第12课 直角三角形-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第12课 直角三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识直角三角形，会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理. 3.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题。 4.掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01直角三角形的性质 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形的性质3：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 知识点02 直角三角形的判定 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 ( 能力拓展 )考点01 直角三角形两锐角互余 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠C＝55°，则∠ABD＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【即学即练1】若直角三角形的两个锐角之差为25°，则较小角的度数为　　． 考点02 直角三角形斜边上的中线 【典例2】如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证： （1）G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE． 【即学即练2】如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 考点03 含30度角的直角三角形 【典例3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2cm，求BC的长． 【即学即练3】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，∠1＝∠B． （1）试说明△ABC是什么三角形，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长． 考点04 直角三角形的判定 【典例4】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【即学即练4】下列说法中错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．75° C．55° D．65° 2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（　　） A．36° B．30° C．40° D．45° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 　　． 8．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　　． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，AB＝6，则AD＝　　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 　　． 11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：5：6，AB边上的中线长是2，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 12．如图，在△ABC中，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，F为线段BC上一点，FG⊥AB于点G． （1）试探索∠EDC和∠GFC的数量关系，并说明理由； （2）若∠B＝55°，求∠ACD的度数． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 题组B 能力提升练 14．△ABC的三个内角满足下列条件：①∠A：∠B：∠C＝3：4：5；②∠B+∠C＝∠A；③∠A＝2∠B＝3∠C．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．①②③ B．② C．①③ D．②③ 15．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝10cm，则AC＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 17．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（　　） A． B．2 C． D．3 18．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为　　． 19．已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：GD＝EG． 20．如图，已知△ABC，AD⊥BC交线段BC于点D，AB＝2CD，E为AB的中点，连结CE交AD于点F，连接DE，设∠BCE＝α． （1）用α的代数式分别表示∠DEC，∠BDE的度数． （2）若△AEF为等腰三角形，求α的值． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，点P为边AB上的动点，若BC＝6，则PF的取值范围是（　　） A．2≤PF≤3 B．1≤PF≤2 C．2≤PF≤4 D．3≤PF≤5 22．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 23．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB． 法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD． 法二：如图2，延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD． 你选择方法 　　 证明： 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM．求线段AM，DM，BC之间的数量关系． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 直角三角形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.进一步认识直角三角形，会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握直角三角形两个锐角互余的性质定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质定理. 3.会运用直角三角形的性质定理解决有关图形的论证计算等问题。 4.掌握直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形，会运用直角三角形的判定定理判定直角三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01直角三角形的性质 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形的性质3：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 知识点02 直角三角形的判定 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 ( 能力拓展 )考点01 直角三角形两锐角互余 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠C＝55°，则∠ABD＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【思路点拨】先由垂线定义求得∠BDC＝90°，再在△BCD中求出∠CBD＝35°，最后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD求解即可． 【解析】解：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠C＝55°， ∴∠CBD＝35°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣35°＝55°． 故选：D． 【点睛】本题考查垂线的定义，直角三角形两锐角互余，关键是由垂线定义求得∠BDC＝90°解答． 【即学即练1】若直角三角形的两个锐角之差为25°，则较小角的度数为　32.5°　． 【思路点拨】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为25°，设其中一个角为x，则另一个为90°﹣x，即可求出最小的锐角度数． 【解析】解：∵两个锐角和是90°， ∴设一个锐角为x，则另一个锐角为90°﹣x， ∵一个直角三角形两个锐角的差为25°， 得：90°﹣x﹣x＝25°， 得：x＝32.5°， ∴较小的锐角的度数是32.5°． 故答案为：32.5°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，两锐角和为90°，关键是根据两锐角的关系设出未知数，列出方程． 考点02 直角三角形斜边上的中线 【典例2】如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证： （1）G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE． 【思路点拨】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DC＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠EDB，根据三角形的外角的性质证明． 【解析】证明：（1）连接DE， ∵CE是△ABC的中线， ∴DE是△ABD的中线， ∵AD是高， ∴∠ADB＝90°，又DE是△ABD的中线， ∴DE＝AB＝BE， ∵DC＝BE， ∴DC＝DE，又DG⊥CE， ∴G是CE的中点； （2）∵DE＝BE， ∴∠B＝∠EDB， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠EDB＝2∠BCE， ∴∠B＝2∠BCE． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【即学即练2】如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得EM＝BC，DM＝BC，即可得证； （2）根据三角内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝135°，根据EM＝BM，DM＝CM，可得∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，进一步可得∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝270°，求出∠EMD的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠EDM的度数． 【解析】（1）证明：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高线， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， ∵M是BC的中点， ∴EM＝BC，DM＝BC， ∴ME＝MD； （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， ∵EM＝BM，DM＝CM， ∴∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB， ∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝135°×2＝270°， ∴∠EMD+∠DMC＝180°×2﹣270°＝90°， ∵ME＝MD， ∴∠EDM＝45°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 考点03 含30度角的直角三角形 【典例3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2cm，求BC的长． 【思路点拨】根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠B、∠BAC度数，求出∠DAC＝∠C，求出DC，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案． 【解析】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°＝∠C， ∴AD＝DC＝2cm， ∵∠BAD＝90°，∠B＝30°，AD＝2cm， ∴BD＝2AD＝4cm， ∴BC＝4cm+2cm＝6cm． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出BD和DC长． 【即学即练3】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，∠1＝∠B． （1）试说明△ABC是什么三角形，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长． 【思路点拨】（1）证明∠A＝∠BCD，再根据三角形内角和定理求得∠ACB＝90°，即可得出结论； （2）利用含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【解析】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵CD是边AB上的高线， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠1+∠A＝∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠1+∠BCD+∠A+∠B＝∠ACB+∠A+∠B＝180°， ∴∠1+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形． （2）∵∠A＝30°， ∴∠BCD＝∠A＝30°， ∵∠BDC＝90°， ∴BC＝2BD＝2×2＝4， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． 考点04 直角三角形的判定 【典例4】在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠C C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【思路点拨】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【解析】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； B、∵∠A＝∠B﹣∠C， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， 设∠A＝x， ∴∠B＝x，∠C＝x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+x＝180°， 解得x＝（）°＞90°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意； D、∵∠A＝∠B＝∠C， 设∠A＝∠B＝x， ∴∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+x+2x＝180°， 解得x＝45°， ∴∠C＝2x＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°并灵活运用． 【即学即练4】下列说法中错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断． 【解析】解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．75° C．55° D．65° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理计算即可． 【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝65°， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【思路点拨】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解析】解：如图，根据题意BC＝3米， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×3＝6（米）， ∴3+6＝9（米）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案． 【解析】解：①∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2， 设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∴5x+2x+3x＝180°， 解得：x＝18°， ∴∠A＝18°×5＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵3∠C＝2∠B＝∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝（）°， ∴△ABC为钝角三角形． ∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若点D恰好在边BC的垂直平分线上，则∠C的度数为（　　） A．36° B．30° C．40° D．45° 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C＝30°． 【解析】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上， ∴DC＝DB， ∴∠DBC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠ABD＝∠C， ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【思路点拨】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案． 