专题10 反比例函数的图象与性质（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题10 反比例函数的图象与性质 求反比例函数解析式 1．（2023-24九年级上·湖南娄底·期中）已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 2．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）若函数是反比例函数，则的值是 ． 3．（2023-24九年级上·江苏泰州·期中）已知函数是反比例函数，则 4．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）已知是反比例函数，则 ． 5．（2023-24九年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 6．（2023-24九年级上·四川成都·期中）根据所学函数知识，期中下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 反比例函数的图象判断 7．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是 ． 10．（2023-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 11．（2023-24九年级上·湖南益阳·期中）反比例函数的图象在二、四象限，则一次函数的图象经过第 象限． 反比例函数的性质 12．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限内 B．图象位于第一、三象限内 C．图象经过点 D．在每个象限内，y随x的增大而减小 13．（2023-24·九年级上 浙江·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24九年级上·湖南永州·期中）点在反比例函数上，下列说法错误的是（  ） A． B．函数的图象位于第二、四象限 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．反比例函数有两条对称轴 15．（2023-24九年级上·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是 ． 16．（2023-24九年级上·江苏南通·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 17．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． k的几何意义 18．（2023-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 19．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 20．（2023-24九年级上·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 21．（2023-24九年级上·云南曲靖·期中）如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．（2023-24 九年级上·内蒙古·期中）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 23．（2023-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则 ． 24．（2023-24九年级上·四川遂宁·期中）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且轴，点C．D在x轴上，若四边形为长方形，则它的面积为 ． 一次函数与反比例函数的图象判断 25．（2023-24九年级上·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 26．（2023-24九年级上·湖南娄底·期中）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 27．（2023-24九年级上·四川内江·期中）如图，反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 28．（2023-24九年级上·四川宜宾·期中）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 一次函数与反比例函数的综合问题 29．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 30．（2023-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为． (1)①直线的解析式为__________；     ②反比例函数的解析式__________． (2)根据图象写出：当x满足__________时，． (3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2023-24九年级上·重庆·期中）平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、点B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为4，点B的横坐标为． (1)求一次函数的解析式，画出一次函数的图象，并写出一条一次函数的图象性质：____________ (2)线段的中垂线交反比例函数于点D，交直线于点M，求的面积； (3)当时，请直接写出自变量x的取值范围． 32．（2023-24九年级上·重庆万州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，并与x轴交于点B，点D是线段上一点，连结，且． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点D的坐标． 33．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）一次函数与反比例函数相交于、B 两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； (2)点C在反比例函数图象上且纵坐标为，连结，，求的面积； (3)根据图象，当时，请直接写出 x的取值范围． 34．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系． 35．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 反比例函数的实际应用 36．（2023-24九年级上·安徽六安·期中）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 37．（2023-24 九年级上·广东东莞·期中）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 38．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，期中下列问题： (1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； (2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 39．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 40．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）用电器的电阻R、功率P和它两端的电压U之间满足如下关系：．现有甲、乙两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．经测量发现其中一个用电器的功率是，两端电压在到之间，请通过计算说明该用电器是甲还是乙？ 41．（2023-24九年级上·山东日照·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 42．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 反比例函数与几何的综合 43．（2023-24九年级上·山东威海·期中）如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 44．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，若函数的图象经过顶点B，则k的值为（   ） A． B． C． D． 45．（2023-24·九年级上 江苏扬州·期中）如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为 ． 46．（2023-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则 ． 47．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，与的面积之和为3，则k的值为 ． 48．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 49．（2023-24 九年级上 广东汕头 期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 50．