第08讲 整式（3个知识点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第08讲 整式（3个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点2．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点3．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 题型二、单项式的系数、次数 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）单项式的次数为（   ） A． B．4 C．5 D．6 5．（24-25七年级上·北京·阶段练习）单项式的次数是 ． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 题型三、多项式的项、项数或次数 7．（23-24七年级上·河南郑州·期末）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是 B．常数项为 C．常数项是 D．各项分别是，， 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是． 题型四、整式的判断 10．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 题型五、数字类规律探索 13．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 14．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， ；；；； ；……；第2010个数是 ． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三行数： 2，， 8，，32，，… 5，， 11，，35，，… ， 5，，17，31，65，… (1)第一行的第7个数是（  ），第二行的第7个数是（  ）； (2)三行第4个数的和是（  ），设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为（     ）、（      ），则这三行三个数的和为（         ）（用含x的式子表示）； (3)取每行的第n个数，若三个数的和为，求n的值． 题型六、图形类规律探索 16．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有（    ） A．43个 B．45个 C．51个 D．53个 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为 ． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3： (1)填写下表： 图形标号 1 2 3 正五边形个数 三角形个数 (2)按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？ (3)能否分出246个三角形？简述你的理由． 一、单选题 1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．2，2 B．-2，3 C．2，4 D．-2，2 2．下列说法中错误的是（　　） A．的次数是3 B．是二次三项式 C．的二次项系数是﹣3 D．的次数是8次 3．若是四次三项式，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 4．整式中单项式的个数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 6．关于整式的概念，下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是 C．是五次多项式 D．的系数是 7．下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．多项式是二次二项式 C．的系数是，次数是2 D．一定是负数． 8．已知一列数，，，，满足（m，n为正整数）． 例如：，，若，，则的值是（    ） A．6069 B． C． D． 9．根据图示规律，第7个图形共有（    ）个正方形？ A．49 B．85 C．126 D．140 10．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照下列从左到右的规律摆下去，第n个图形需要黑色棋子的个数可能为（　　） A．65 B．80 C．100 D．25 二、填空题 11．单项式的系数是 ． 12．在代数式，中属于整式的有 个． 13．已知，，，，…，以此类推，则的值为 ． 14．观察下列数据：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个数据是 ． 15．观察一列数3，－9，27，－81，…，请找出排列的规律，则第n个数是 16．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第5个图形中小正方形的个数是 ，第个图形中小正方形的个数是 （用含的式子表示，为正整数）． 17．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．圆周上数字a与数轴上的数2024对应，则 ． 18．按如下规律摆放五角星： （1）填写表格： 图案序号 1 2 3 4 … n 五角星个数 4 7 　　 　　 … 　　 （2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为　　； （3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？ （4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数． 三、解答题 19．已知是正整数． (1)有个整数，它们的和等于0，积等于，求证：是4的倍数； (2)若是4的倍数，求证：可以找到个整数，使得它们的和等于0，积等于． 20．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，… （1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：　 　； （2）请你找出规律，写出第n个式子　 　． （3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021． 21．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚，拼第3个图形所用两种卡片的总数为17枚，……，若按照这样的规律一直排下去． (1)第8个图形中所用两种卡片的总数为________； (2)若拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则第个图形中所用两种卡片的总数为多少？ 22．下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 23．2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数． (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________； (2)用式子表示“X”形框内五个数的和． (3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 24．学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用： （4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高： （5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 25．【问题提出】以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手： 【探究一】 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究二】 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形ABCD分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况是，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PB上（如图②）； 另一种情况是，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究三】 长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图. 