【解析】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∵AD＝2， ∴BD＝2AD＝4， ∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴AD＝DC＝2， ∴BC＝BD+DC＝4+2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长． 6．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【解析】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点， ∴OP＝AB， 即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 　25°　． 【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝65°， ∴∠A＝25°， 故答案为：25°． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余． 8．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为 　30°　． 【思路点拨】根据直角三角形的两锐角互余求出∠C即可． 【解析】解：∵∠B＝90°，∠A＝2∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴3∠C＝90° ∴∠C＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB，AB＝6，则AD＝　　． 【思路点拨】利用直角三角形的特征及含30°所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝∠ACB﹣∠B＝30°， ∴， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝∠DCB﹣∠B＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的特征，熟练掌握含30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∠B＝30°，点E在BC上，且CE＝AC，则∠CDE的大小为 　75°　． 【思路点拨】证明CD＝CE，求出∠DCE＝30°，可得结论． 【解析】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AD＝DB， ∴∠DCB＝∠B＝30°， ∵AB＝2AC， ∴CA＝CD， ∵CA＝CE， ∴CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣30°）＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：5：6，AB边上的中线长是2，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 【思路点拨】根据度数比可求出此三角形为直角三角形，然后根据斜边中线的长可得出三角形的面积． 【解析】解：设∠A＝x°，则x+5x+6x＝180，x＝15． ∴∠A＝15°，∠B＝75°，∠C＝90°． 如图： CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则DA＝DC，作斜边上的高CE， 在Rt△CED中，∠CDE＝2∠A＝30°，CD＝2， 易求得CE＝1，又AB＝2DC＝4． 故所求△ABC的面积是2． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的斜边中线等于斜边一半 这个知识点，解答此题的关键是很据题意确定△ABC是直角三角形． 12．如图，在△ABC中，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，F为线段BC上一点，FG⊥AB于点G． （1）试探索∠EDC和∠GFC的数量关系，并说明理由； （2）若∠B＝55°，求∠ACD的度数． 【思路点拨】（1）先证明DE∥BC得∠EDC＝∠DCF，再证明CD∥GF得∠DCF+∠GFC＝180°，由此可得∠EDC和∠GFC的数量关系； （2）先求出∠BFG＝90°﹣∠B＝35°，根据CD∥GF得∠DCF＝∠BFG＝35°，再根据AC⊥BC可得出∠ACD的度数． 【解析】解：（1）∠EDC和∠GFC的数量关系是：∠EDC+∠GFC＝180°，理由如下： ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCF， ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥GF， ∴∠DCF+∠GFC＝180°， ∴∠EDC+∠GFC＝180°； （2）∵FG⊥AB，∠B＝55°， ∴∠BFG＝90°﹣∠B＝35°， ∵CD∥GF， ∴∠DCF＝∠BFG＝35°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACD＝90°﹣∠DCF＝55°． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，理解垂直于同一条直线的两条直线平行是解决问题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【思路点拨】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论； （2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案． 【解析】（1）证明：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°， 由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°， 在Rt△ACE中，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE＝6， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝6． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解线段垂直平分线是的点到线段两端的距离相等；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 题组B 能力提升练 14．△ABC的三个内角满足下列条件：①∠A：∠B：∠C＝3：4：5；②∠B+∠C＝∠A；③∠A＝2∠B＝3∠C．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A．①②③ B．② C．①③ D．②③ 【思路点拨】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，再分别根据已知条件求出最大角的度数即可． 【解析】解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝×180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， ②∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ③∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠A最大，∠B＝∠A，∠C＝A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A++A＝180°， 解得：∠A＝（）°， ∴△ABC不是直角三角形， 即能判定△ABC是直角三角形的是②， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的判定，能求出最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°． 15．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【思路点拨】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【解析】解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝10cm，则AC＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【思路点拨】连接AD，由垂直平分线得性质可得AD＝DB＝10cm，然后由等边对等角可得∠DAB＝∠B＝15°，再由外角的性质可得∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在Rt△ACD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC＝AD＝． 【解析】解：连接AD， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝DB＝10cm， ∴∠DAB＝∠B， ∵∠B＝15°， ∴∠DAB＝15°， ∵∠ADC是△ADB的外角， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴△ACD是Rt△， ∵∠ADC＝30°， ∴AC＝AD＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是：熟记含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及外角的性质． 