（2023-24 九年级上·山西·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 1．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023-24九年级上·山东枣庄·期中）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 4．（2023-24 九年级上·山东德州·期中）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 5．（2023-24 九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 6．（2023-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点B，C均在反比例函数图象上，且点B在C的左侧，则B点的横坐标为 ． 7．（2023-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 8．（2023-24 九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 9．（2023-24九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 10．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 11．（2023-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 12．（2023-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 . (1)求反比例函数的表达式； (2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 反比例函数的图象与性质 求反比例函数解析式 1．（2023-24九年级上·湖南娄底·期中）已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 2．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023-24九年级上·江苏泰州·期中）已知函数是反比例函数，则 【答案】 【详解】解：∵ 则， 解得： ． 故答案为：． 4．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：4． 5．（2023-24九年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 6．（2023-24九年级上·四川成都·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【详解】（1）函数是一次函数， 且为任意实数， 解得， ，为任意实数； （2）函数是反比例函数， ， 解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键． 反比例函数的图象判断 7．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 反比例函数的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限， 故选：B． 8．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 9．（2023-24九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵反比例函数的图象位第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限． 10．（2023-24九年级上·湖南怀化·期中）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 11．（2023-24九年级上·湖南益阳·期中）反比例函数的图象在二、四象限，则一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【详解】解：∴反比例函数的图象在二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过的象限是：第一、三、四象限． 故答案为：一、三、四． 反比例函数的性质 12．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第二、四象限内 B．图象位于第一、三象限内 C．图象经过点 D．在每个象限内，y随x的增大而减小 【答案】A 【详解】解：A、因为，所以函数图象位于二、四象限，故本选项符合题意； B、因为，所以函数图象位于二、四象限，故本选项不符合题意； C、当时，，图象经过点，故本选项不符合题意； D、因为，所以函数图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：A． 13．（2023-24·九年级上 浙江·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由反比例函数图象上点可知， 反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，图象自左向右上升，函数随的增大而增大， 反比例函数图象上位于第二象限的两个点的坐标分别为，位于第一象限的点的坐标为， ． 故选：A． 14．（2023-24九年级上·湖南永州·期中）点在反比例函数上，下列说法错误的是（  ） A． B．函数的图象位于第二、四象限 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．反比例函数有两条对称轴 【答案】C 【详解】解：A、∵在反比例函数上， ∴，所以A选项的说法正确，不合题意； B、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，所以B选项的说法正确，不合题意； C、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以C选项说法错误，符合题意； D、反比例函数有两条对称轴为直线和直线，所以D选项的说法正确，不合题意； 故选：C 15．（2023-24九年级上·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的关系式为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 当时，， 结合图象可得当时，， 故答案为：． 16．（2023-24九年级上·江苏南通·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点A与B关于原点对称，A的坐标为 ∴B点的坐标为． 故答案为：． 17．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴， ∴， ∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． k的几何意义 18．（2023-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 19．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 20．（2023-24九年级上·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：连接，如图： ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， 故选：A． 21．（2023-24九年级上·云南曲靖·期中）如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故选A． 22．（2023-24 九年级上·内蒙古·期中）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 【答案】D 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 23．（2023-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵轴，， ∴， 故答案为：2． 24．（2023-24九年级上·四川遂宁·期中）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且轴，点C．D在x轴上，若四边形为长方形，则它的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：延长交y轴于点E， ∵四边形为矩形，且轴，点C、D在x轴上， ∴轴， ∴四边形与四边形是矩形， ∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上， ∴， ∴． 故答案为：2． 一次函数与反比例函数的图象判断 25．（2023-24九年级上·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； B、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象符合，选项正确； C、反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误； D、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； 故选：B． 26．