【问题解决】以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【实际应用】 以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以五边形的5个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形． 26．实际问题：有支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛，四个位置可以出现来自同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？ 问题探究： 探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 不妨设两支队伍分别为．从①号位开始，我们有2种选择，即队员或队员，②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了，一共有两种不同的安排方法． 探究二：如果有三支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 不妨设三支队伍分别为．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择，即队员、队员或队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形： 第一种：若②③号位队员来自同一队伍，则②号位有2种选择，③号只有1种选择，④号位会有2中选择，此时会有种安排方法； 第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有种安排方法． 把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18，一共有18种不同的安排方法． 探究三：如果有四支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法，描述如果有四支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程） 归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍． （1）如果有支参赛队伍，①号位有　 　种队员可以选择，②号位有　 　种队员可以选择． （2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法（结果不需化简）； （3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有　 　种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法．（结果不需化简） （4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有　 　种不同的安排方法．（结果不需化简） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 整式（3个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点2．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点3．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 题型一、单项式的判断 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式是数字与字母的乘积的代数式逐个判断即可求解． 【详解】解：在所给代数式中，，，，是单项式，共4个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，，，； 整式有：，，，，，，，． 故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨； 【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 题型二、单项式的系数、次数 4．（23-24七年级上·山西大同·期中）单项式的次数为（   ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式，掌握单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解题的关键． 根据单项式的次数定义即可解答即可． 【详解】解：单项式的次数是． 故选C． 5．（24-25七年级上·北京·阶段练习）单项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查单项式的次数，单项式的次数是所有字母的指数的和，根据定义解题即可． 【详解】解：∵单项式的次数是所有字母的指数的和， ∴单项式的次数是5次． 故答案为：5． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 题型三、多项式的项、项数或次数 7．（23-24七年级上·河南郑州·期末）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是 B．常数项为 C．常数项是 D．各项分别是，， 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的有关概念，解题关键是熟练掌握多项式的项数是组成多项式的单项式的个数，次数是最高次项的次数，常数项是不含字母的单项式．根据多项式的有关概念逐一判断即可． 【详解】解：A中、有三项，最高次项为，次数是，故多项式的次数是，原说法正确，不符合题意； B中、常数项为，原说法正确，不符合题意； C中、的常数项是，原说法正确，不符合题意； D中、各项分别是，，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 【答案】 4 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定方法分别得出答案． 【详解】解：多项式的最高次项是：， 该多项式的次数是：4． 故答案为：，4． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个关于x，y的六次四项式，且常数是． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查多项式，此题是开放型题目，答案不唯一，学生可以根据条件自由发挥． 多项式中每个单项式叫做多项式的项；这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；根据多项式是六次四项式，且常数是，写出多项式即可，注意：满足这个条件的多项式有许多，因此此题答案不唯一． 【详解】解：满足条件的可为：（答案不唯一）． 题型四、整式的判断 10．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 【答案】见解析 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】根据单项式，整式和多项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有，，，5，； 多项式有，，； 整式有，，，，，，5，． 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式． 题型五、数字类规律探索 13．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 14．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， ；；；； ；……；第2010个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数字，得到第个数字的绝对值为，奇数位的数字为负，偶数位的数字为正，进行作答即可． 【详解】解：观察可知：第个数字的绝对值为，奇数位的数字为负，偶数位的数字为正， ∴第5个数为：，第2010个数是； 故答案为：，． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三行数： 2，， 8，，32，，… 5，， 11，，35，，… ， 5，，17，31，65，… (1)第一行的第7个数是（  ），第二行的第7个数是（  ）； (2)三行第4个数的和是（  ），设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为（     ）、（      ），则这三行三个数的和为（         ）（用含x的式子表示）； (3)取每行的第n个数，若三个数的和为，求n的值． 