17．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝6，点C，D在边OB上，若PC＝PD，CD＝2，则OC＝（　　） A． B．2 C． D．3 【思路点拨】过P作PH⊥CD，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【解析】解：过P作PH⊥CD于H， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°， ∵OP＝6， ∴OH＝OP＝3， ∵PH⊥CD，PC＝PD，CD＝2， ∴CH＝CD＝1， ∴OC＝OH﹣HC＝3﹣1＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 18．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为　40°或15°　． 【思路点拨】设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，根据两个锐角之和为90度即可求出答案． 【解析】解：①当这两个角是锐角，设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°， 根据两个锐角之和为90°可得， x+2x﹣60°＝90°， 解的x＝50°， 较小角为90°﹣50°＝40°， ②设直角三角形中一个锐角为x，则有2x﹣60＝90°， x＝75°， ∴另一个锐角为15°， 较小的角为15° 故答案为40°或15°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中两个锐角之和为90°，此题基础题． 19．已知：如图，∠BAC＝30°，G为∠BAC平分线上一点，EG∥AC，EG交AB于点E；GD⊥AC，垂足为点D．求证：GD＝EG． 【思路点拨】作辅助线GF⊥AB，根据角平分线的性质可知GF＝GD，由EG∥AC可知∠2＝∠EGA，从而推出∠3与∠BAC的关系，从而得出GE与GF的关系，进而得到GE与GD的关系． 【解析】证明：如图所示：作GF⊥AB于点F， ∵AG为∠BAC平分线，GF⊥AB，GD⊥AC， ∴∠1＝∠2，GF＝GD． ∵EG∥AC， ∴∠2＝∠EGA． ∴∠1+∠EGA＝∠1+∠2＝∠BAC． ∵∠BAC＝30°，∠3＝∠1+∠EGA， ∴∠3＝30°． ∵GF⊥AB， ∴GE＝2GF． 又∵GF＝GD， ∴GE＝2GD． 即． 【点睛】本题考查角平分线的性质角、平行线的性质和在直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，关键是正确分析题目，灵活变化最终求得结论成立． 20．如图，已知△ABC，AD⊥BC交线段BC于点D，AB＝2CD，E为AB的中点，连结CE交AD于点F，连接DE，设∠BCE＝α． （1）用α的代数式分别表示∠DEC，∠BDE的度数． （2）若△AEF为等腰三角形，求α的值． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解； （2）根据等腰三角形的性质列方程求解． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC，E为AB的中点， ∴AB＝2DE， ∵AB＝2CD， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠BCE＝α， ∴∠BDE＝∠DEC+∠BCE＝2α； （2）∵AD⊥BC，E为AB的中点， ∴DE＝BE， ∴∠B＝∠BDE＝2α， ∴∠AEF＝∠B+∠BCE＝3α，∠BAD＝90°﹣∠B＝90﹣2α， ∵∠AFE＝∠CFD＝90﹣∠BCE＝90﹣α， 当AE＝AF时，∠AEF＝∠AFE，即3α＝90°﹣α， 解得：α＝22.5°， 当AE＝FE时，∠AEF＝∠EAF，即3α＝90°﹣2α， 解得：α＝18°， 当AE＝EF时，不成立， 综上所述，α＝22.5°或18°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线及等腰三角形的性质，掌握它们的性质和三角形的外角定理是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，点P为边AB上的动点，若BC＝6，则PF的取值范围是（　　） A．2≤PF≤3 B．1≤PF≤2 C．2≤PF≤4 D．3≤PF≤5 【思路点拨】由题意知：AE平分∠CAB，求出∠CAF＝∠BAF＝∠CAB＝30°，得到∠B＝∠FAB，因此FA＝FB，由含30°角的直角三角形的性质推出CF＝BF，求出CF＝BC＝2，BF＝BC＝4，当FP⊥AB时，FP的长最小，由角平分线的性质得到PF＝FC＝2，当P与A或B重合时，PF的长最大是4，即可得到PF长的取值范围． 【解析】解：由题意知：AE平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝∠CAB， ∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠CAF＝∠BAF＝30°， ∴∠B＝∠FAB， ∴FA＝FB， ∵∠C＝90°，∠CAF＝30°， ∴CF＝AF， ∴CF＝BF， ∵BC＝6， ∴CF＝BC＝2，BF＝BC＝4， 当FP⊥AB时，FP的长最小， ∵FA平分∠ACB，FC⊥AC， ∴PF＝FC＝2， 当P与A或B重合时，PF的长最大， ∴PF＝FB＝4， ∴PF的取值范围是2≤PF≤4． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形，尺规作图，关键是求出当FP⊥AB时，FP的长，当P与A或B重合时，PF的长． 22．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 【思路点拨】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论． 【解析】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D； ∴∠ADB＝∠BEA＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝DF，BF＝EF， ∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF， ∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC， ∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°， ∴y＝﹣x+90， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 23．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB． 法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD． 法二：如图2，延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD． 你选择方法 　方法一或方法二　 证明： 【思路点拨】选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可； 选择方法二：延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD，利用SAS证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解． 【解析】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠BDC＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴CD＝AD， ∴BC＝AD＝BD， ∴BC＝AB； 选择方法二：延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°＝∠ACB， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴BA＝DA， 又∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD， ∴BC＝AB． 故答案为：方法一或方法二． 【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM．求线段AM，DM，BC之间的数量关系． 【思路点拨】根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，进而判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM＝CM，然后求出CD＝AM+DM，再等量代换即可得解． 【解析】解：BC＝AM+DM，理由如下： 连接CE， ∵CD＝CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∵∠BAC＝45°，CE⊥BD， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝BC， ∴BC＝AM+DM． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$