，故 由 即 所以抛物线，其准线方程为： 为的准线上一点，所以到直线的距离为： 则 故选；B 23．（23-24高二下·安徽滁州·期中）抛物线，过点，F为焦点，定点B的坐标为，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据在抛物线上求出的值，然后求得焦点坐标，进而根据两点距离公式求出、的值 ，即可求出结果． 【详解】因为抛物线过点 故选：． 【点睛】本题考查了抛物线标准方程，考查了两点间的距离公式，求出和点坐标是解题的关键，属于基础题． 24．（23-24高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，，则（    ） A．3p B．3 C．4p D．4 【答案】D 【分析】过作准线的垂线,再根据抛物线的几何性质以及列式计算即可. 【详解】过作准线的垂线,交准线与,则根据抛物线的性质有, 又.故.又,故,故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质运用,属于基础题. 25．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知为坐标原点，，是抛物线：上两点，为其焦点，，若到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ） A．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为 B．周长的最小值为 C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．若，则直线的斜率为 【答案】CD 【分析】根据到准线的距离为2可知，即得抛物线方程，设，将直线方程与抛物线方程联立，可得，即可得出直线，的斜率之积不为，A错误；利用抛物线的定义可知B错误；根据外接圆与抛物线的准线相切，可知外接圆半径为，所以C正确；由，结合可得直线的斜率为，D正确． 【详解】因为到准线的距离为2，所以，即抛物线方程为，焦点为， 对A，设，，由可得，，所以，，A错误； 对B，周长为，由抛物线的定义可知，的最小值为点到准线的距离，故周长的最小值为，B错误； 对C，外接圆与抛物线的准线相切，而外接圆的圆心横坐标为，所以外接圆半径为，即该圆面积为，C正确； 对D，由可得，直线过点，所以，而由前可知，，所以，即有，所以直线的斜率为，D正确． 故选：CD． 26．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【详解】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 27．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，若，则 ． 【答案】 【分析】直接使用抛物线的焦半径定义，即可求解. 【详解】由题意，知抛物线的准线为，由焦半径的定义可得，解得． 故答案为：6 抛物线的最值问题 28．（23-24高二下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据基本不等式求的最小值. 【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 29．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 30．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义转化，然后求的最小值即得． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 延长交准线于，连，显然垂直于抛物线的准线， 由抛物线定义知：， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 而，所以的最小值为. 故选：B. 31．（20-21高二上·安徽淮南·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线定义，利用数形结合求解即可 【详解】由题可得，准线的方程为. 由抛物线的定义可知，， . 故选:D. 32．（18-19高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值. 【详解】由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为. 过点作于，根据抛物线的定义可得. 又的周长为，且， 结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为， 所以的最小值为， 即的周长最小值为. 故选D. 【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离､最值､弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线. 33．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（    ） A．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 B．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线 D．若，则的轨迹为椭圆 【答案】BCD 【分析】根据正方体的性质（线面垂直的性质）确定点的轨迹判断AB，利用圆锥面结合圆锥曲线性质判断CD． 【详解】由于正方体一侧棱与底面垂直，即与底面上的直线垂直，， 所以，轨迹是以为圆心为半径的圆， 设中点是，中点是，则，， 平面，平面，所以平面，因此中点点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为，A错； 由于侧棱与底面垂直，因此到直线的距离等于，因此点为平面上到定点和定直线距离相等的点，轨迹为抛物线，B正确； 与所成的角为时，因为正方体中，则与所成的角也是，是以为轴，轴截面顶角为的圆锥的母线，点轨迹是圆锥侧面是平面的交线，由于平面与圆锥的轴平行，因此交线是双曲线，C正确； ，是以为轴，轴截面顶角为的圆锥的母线，点轨迹是圆锥侧面是平面的交线，由于平面与圆锥的轴不平行不垂直，因此交线是椭圆，D正确； 故选：BCD． 34．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线，其焦点为点，点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解， 【详解】直线化为，得直线过定点，记为点， 过点做直线的垂线，垂足为， ， 故点的轨迹是以为直径的圆，半径，其圆心为的中点，记为点， 在抛物线上，其准线为等于到准线的距离. 过作准线的垂线，垂足为.要使取到最小，即最小， 此时三点共线，且三点连线后直线过圆心.如图所示， 此时. 故答案为： 35．（21-22高二上·安徽六安·期中）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯． ①在杯口放一个半径为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 ； ②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 （单位：）． 