【答案】(1)128， 131 (2)，，， (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第①行每个数加上3可得第②行，从而可得出答案； （2）利用第②，③行与第①行的对应的数大小关系得出结论即可； （3）利用（1）（2）数据的规律进而得出方程求出即可． 【详解】（1）解：∵2，，8，，32，，……；① ∴，，，，… ∴第①行第7个数为：； ∵5，， 11，，35，，…② ∴，，，，，…， ∴第②行第7个数为：； （2）解：三行第4个数的和为：； ∵， 5，，17，31，65，…③， ∴，，，，… 结合（1）可得： 设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为，， ∴这三行三个数的和为； （3）解：取每行的第n个数，三个数的和为，设第一行的第n个数为x， ∴， ∴， ∵第①行第偶数个系数为负数， ∴第一行的第n个数是； ∴， 解得：． 题型六、图形类规律探索 16．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有（    ） A．43个 B．45个 C．51个 D．53个 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，根据图形的顺序和数量，确定数量关系即可求解． 【详解】解：第个图形中，有个五角星，即， 第个图形中，有个五角星，即， 第个图形中，有个五角星，即， 第个图形中，有个五角星，即， 第个图形中，五角星的个数为， 第个图形中，五角星的个数为， 第个图形中，五角星的个数为， ∴第个图形中，五角星的个数为 ∴第个图形中，五角星的个数为， 故选：C ． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为 ． 【答案】575 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据题意，分析可得第1个图形需要黑色棋子的个数为，第2个图形需要黑色棋子的个数为，第3个图形需要黑色棋子的个数为，以此类推，可得第个图形需要黑色棋子的个数是，计算可得答案． 【详解】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子个， 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子个， 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子个， 按照这样的规律摆下去， 则第个图形需要黑色棋子的个数是； 当时，， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3： (1)填写下表： 图形标号 1 2 3 正五边形个数 三角形个数 (2)按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？ (3)能否分出246个三角形？简述你的理由． 【答案】(1)第一行：1，2，3；第二行：0，5，10 (2)个 (3)不能分出246个三角形 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化类的规律探究问题，找准图形变化中的一般规律是解题关键． （1）根据每个图形直接分析出结果即可； （2）根据前三个图形总结出一般规律即可； （3）利用（2）的结论，建立方程，判断求解出的n是否为正整数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 图1，正五边形：1个，三角形：0个； 图2，正五边形：2个，三角形：5个； 图3，正五边形：3个，三角形：10个； 故答案为：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10； （2）解：由前三个图形中三角形的个数得出： 第n个图形中，三角形的个数为：个； （3）解：不能，理由如下： 要使得分出246个三角形， 即满足，其中n为正整数即可， 而上式解得，，并非正整数， ∴不能分出246个三角形． 一、单选题 1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．2，2 B．-2，3 C．2，4 D．-2，2 【答案】D 【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数进行分析即可． 【详解】单项式的系数是−2，次数是2， 故选：D． 【点睛】此题考查单项式，掌握单项式相关定义是解答本题的关键． 2．下列说法中错误的是（　　） A．的次数是3 B．是二次三项式 C．的二次项系数是﹣3 D．的次数是8次 【答案】D 【分析】根据多项式的项数、次数的定义，单项式系数、次数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的次数是3，原说法正确，故这个选项不符合题意； B、是二次三项式，原说法正确，故这个选项不符合题意； C、的二次项系数是﹣3，原说法正确，故这个选项不符合题意； D、的次数是5次，原说法错误，故这个选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查多项式的有关定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．若是四次三项式，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据多项式定义列式求解即可得到答案． 【详解】解：是四次三项式， ，且，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查多项式定义，熟记多项式的次数、多项式的项的定义是解决问题的关键． 4．整式中单项式的个数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：整式中单项式有：， 故单项式的个数是：4． 故选：C． 5．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，分别观察所给分数的分母和分子及其符号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 这列数中的第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，故这组数的第个数的符号为， 分数的分子为从开始的连续的奇数，故这组数的第个数的分子为， 分数的分母依次扩大倍，且第一个分数的分母是，故这组数的第个数的分母为， 这组数的第个数为， 故选：C． 6．关于整式的概念，下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．的次数是 C．是五次多项式 D．的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式与多项式，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键． 此题可根据单项式与多项式的概念及系数、次数问题可进行求解． 【详解】解：A、是单项式，说法正确，故符合题意； B、的次数是4，原说法错误，故不符合题意； C、是三次多项式，原说法错误，故不符合题意； D、的系数是，原说法错误，故不符合题意； 故选：A． 7．下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．多项式是二次二项式 C．的系数是，次数是2 D．一定是负数． 【答案】A 【分析】根据单项式和多项式的有关概念逐项分析即可． 【详解】解：A．如果，那么，正确； B．多项式是二次三项式，故不正确； C．的系数是，次数是3，故不正确； D．当时，，不是负数，故不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．解决本题的关键是熟练掌握单项式和多项式的概念和联系． 8．已知一列数，，，，满足（m，n为正整数）． 例如：，，若，，则的值是（    ） A．6069 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的数字型规律，根据，求出，再利用公式求出答案即可，根据题意求得是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 9．根据图示规律，第7个图形共有（    ）个正方形？ A．49 B．85 C．126 D．140 【答案】D 【分析】根据已知图形正方形的个数的变化规律可得． 