（2023-24九年级上·湖南娄底·期中）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 27．（2023-24九年级上·四川内江·期中）如图，反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①当时，过一、三、四象限；过一、三象限； 故B符合题意； ②当时，过一、二、四象象限；过二、四象限． ∴观察图形可知只有B符合． 故选：B． 28．（2023-24九年级上·四川宜宾·期中）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、一次函数图象经过一、二、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，相矛盾，故此选项错误； B、一次函数图象经过一、二、三象限，则，，相矛盾，故此选项错误； C、一次函数图象经过一、三、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项正确； D、一次函数图象经过二、三、四象限，则，，相矛盾，故此选项错误； 故选：C． 一次函数与反比例函数的综合问题 29．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 【答案】和 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 30．（2023-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，--次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点，已知点，点A的坐标为． (1)①直线的解析式为__________；     ②反比例函数的解析式__________． (2)根据图象写出：当x满足__________时，． (3)在y轴上是否存在点E，使的面积为12．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①② (2)或 (3)E的坐标为或 【详解】（1）解：①把，分别代入解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为． ②∵点A的坐标为，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数为：； （2）解：∵，， 由图象可得：当x满足或时， （3）解：∵直线的解析式为． 当时，则， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴E的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段坐标的转化，三角形面积的分割法表示，利用函数图象解不等式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 31．（2023-24九年级上·重庆·期中）平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、点B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为4，点B的横坐标为． (1)求一次函数的解析式，画出一次函数的图象，并写出一条一次函数的图象性质：____________ (2)线段的中垂线交反比例函数于点D，交直线于点M，求的面积； (3)当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为；图象见解析；随的增大而增大 (2) (3)或 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点、点，点的纵坐标为4，点的横坐标为． ，， 把，代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 图象如下： 由图象可知：随的增大而增大， 故答案为：随的增大而增大（答案不唯一）； （2）解：如图， 一次函数图象与轴交于点， ， 线段的垂直平分线交反比例函数于点，交轴于点， 的纵坐标为1， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， 的面积为：； （3）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 32．（2023-24九年级上·重庆万州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，并与x轴交于点B，点D是线段上一点，连结，且． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点D的坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得： ∴一次函数的解析式为：； 将点代入得：， 解得： ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：令， 解得： ∴ 设点 ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 33．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）一次函数与反比例函数相交于、B 两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象； (2)点C在反比例函数图象上且纵坐标为，连结，，求的面积； (3)根据图象，当时，请直接写出 x的取值范围． 【答案】(1)，，一次函数的图象见详解． (2) (3)或． 【详解】（1）解：把代入， 即， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 把代入， 即， ∴反比例函数的解析式为：． 联立两个解析式 解得：，， ∴， 一次函数的图象如下： （2）∵点C在反比例函数图象上且纵坐标为， ∴， ∴， 如下图，作轴交点E， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）根据图象，当时，则或． 34．（2023-24九年级上·广西贺州·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系． 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2) 【详解】（1）解：把代入得：， ， ， 把代入得：， ， ， 把，代入得： ， 解得， ； （2）解：、、为双曲线上的三点， ，，， 而， ． 35．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． (1)求和双曲线的函数关系式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【详解】（1）把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． （2）∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． （3）∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 反比例函数的实际应用 36．（2023-24九年级上·安徽六安·期中）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 37．（2023-24 九年级上·广东东莞·期中）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 【答案】 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 38．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； (2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 【答案】(1) (2)这次消毒很彻底 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 将代入解析式得，， 药物在燃烧释放过程中，双曲线的函数解析式为， 将代入解析式得，， 解得， 故， 设线段的函数解析式为， 将代入可得：， 解得：， 药物在燃烧释放过程中，线段的函数解析式为， 综上，； （2）解：将代入中，可得：，解得：， 将代入中，，解得：， ∴空气中每立方米的含药量不低于4毫克的时间为， 这次消毒很彻底． 39．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 40．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）用电器的电阻R、功率P和它两端的电压U之间满足如下关系：．现有甲、乙两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．经测量发现其中一个用电器的功率是，两端电压在到之间，请通过计算说明该用电器是甲还是乙？ 【答案】应选甲，见解析 【详解】解：当时，、， 当时，， ∴说明合适的电阻应在之间， ∴应选甲． 41．（2023-24九年级上·山东日照·期中）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1)； (2)0.3； (3)． 【详解】（1）解：设反比例函数式， ∵把代入反比例函数式， ∴， ∴； （2）解：当，； （3）解：将代入，得，解得． 