期中检测02（能力卷）- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

期中检测02（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（2023高二下·湖南·学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（23-24高一上·河南洛阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 11．（22-23高三下·山东·开学考试）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高三·全国·中职高考）已知，求的取值范围 ． 13．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 14．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·河北保定·阶段练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 16. (15分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 17. (15分) （23-24高一上·全国·课后作业）集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 19. (17分) （22-23高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． (1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①；     ②； (2)若是函数的“区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测02（能力卷） 检测范围：必修第一册第一章、第二章、第三章 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（2023高二下·湖南·学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（23-24高一上·河南洛阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为或 11．（22-23高三下·山东·开学考试）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高三·全国·中职高考）已知，求的取值范围 ． 13．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 14．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二下·河北保定·阶段练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 16. (15分) （23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 17. (15分) （23-24高一上·全国·课后作业）集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 19. (17分) （22-23高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． (1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①；     ②； (2)若是函数的“区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A B D D AD ABC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 2．C 【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案. 【详解】当时,即,时成立; 当时,满足,解得; 综上所述:. 故选:C. 3．C 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断. 【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误； 对于B，由，若，则，故B错误； 对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确； 对于D，取，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 4．C 【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C. 5．A 【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果. 【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立， 令，易知，时，，所以，， 故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件， 故选：A． 6．B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 7．D 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可 【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为 故选：D 8．D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 9．AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10．ABC 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 11．BCD 【分析】依题意可得，再由奇偶性得到，从而得到，即可判断A，由，可得，再由，即可求出，从而判断B，再结合奇偶性的定义判断C、D. 【详解】解：由，得． 由是奇函数，得，即， 所以，即，所以，故选项A错误； 由，得，由，得，所以，故选项B正确； 由，，得，即为偶函数，故选项C正确； 由，，得，则， 即为奇函数，故选项D正确． 故选：BCD 12． 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可. 【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为； 当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴. i.若，则二次函数的最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为. 要使的值域为R，只需：，解得：. 所以； 综上所述：实数t的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】设， 则由题意可得， 因为，所以 ①当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； ②当时，，只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号. 综上所述，的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 17．(1) (2) 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【详解】（1）①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 18．(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. （2）证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 19．(1)①是，②不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解； （3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2， 不是函数的“区间”. （2）记， ，注意到， 因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即. 当时，在上单调递增，且， 所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意. 综上，. （3）对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以. 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$