【详解】解：根据已知图形可发现以规律： 图形编号 的正方形个数 的正方形个数 的正方形个数 的正方形个数 ① 1 0 0 0 ② 4 1 0 0 ③ 9 4 1 0 ④ 16 9 4 1 由此可发现：第个图形共有正方形个． ∴第7个图形共有个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，利用图形中数字变化规律得出数的变与不变是解题关键． 10．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照下列从左到右的规律摆下去，第n个图形需要黑色棋子的个数可能为（　　） A．65 B．80 C．100 D．25 【答案】B 【分析】由图可知：第1个图形需要黑色棋子的个数是2×3﹣3＝3，第2个图形需要黑色棋子的个数是3×4﹣4＝8，第3个图形需要黑色棋子的个数是4×5﹣5＝15，…按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．由此求得答案即可． 【详解】解：（1）∵第1个图形需要黑色棋子的个数是2×3﹣3＝3， 第2个图形需要黑色棋子的个数是3×4﹣4＝8， 第3个图形需要黑色棋子的个数是4×5﹣5＝15， … ∴第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n， 当n2+2n＝80时， ， =（舍去）， n是整数，符合题意， 当n2+2n等于其它数时，求得的n不是整数． 故选：B． 【点睛】此题考查图形的变化规律，首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数再减去各个顶点的重复的点数，得出规律，解决问题． 二、填空题 11．单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，掌握单项式系数的定义是解题的关键．根据单项式系数的定义：“单项式中的数字因数”，即可得出结果． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 12．在代数式，中属于整式的有 个． 【答案】4 【分析】根据单项式和多项式统称为整式即可进行解答． 【详解】解：是整式，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，解题的关键是熟练掌握整式的定义．单项式和多项式统称为整式． 13．已知，，，，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先计算，通过计算结果得到规律，利用发现的规律得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 通过计算发现三个一循环． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的运算规律是解题的关键． 14．观察下列数据：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个数据是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题．找出规律：第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数分母就是n，分子是分母的平方加1，由规律可写出第20个数． 【详解】解：将数据改写为：，，，，，…… 规律：第奇数个数是正数，偶数个数是负数，第n个数分母就是n，分子是分母的平方加1， 由规律可知，第20个数是负数，分母为20，分子为， 所以第20个数为， 故答案为：． 15．观察一列数3，－9，27，－81，…，请找出排列的规律，则第n个数是 【答案】（-1）n-1×3n． 【分析】根据前几项的特征，是3的幂的形式，奇数项为正，偶数项为负，为此各项用（-1）的幂调整为此3=（-1）1-1×31，－9=（-1）2-1×32，27=（-1）3-1×33，－81=（-1）4-1×34，…根据变形得结果得出规律即可． 【详解】解：3=（-1）1-1×31，－9=（-1）2-1×32，27=（-1）3-1×33，－81=（-1）4-1×34，…， 排列的规律为（-1）n-1×3n． 故答案为（-1）n-1×3n． 【点睛】本题考查数列规律探究，掌握数列的规律探究方法是解题关键． 16．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第5个图形中小正方形的个数是 ，第个图形中小正方形的个数是 （用含的式子表示，为正整数）． 【答案】 41 【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为；第2个图形共有小正方形的个数为；第3个图形共有小正方形的个数为；…；则第n个图形共有小正方形的个数为，进而得出答案． 【详解】解：第1个图形共有小正方形的个数为； 第2个图形共有小正方形的个数为； 第3个图形共有小正方形的个数为； …； 则第n个图形共有小正方形的个数为， 所以第5个图形共有小正方形的个数为：． 故答案为：41；． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 17．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．圆周上数字a与数轴上的数2024对应，则 ． 【答案】2 【分析】本题是一道找规律的题目，解决此题的关键是找出正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系．根据题意得出每三个数为一组，根据，得出数轴上的数2024与圆周上数字2对应，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：每三个数为一组， ∵到有个数， 又∵， ∴数轴上的数2024与圆周上数字2对应， 即， 故答案为：2． 18．按如下规律摆放五角星： （1）填写表格： 图案序号 1 2 3 4 … n 五角星个数 4 7 　　 　　 … 　　 （2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为　　； （3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？ （4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数． 【答案】（1）10，13，3n+1；（2）61；（3）不存在；（4）650 【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式为3n+1； （2）将n＝20代入3n+1解答即可； （3）令3n+1＝2021，能求得整数解就是存在，否则不存在； （4）将前20个五角星图案中，五角星的个数相加解答即可． 【详解】解：（1）观察图形规律： 第一个图形有4个五角星， 第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星， 第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星， 第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+3＝13个五角星， …………， 以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n﹣1）＝（3n+1）个五角星， 故答案为：10，13，3n+1； （2）将n＝20代入3n+1中，得3×20+1＝61（个）， 故答案为：61； （3）假设存在第n个图案，恰好含有2021个五角星． 依题意可得3n+1＝2021， 解得n＝673……1， ∵n为正整数才符合题意， ∴不存在恰好含有2021个五角星的图案． （4）前20个五角星图案中，五角星的总个数为： 4+7+10+13+……+58+61 ＝（4+61）+（7+58）+……+（31+34） ＝65+65+……+65 ＝65×10 ＝650（个）， ∴前20个五角星图案中，五角星的总个数为650个． 【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三、解答题 19．已知是正整数． (1)有个整数，它们的和等于0，积等于，求证：是4的倍数； (2)若是4的倍数，求证：可以找到个整数，使得它们的和等于0，积等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设个整数为，则，分为正奇数和为正偶数，讨论即可得证； （2）设，分两种情况：当为奇数时，当为偶数时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：设个整数为， 则， 若为正奇数，由②可知都是奇数，而奇数个奇数的和为奇数，与①式矛盾， 所以为正偶数，则中必有一个数是偶数， 由①可知，奇数的个数必定是偶数个，这样偶数的个数也是偶数个， 所以是4的倍数； （2）证明：设，当为奇数时，一个2，一个个个，满足条件； 当为偶数时，一个，一个个1，个，满足条件． 20．