【答案】 【分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可. 【详解】因为在杯口放一个半径为的玻璃球， 又因为杯口宽4cm， 所以如图1所示，有， 所以，所以， 所以， 又因为杯深8cm，即 故最小距离为 如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为， 所以将代入得，故抛物线方程为， 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2， 设玻璃球轴截面所在圆的方程为， 依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即， 则有恒成立，解得，可得. 所以玻璃球的半径的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解. 36．（21-22高二上·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（    ） A．椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 B．双曲线右支和右焦点所形成的弦中最短的弦长为 C．抛物线上两点，，则弦经过焦点的充要条件是 D．若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切 【答案】AB 【分析】对A，设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，可得，联立可消元化简得； 对B，分别讨论焦点弦所在直线斜率存在不存在的情况，联立方程应用弦长公式即可判断； 对C，讨论充分性、必要性，弦所在直线还需讨论斜率存在与否，设出直线方程，联立抛物线方程结合韦达定理讨论即可； 对D，直线与该抛物线可能是相切，也可能是直线平行抛物线的对称轴 【详解】对A，设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，∴①， 又∵点在椭圆上，∴，∴代入①，得，故A正确； 对B，设双曲线的右焦点为，过点F的直线与双曲线右支相交于，， 当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为，则. 当直线AB斜率存在时，则直线AB方程为， 联立得， ，， 由，得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故B正确； 对C，充分性：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时， 因为，所以，此时直线过焦点. 当直线的斜率存在时，设直线方程为 由，得， 所以，且， 又因为且， 所以，解得或， 所以直线方程为或. 当直线时，取时，，直线过焦点； 当直线时，取时，，直线过点； 所以充分性不成立. 必要性：当直线过焦点时， 设过焦点的直线的方程为，代入， 可得，则， 则，所以必要性成立. 所以抛物线上两点，，则弦经过抛物线的焦点的必要不充分条件是，所以C是不正确的. 对D，直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，故D错误. 故选：AB. 直线与抛物线的位置关系 37．（20-21高二下·安徽安庆·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】首先设出直线，与抛物线方程联立，由韦达定理求得直线方程，再利用中点坐标，求得实数的值. 【详解】设直线与抛物线交于，两点， ，得，，解得：， 且，所以线段中点的纵坐标，横坐标， 线段中点坐标在直线上，得. 故答案为： 38．（23-24高二下·安徽六安·期中）设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）根据l与x轴垂直得到l的方程，然后联立方程得到带你的坐标，最后求直线方程即可； （2）设的方程，联立直线和抛物线的方程，然后利用韦达定理得到，即可证明. 【详解】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为. 代入， 所以，或，. 或， 所以的方程为或， 即或. （2） 设的方程为，，， 联立方程得，易得， 所以，，，， 所以 ， 所以，则直线与直线的倾斜角互补， 所以. 39．（23-24高二下·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，利用点到直线的距离公式表示三角形的高，即可求解面积. 【详解】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 40．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，，， (1)求p的值； (2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的范围是 【分析】（1）根据题目信息可知在中，，则根据定义可知，再根据可表示点，代入方程即可求解的值. （2）假设过的直线方程：，并与抛物线进行联立，求解出，. 由于共线，则可知横坐标成比例，整理关于的表达式，通过的范围进行求解. 【详解】（1）因为，则在中，， 又因为抛物线的定义可知，，则， 又因为，，则可计算. 代入抛物线方程得：，整理得，则或（舍）. （2） 由（1）可知抛物线方程为：，设，， 斜率为k，过点的直线方程为：， 则联立，整理得：， 由韦达定理可得：，. 所以； 又因为，则， 所以， 令，则， 所以，即. 所以、同向，所以. 整理得，解得：或. 所以存在，使得. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线综合题目，只要出现直线与圆锥曲线相交，只需要联立方程，计算韦达定理，然后再分析题干信息联立求解即可. 41．（22-23高二上·安徽·期中）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，． (1)求抛物线的方程； (2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答. （2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答. 【详解】（1）抛物线：的准线方程为，依题意，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，，则直线的方程为， 由消去y得：，解得，， 所以的面积.    42．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据点在抛物线上和三角形面积公式建立等式直接求解；(2)将问题转化为，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为点在抛物线上,所以, , 所以,解得, 所以抛物线方程为. （2）设 联立，整理得 由直线抛物线交于两点可知， 且 则， 且 依题意以为直径的圆经过点，所以， 所以， 即 整理得解得，满足条件， 故直线的方程为 43．