精品解析：福建省厦门市厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025福建厦门思明区厦门外国语学校高二上学期10月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线上的两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求斜率，再求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 所以. 故选：C. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直与平行的坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算出模． 【详解】因为向量，且， 所以解得， 则， 所以， 所以． 故选：B． 3. 在空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】． 故选：B. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出时a数值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，解得或 当时，直线，直线，此时， 当时，直线，直线，此时， 综上，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即， 当时，而，则；当，得， 所以l的倾斜角的取值范围为. 故选：D 6. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边同时平方代入可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以， 所以． 因为异面直线AC与BD所成角为，， 所以，所以. 故选：B. 7. 我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用平面与的法向量，求出直线的方向向量，再利用线面角的向量求法求出结果. 【详解】依题意，平面的方程为一个法向量为， 平面与的一个法向量为和， 设直线的一个方向向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 故选：D 8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是 B. 设点在直线上，则这条直线的方程还可以表示为 C. 若是空间向里的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用垂直关系求出判断A；求出代入变形判断B；利用空间基底的意义判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由直线与直线垂直，得，解得或，A错误； 对于B，由点在直线上，得， 原直线方程为，B正确； 对于C，由，得向量共面，C错误； 对于D，，因此向量在上的投影向量为，D正确. 故选：AC 10. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性关系确定所在的位置或区域，结合长方体的结构求点线、点面距离，根据线面角的定义求直线与平面所成角的最大正切值，求棱锥外接球的半径，进而求外接球的表面积. 【详解】A：，则，即，故在上运动， 所以到的距离为，即棱与的距离，正确； B：，则，故在面上运动， 所以，当在上时，到平面的距离最大， 而，面，面，则面， 所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错； C：，则，故在上运动， 根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，正确； D：，则，故为中点， 如图，，，    所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点， 故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R， 所以，，且， 可得，则外接球的表面积为，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量加法及向量模的计算规则求解向量的模即可. 【详解】根据题意， 根据题中的数据可知， 故答案为：. 13. 过点作直线l，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断直线的斜率存在，设直线，分别联立方程组可得、坐标，由中点公式可得的方程，解出，代入直线方程即可． 【详解】当直线l的斜率不存在时，两交点为， 不满足所截得的线段恰好被点P平分， 当直线l的斜率存在时，设直线且， 联立方程组，可得,， 同理联立方程组，可得,， 由中点坐标公式得，解得， 直线的方程为． 所以直线l的一般式方程为. 故答案为： 14. 已知实数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设直线，则的几何意义为点到直线的距离，求解即可. 【详解】设直线，设点， 则点到直线的距离为， 因为，所以，则直线的斜率为， 若直线的斜率不存在，，所以， 当时，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点． （1）求的值； （2）证明：C，E，F，G四点共面． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：，因为，， 因为不共线，所以令， 即，解得， ∴. 故C，E，F，G四点共面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量坐标，利用数量积公式即得； （2）求出，得到四点共面. 【小问1详解】 因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴. 【小问2详解】 略. 16. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线的方程为，的平分线BH所在直线的方程为． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的一般式方程； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标， （2）求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程； （3）联立方程组求出点坐标，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【小问1详解】 如图， 由点在上，设点的坐标是， 则的中点在直线上， 于是，解得，即点. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为，则有， 解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 所以直线的一般方程为， 【小问3详解】 由，解得，则点， 所以，点到直线的距离， 所以的面积. 17. 如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，AB=BC，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：四边形为菱形，，， ，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又，平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质可得平面，由 即可得证； （2）取的中点，的中点，连接、，则可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接、， 平面，平面 ，， 又四边形是菱形，=，是的中点， ，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由图可知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即 取，得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角的平面角为， 则 又，， 平面与平画所成角为. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解． 【详解】解：（1）由已知得，又， 直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为，联立得； 故所求为； （3）设，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是）， 故． 【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高． 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025福建厦门思明区厦门外国语学校高二上学期10月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是直线上的两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 16 3. 在空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是 B. 设点在直线上，则这条直线的方程还可以表示为 C. 若是空间向里的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l在y轴上的截距为3 C. 若直线l不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为 11. 在长方体中，，，点P满足：，其中、、，下列结论正确的是（ ） A. 当，时，P到的距离为 B. 当时，点到平面的距离的最大值为1 C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为________ 13. 过点作直线l，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P平分，则直线l的一般式方程为______． 14. 已知实数，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点． （1）求的值； （2）证明：C，E，F，G四点共面． 16. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线的方程为，的平分线BH所在直线的方程为． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的一般式方程； （3）求的面积． 17. 如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，AB=BC，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小. 18. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $