4.1 数列的概念（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）使学生理解数列以及数列的通项公式的概念． （2）会根据数列的通项公式求数列的各项． （3）能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已具备一定数学基础，但对数列概念的理解可能尚浅．他们可能了解数列是按一定顺序排列的数字，但对数列的严格定义、通项公式及其重要性认识不足．部分学生可能在从具体数列中抽象出通项公式时遇到困难，缺乏将实际问题转化为数列问题的思维训练．因此，教学中需注重引导，通过实例让学生深刻理解数列概念，明确数列与函数的关系，掌握通项公式的求解方法．同时，要加强练习，提高学生运用数列知识解决实际问题的能力，培养他们的逻辑思维和抽象概括能力，为后续学习打下坚实基础． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：数列的概念和根据数列的前几项，确定数列的通项公式． 教学难点：根据数列的前几项的特点，确定数列的一个通项公式． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：有人观察到，大自然似乎深谙数学之道，你是否也曾留意？树木的枝桠如何分布、花瓣数目有何规律、植物种子如何巧妙排列，这些背后都隐藏着数学的奥秘．你能猜想到这与哪些数学原理息息相关吗？在接下来的课程中，我们将一同揭开这些自然之谜，深入理解它们所蕴含的数学规律． 环节二、抽象概念，内涵辨析 【变式0-1】数列的概念与分类 问题1：观察以下几列数： （1）古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； （2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：； （3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； （4）小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； （5） 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 【破解方法】它们的共同特征是都遵循着一种明确的顺序来排列．然而，它们之间也存在显著的差异：从项数的角度观察，（1）和（3）的项数是有限的，意味着它们有一个明确的起点和终点；而（2）、（4）和（5）的项数则是无限的，它们会不断地延续下去．从项的变化趋势来看，（1）中的每一项都在逐渐增大，呈现出一种递增的态势；（2）中的每一项则在逐渐减小，展现出递减的特点；（3）中的项则保持不变，没有发生任何变化；（4）中的项呈现出周期性的变化，即它们会按照一定的规律重复出现；（5）中的项则是交替变化的，即它们的大小会按照一定的顺序轮换出现． 【归纳新知】 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 知识点诠释： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【变式0-2】数列的通项公式 问题2：我们发现问题1中的（1）（2）（3）（5），项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 【破解方法】数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示． 【归纳新知】 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 知识点诠释： （1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 【变式0-3】数列与函数 问题3：在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 【破解方法】函数． 【归纳新知】 数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式． 【变式0-4】数列的递推公式与前n项和 问题4：观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 【破解方法】自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1．依此类推：． 【归纳新知】 递推公式 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如： 数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示． 数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 【变式0-5】与的关系 问题5：如果已知某数列的前n项和，如何求? 【破解方法】． 【归纳新知】 与的关系 当时； 当时， 故． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例1】根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）； （2）． 【解析】（1）当通项公式中的，2，3，4，5时， ，，，，， 数列的前5项依次为1，3，6，10，15． 图象如图所示： （2）当通项公式中的，2，3，4，5时， ，，，，． 则数列的前5项依次为1，0，，0，1．图象如图： 【变式1-1】根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…； （2）2，0，2，0，…． 【解析】（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数， 并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0， 所以它的一个通项公式为． 题型二：数列通项公式的简单应用 【例2】如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【解析】由，解得或， 因为，所以， 所以120是这个数列的项，是第10项． 【变式2-1】假设某银行的活期存款年利率为某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用表示第年到期时的存款余额，求、、及． 【解析】，， ，． 题型三：递推公式的应用 【例3】已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项． 【解析】由题意可知， ， ， ， ． 【变式3-1】根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），． 【解析】（1）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为1，3，7，15，31． （2）因为， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为3，3，3，3，3． 【变式3-2】已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出． （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项． 【解析】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 题型四：前项和公式与通项的关系 【例4】已知数列的前项和公式为，求的通项公式． 【解析】当时，； 当时，，满足， 故的通项公式为． 【变式4-1】已知数列的前项和为，且，求的通项公式． 【解析】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以． 题型五：数列单调性的判断 【例5】已知函数，设数列的通项公式为． （1）求证． （2）是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解析】（1）由题意得，因为为正整数，所以，所以； （2）是递增数列， 证明：因为，所以， 所以，所以是递增数列． 【变式5-1】已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， ∴ ，即是 小于2n+1的最小值，∴ ， 故选：C 环节四：小结提升，形成结构 问题6：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）你学到了数列的哪些主要知识？ （2）如果已知数列的前项和，你如何求出其通项公式？ （3）你认为本节课应掌握哪些数学思想方法? 【破解方法】通过复习回顾，总结和梳理本节课的核心知识点及思维方法，旨在加深学生对学习内容的理解，激发学生的认知提升，进而指导学生自主构建和完善知识体系．． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，，， 则，， ，， 故选：C． 2．已知数列满足：且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以． 故选：A 3．已知数列满足，则，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则有： 当，；当，；当，． 故选：C． 4．数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（    ） A．20 B．13 C．12 D．15 【答案】B 【解析】设级台阶的走法为， 则，（走法有每步上一级或一步二级，共2种走法）， 当时，（可以从第级台阶跨一级到达第级，或从第级台阶跨二级到达第级）． 所以：， ， ， ． 故选：B 5．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和最小时n的值是（    ） A．4或5 B．4 C．5 D．5或6 【答案】A 【解析】令，则， 又， 所以数列的前n项和最小时n的值是4或5． 故选：A． 6．已知数列的通项公式为，若数列为严格递减数列，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 数列为严格递减数列，所以对任意恒成立， 即恒成立，当时，有最大值为0， 所以， 故答案为： ． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第9页习题4．1第1、3、4题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课主要围绕数列的基本概念展开教学，旨在使学生理解数列的定义、分类以及数列中项的概念．在教学过程中，我注重引导学生通过观察、思考、讨论等方式，逐步深入理解数列的本质．首先，我通过实例引入数列的概念，使学生能够从具体情境中抽象出数列的模型．然后，我详细讲解了数列的分类，包括等差数列、等比数列等，并通过例题让学生加以巩固．同时，我也强调了数列中项的重要性，引导学生掌握求项数、通项公式等基本技能．然而，在教学过程中，我也发现部分学生对数列的概念理解不够深入，容易混淆．因此，在今后的教学中，我需要更加注重基础知识的讲解和巩固，加强学生的练习和反馈，以帮助他们更好地掌握数列的相关知识．总的来说，本节课取得了一定的教学效果，但也存在不足之处．我会认真总结经验教训，不断改进教学方法，提高教学质量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$