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，△PEF是边长为8的正三角形． (1)求C的方程； (2)过点的直线m与C交于A、B两点，若，求直线m的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）结合已知条件求得，由此求得抛物线的方程. （2）设直线，并代入抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据求得，由此求得直线的方程. 【详解】（1）由于，所以轴， 由于三角形是边长为的等边三角形， 所以， 所以， 所以抛物线C的方程为． （2）设直线，代入并化简得； 设，，则，． 因为，所以，设，则，，，解得． 所以直线方程为， 即或． 44．（12-13高二下·安徽蚌埠·期中）平面直角坐标系中O为坐标原点，过点.，且斜率为的直线交抛物线于两点. (1)写出直线的方程；（2）求与的值；（3）求证:. 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）由题意，直线过点，且斜率为，由直线的点斜式方程，即可求解； （2）由（1）及消去代入得，求得则，在代入抛物线的方程，即可求得. （3）证明：设的斜率分别为，则，得到，解得得到结论. 【详解】（1）直线过点，且斜率为，由直线的点斜式方程，可得 ， 即直线的方程为.(k≠0) （2）设， 又由（1）及消去代入得， 则， 又由得到， 又由，所以. （3）证明：设的斜率分别为，则， 两式相乘得，所以. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程代入抛物线的方程合理利用韦达定理，求得的值和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分析问题和解答问题的能力. 抛物线的焦点弦 45．（20-21高二上·安徽淮北·期中）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】先求得过F的直线方程为：，与抛物线联立，利用韦达定理，求得，的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】因为抛物线C：y2＝4x，所以焦点，所以过F的直线方程为：， 设，联立方程得：， 所以， 所以， 故选：C 【点睛】在处理抛物线问题时，常设直线的形式，与抛物线联立时，可大大简化计算，提高正确率，属基础题. 46．（21-22高三下·安徽·期中）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若，则线段的中点到y轴的距离为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段的中点到准线的距离，再减去准线到轴的距离，即可得到结果 【详解】 由图，中点为，分别垂直准线于，交轴于，易得为直角梯形的中位线，则， 由抛物线定义易得，，，又准线为，， 故线段的中点到y轴的距离， 故选：C 47．（23-24高二下·安徽·期中）对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是 【答案】 【详解】设，由得 当时，不等式恒成立； 当时，恒成立，则 48．（21-22高三下·安徽·期中）已知抛物线，点A在y轴正半轴上，点B，C为抛物线E上两个不同的点，其中点B在第四象限，且四边形为菱形（为坐标原点，），则菱形的面积为 . 【答案】 【分析】设点，，，根据抛物线的方程和菱形的性质建立方程组，求解即可. 【详解】解：设点，，， 因为点B，C为抛物线E上两个不同的点，且四边形为菱形， 所以，解得， 所以菱形的面积为， 故答案为：. 49．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知抛物线（）的焦点F，E上一点到焦点的距离为4. （1）求抛物线E的方程； （2）过F作直线l交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为，求直线l的方程及弦的长. 【答案】（1）（2）； 【分析】（1）利用抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可． （2）由（1）得抛物线E的焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标为﹣1，得到直线的斜率，求出直线方程．再联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可． 【详解】（1）抛物线（）的准线方程为， 由抛物线的定义可知解得，∴E的方程为； （2）由（1）得抛物线E的方程为，焦点 设A，B两点的坐标分别为，， 则， 两式相减.整理得（） ∵线段AB中点的纵坐标为， ∴直线l的斜率， 直线l的方程为即， 由得， ∵，， . 【点睛】本题考查抛物线的方程的综合应用，直线与抛物线的位置关系的应用，点差法的应用，考查转化思想以及计算能力． 50．（23-24高二下·安徽黄山·期中）抛物线与直线的两个交点分别为，点在抛物线上从向运动（点不同于点）， （1）求由抛物线与直线所围成的封闭图形面积； （2）求使的面积为最大时点的坐标． 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）先求直线与抛物线交点，确定上下函数，分两种情况求定积分，即得面积； （2）过点的切线与直线平行时的面积为最大，利用导数几何意义求出切点坐标即可 【详解】（1）由得抛物线与直线的交点为， ， 所以抛物线与直线所围成的封闭图形面积为； （2）设点的坐标为，要使的面积最大， 即使点到直线的距离最大， 故过点的切线与直线平行， 故过点的切线斜率为， 由，得，， 所以，解得， 又点不同于点， 所以使的面积为最大时点的坐标为. 51．（23-24高二下·安徽·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线与的交点轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线L交曲线两点M，N，求的面积范围． 【答案】(1) ;(2) 【分析】(1)根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等以及抛物线的定义求解即可. (2)设直线的方程,联立直线与(1)中所得的抛物线方程,再利用面积公式求解的表达式,进而求得面积的范围即可. 【详解】(1)易得,,.设线段的垂直平分线与的交点为,则.故到定点的距离等于到定直线的距离. 故的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线.故. (2)设直线的方程为,. 则.,. 又的面积 .当且仅当时取等号. 故的面积范围为. 【点睛】本题主要考查了根据利用抛物线的定义求解抛物线方程的问题,同时也考查了联立直线与抛物线的方程求解三角形面积的范围问题.属于中档题. 52．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则 的值是 A． B． C．