根据反比例函数的性质，， ∴在第一象限内，I随着R的增大而减小． 所以用电器的可变电阻至少是． 42．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】(1)，， (2)min 【详解】（1）解：设停止加热时，设， 由图可知，将代入得：，解得：， ， 当时，得，解得：， 点坐标为， 点坐标为， 设当加热烧水时，设， 由图及题意可知，将代入得：，解得：， 当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；； （2）解：把代入，得， （分钟）； 从烧水开到泡茶需要等待分钟． 反比例函数与几何的综合 43．（2023-24九年级上·山东威海·期中）如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴A，B， 作点关于直线的对称点，则：，， ∴， ∴当三点共线时，，最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选：B． 44．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，若函数的图象经过顶点B，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 则点B的横坐标为， 故B的坐标为：， 将点B的坐标代入得：， 解得：． 故选：B． 45．（2023-24·九年级上 江苏扬州·期中）如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若面积为5，正方形的周长为，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，则， ∵A在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的周长为． ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 46．（2023-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴，过点作轴，与的延长线相交于点， 由折叠得：， ∴ 又∵ ∴， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：舍去）； ， 代入得，， 故答案为 【点睛】本题考查了折叠得性质、相似三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，与的面积之和为3，则k的值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线， ∵点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2， ∴， ∵轴， ∴， ∵与的面积之和为3， ∴，， ∴，解得：． 故答案为：5． 48．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【答案】 8 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴舍去， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 49．（2023-24 九年级上 广东汕头 期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为； (2)或 【详解】（1）解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 50．（2023-24 九年级上·山西·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 1．（2023-24九年级上·陕西西安·期中）已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 3．（2023-24九年级上·山东枣庄·期中）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作轴于P，轴于C，轴于D，轴于H，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 设E点坐标为，则F点的坐标为， ∴ ∵， 而， ∴． 故选：C． 4．（2023-24 九年级上·山东德州·期中）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴， 解得， ∵与的距离为5， ∴， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 5．（2023-24 九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 6．（2023-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点B，C均在反比例函数图象上，且点B在C的左侧，则B点的横坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴点A向下平移3个单位、向右平移2个单位可得O点， ∴点B向下平移3个单位、向右平移2个单位可得C点， 设点B坐标为， ∴， ∴， 解并检验得：，（不合题意舍去） ∴点B的横坐标为， 故答案为：． 7．（2023-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 8．（2023-24 九年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴，作轴，则四边形为矩形， ∴， ∵以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 则：， ∴（负值舍掉）， ∴， ∵将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、， ∴平移后的直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2023-24九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①，②或 【详解】（1）解：∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质． 10．（2023-24九年级上·湖南岳阳·期中）为预防某种流感病毒，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行的药物喷洒，接着封闭教室，然后打开门窗进行通风．教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系． (1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式； (2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 【答案】(1)； (2)此次消毒有效，理由见解析 【详解】（1）解：当时， 设，将代入， 则， ∴； （2）解：此次消毒有效．理由如下： 当时， 设，将代入， 则，解得：， ∴； 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴此次消毒有效． 11．（2023-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式：；一次函数的表达式： (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：根据题意将点坐标代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴将点，点代入中得： ，解得：， ∴一次函数的表达式：； （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点， ∵点，点， 通过图象可知： ， 当或时，； （3）解：∵点， ∴， ∵为轴上一动点， ∴过点作轴，是以为腰的等腰三角形， ， ∴当在轴正半轴时，， ∴，即， ∴当在轴负半轴时，， ∴， ∴当在轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点的坐标为或或． 12．（2023-24九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 . (1)求反比例函数的表达式； (2)当时.直接写出的取值范围； (3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得到：， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， 由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下： 如图所示，设直线交y轴于点， ∵四边形为矩形 ∴，则以点A为直角顶点的直角三角形， 由一次函数解析式可得， ∵， ∴，，， 在中， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， 即点P的坐标为， ∴在双曲线上存在点P，使四边形为矩形，此时点P的坐标为． 13．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 【详解】（1）解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$