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，… （1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：　 　； （2）请你找出规律，写出第n个式子　 　． （3）利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021． 【答案】（1）52﹣42=9；（2）（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）10112． 【分析】（1）由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律； （2）等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子； （3）由3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律． 【详解】解：（1）依题意，得第④个算式为：52﹣42=9； 故答案为：52﹣42=9； （2）根据几个等式的规律可知，第n个式子为：（n+1）2﹣n2=2n+1； 故答案为：（n+1）2﹣n2=2n+1； （3）由（2）的规律可知， 1+3+5+7+…+2021=1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10112﹣10102） =10112． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题是解决此题的关键． 21．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚，拼第3个图形所用两种卡片的总数为17枚，……，若按照这样的规律一直排下去． (1)第8个图形中所用两种卡片的总数为________； (2)若拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则第个图形中所用两种卡片的总数为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题根据所给图形找出规律求解即可． （1）分别表示前几个图形的正方形与等边三角形的数量之和，再根据规律可得答案； （2）总结规律第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多几枚，当时，求出所用正方形卡片及等边三角形卡片的数量，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第1个图形中有正方形和等边三角形卡片（枚）， 第2个图形中有正方形和等边三角形卡片（枚）， 第3个图形中有正方形和等边三角形卡片（枚）， …， ∴第8个图形所用两种卡片的总数为（枚）． （2）由（1）归纳可得：第n个图形中有正方形和等边三角形卡片（枚）， 第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（枚）， 当时，所用正方形卡片为：（枚），所用等边三角形卡片为：（枚）， 所用两种卡片的总数为：（枚）. 22．下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)第个图形 【分析】本题考查图形规律变化，解题的关键是根据图形的变化，找到黑色正方形，白色正方形的变化规律，进行解答，即可． （1）根据上述图形，第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个；第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有；第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个，依次可知，黑色小正方形的个数依次为：，，，，；白色小正方形的个数依次为：，，，，，即可； （2）由上述图形，推出黑色小正方形和白色小正方形规律，即可； （3）由（2）可知，黑色小正方形的个数规律为：；白色小正方形的个数规律为：；则白色正方形比黑色正方形多，则，解出，即可 【详解】（1）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个， ∴黑色正方形的个数依次为：，，，，；白色正方形的个数依次为：，，，，． ∴ 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … 故答案为：，，；，，，，． （2）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个； ∴第个图形中，黑色小正方形有个；白色小正方形有个． 故答案为：；． （3）设第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个， ∴， 解得：， 答：第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个． 23．2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数． (1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________； (2)用式子表示“X”形框内五个数的和． (3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】主要考查规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果； （2）设“X”形框内中间一个数为，其余四个数分别为，再求和即可； （3）根据（2）中的代数式，结合题意列出 的方程，根据方程有无解进行解答便可． 【详解】（1）解：， 故答案为：50； （2）解：设“X”形框内中间一个数为，其余四个数分别为， 则这五个数的和为； （3）解：不存在，理由如下： ， 解得：， 则，此数不存在， 故不存在5个数的和等于120． 24．学校体育节要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型： 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：    （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，可知一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 实际应用： （4）老师为了让数学兴趣班的同学互相认识，请班上35位同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手_______次． 拓展提高： （5）往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备多少种车票：请你求出来． 【答案】（2）15；（3）；（4）595；（5）要准备30种车票 【分析】（2）根据图②求解即可； （3）根据（1）（2）发现的规律求解即可； （4）根据（1）（2）发现的规律求解即可； （5）由题意可得，中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律求解即可． 【详解】解：（2）由题意可得，（场）， 故答案为：15； （3）由（1）（2）的规律可得，校有n支足球队进行单循环比赛，则一共要安排（场） 故答案为：； （4）由题意可得，全班同学总共握手（次）， 故答案为：595； （5）由题意可得，中途经过4个车站，共6个站往返行车， 则（种）， 答：要准备30种车票． 25．【问题提出】以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手： 【探究一】 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究二】 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形ABCD分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形ABCD的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况是，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PB上（如图②）； 另一种情况是，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究三】 长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成________个互不重叠的小三角形请在图④中画出一种分割示意图. 