3 D．3 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，, 所以 抛物线的定值和定点问题 53．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． (1)求C的方程； (2)若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 【答案】(1)，或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据线段PF的中点坐标得到，，然后代入到抛物线方程中，解方程得到即可得到抛物线的方程； （2）设直线的方程，然后与抛物线方程联立，利用直线OM，ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到，即可得到直线MN过定点. 【详解】（1）解：由题意得，设， 因为线段PF的中点为， 所以，，所以，， 代入C的方程得， 解得，或， 所以C的方程为，或． （2） 证明：因为，所以C的方程为， 设，，直线MN的方程为， 与联立，得， 则，， 因为直线OM，ON的斜率之积为2024， 所以， 所以． 直线MN的方程为，故直线MN过定点． 54．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离． (1)求C的方程； (2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义，转化求解抛物线方程即可． （2）①直线斜率不存在时，满足题意， ②直线斜率不存在时，设直线，联立直线与抛物线方程，设，，，，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，推出结果． 【详解】（1）解：由抛物线定义，得，由题意得，，解得 所以抛物线的方程为． （2）证明：①直线斜率不存在时， 可设，， ， ，， 又，， ，解得， ，为垂足， ， 故存在定点，使得为定值， ②直线斜率存在时，设直线，解得， 设，，，，则，， 因为，所以， 得， 所以， 得，即， 当时，过定点，不符合题意； 当时，直线过点， 所以点在以为直径的圆上， 故当为的中点时，定值． 55．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点． (1)求抛物线的方程； (2)求证直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）解：由点是抛物线上一点，可得，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解； （2）设直线：，联立方程组求得，，根据以为直径的圆经过点，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程求得和，进而得到结论. 【详解】（1）解：由题意，抛物线：的焦点为， 点是抛物线上一点，可得， 又由的面积为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设，，直线：， 联立方程组，消去得， 则，且，， 所以， 因为以为直径的圆经过点，可得， 所以 解得或， 当时，：恒过（不满足题意，舍去）； 当时，：恒过 所以直线恒过定点. 56．（23-24高二上·安徽淮南·期中）在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【解析】（1）设圆心，然后根据条件建立方程求解即可； （2）设直线的方程为，然后算出，，然后表示出直线的方程即可. 【详解】（1）设圆心，由题意得，即 所以曲线C的方程为 （2）由题意可知，直线的斜率均存在， 设直线的方程为，， 联立方程组得， 所以， 因为点M是线段AB的中点，所以 同理，将换成得， 当，即时 所以直线MN的方程为 即， 所以直线MN恒过定点 当时，直线MN的方程为，也过点 所以直线MN恒过定点 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 57．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4. (1)求抛物线的方程； (2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值． 【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为， ∴过焦点与对称轴垂直的直线为， ∴直线与抛物线的两个交点为， 由题意得， ∴抛物线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为， 由消去y整理得， ∵直线与抛物线交于两点， ∴，解得或． 设， 则． ∴． ∴为定值，且定值为． 【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 58．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且. (1)求该抛物线的方程； (2)已知过原点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由. 【答案】(1)； (2)是，定点为(4，0)，理由见解析． 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦公式即可求得p，从而可得该抛物线的方程； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而可得结果． 【详解】（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为：． 设， 由得，， ∵，∴． ∴，∴． ∴抛物线的方程为：． （2）由题可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：， 设，， 由得，， 当时，，． ∵OD⊥OE，∴ ∴或(舍)， ∴直线DE为x＝my＋4，过定点(4，0)． 59．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知抛物线，过点作抛物线的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】详见解析. 【详解】【试题分析】本题为设而不求思想，设出直线方程以及的坐标，通过联立方程组，利用根与系数关系找出，利用向量的的坐标运算求出数量积，根据，得出数量积为0，把，代入得出得要求，从而得出得关系，代入所在直线方程说明直线过定点. 解：设，，， ，∴，由恒成立得恒成立① ，， 又得， 又，得， 所以或，所以或， 由①知，所以，所以直线过定点. 【点睛】定点、定值问题是高考常见题型之一，首先要学会设而不求得解题方法，设出直线方程和交点坐标，联立方程组，学会利用解题，学会利用坐标关系解题，利用坐标、方程、方程组解题是解析几何得精髓.本题证明直线过定点，就是寻找得关系，怎样寻找？就是利用向量垂直，数量积为零，通过坐标关系，找出沟通已知和所求之间的桥梁. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$