【问题解决】以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【实际应用】 以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成________个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以五边形的5个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原五边形分割成________个互不重叠的小三角形． 【答案】【探究一】4；【探究二】6；【探究二】8；【问题解决】或写成；【实际应用】4044；【拓展延伸】 【分析】探究一：根据图形可回答； 探究二：根据图形可回答； 探究三：根据图形可回答； 问题解决：由探究活动可得规律为，进而解决问题； 实际应用：把2021代入所得规律，求值即可； 拓展延伸：由四边形的规律可得五边形的规律． 【详解】解：探究一：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点P，共5个点为顶点显然，此时可把长方形ABCD分割成4个互不重叠的小三角形． 故答案为：4； 探究二：如图，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分割成6个互不重叠的小三角形． 故答案为；6； 探究三：长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD分割成8个互不重叠的小三角形 问题解决：以长方形ABCD的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：4=2（1+1）． 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：6=2（2+1）． 以长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：8=2（3+1）． 所以，以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：2（n+1）． 实际应用：当n=2021时，以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成互不重叠的小三角形2（2021+1）=4044个． 拓展延伸：根据前面的解决问题可知：以五边形的5个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原五边形分割成互不重叠的小三角形个数为（2m+3）个． 故答案为：（2m+3） 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 26．实际问题：有支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛，四个位置可以出现来自同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？ 问题探究： 探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 不妨设两支队伍分别为．从①号位开始，我们有2种选择，即队员或队员，②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了，一共有两种不同的安排方法． 探究二：如果有三支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 不妨设三支队伍分别为．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择，即队员、队员或队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形： 第一种：若②③号位队员来自同一队伍，则②号位有2种选择，③号只有1种选择，④号位会有2中选择，此时会有种安排方法； 第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有种安排方法． 把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18，一共有18种不同的安排方法． 探究三：如果有四支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法，描述如果有四支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程） 归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？ 无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍． （1）如果有支参赛队伍，①号位有　 　种队员可以选择，②号位有　 　种队员可以选择． （2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法（结果不需化简）； （3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有　 　种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法．（结果不需化简） （4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有　 　种不同的安排方法．（结果不需化简） 【答案】探究三：48种；归纳探究：（1）；；（2）；；（3）；；；（4） 【分析】探究三：根据前面的探究方法，设为四支队伍，，①号位置有4种队员可以选择，即队员、队员或队员或 队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：第一种：②③号位队员来自同一队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队友相同，所以③号只有1种选择，④号位就会有3种选择；第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队员不同，③号位只有2种选择，那么④号位只有2种选择；把上述两种情况的结果加起来可得到结果； 归纳探究：无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍，据此可得：（1）①号位有种队员可以选择，②号位有种队员可以选择；（2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有 种选择，这样我们就有种安排方法；（3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有 种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法；（4）把（2）、（3）种情况的结果加起来即可． 【详解】解：不妨设为四支队伍，让我们运用上在的方法试试，①号位置有4种队员可以选择，即队员、队员或队员或 队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形： 第一种：②③号位队员来自同一队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队友相同，所以③号只有1种选择，④号位就会有3种选择，此时会有：种安排方法； 第二种：若②③号位队员来自不同的队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队员不同，③号位只有2种选择，那么④号位只有2种选择，此时会有种安排方法． 把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84，一共有84种不同的安排方法． 归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么有多少种不同的安排方法呢？ 无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自同一个队伍；②③号位队员来自不同的队伍． （1）如果有支参赛队伍，①号位有种队员可以选择，②号位有种队员可以选择； （2）若②③号位队员来自同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有种选择，这样我们就有种安排方法（结果不需要化简）； （3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需要化简）； （4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：种安排方法． 【点睛】本题主要考查了排列组合中的乘法原理，读懂题意，并能认真分析，然后得到结果是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$