第14讲 图形的位似（3个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第14讲 图形的位似（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2023秋•新市区校级期末）一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是　　 A．平移 B．翻折 C．旋转 D．缩小 2．（2024•市南区校级二模）如图，把图中的经过一定的变换得到△，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为 　　． 3．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，根据你的发现，点的坐标为　　． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． （3）直接写出与轴交点的坐标　　． 题型二．位似变换 4．（2024秋•历下区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知△顶点，以原点为位似中心，将△缩小后得到△，若，△的面积为3，则△的面积为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 5．（2024秋•聊城月考）如图，△和△是以点为位似中心的位似图形，若，若点坐标，则点坐标为 　　． 6．（2023秋•秦都区校级月考）如图，△与△位似，点为位似中心． （1）若△与△的相似比为，，求的长； （2）若，，求的度数． 题型三．作图-位似变换 7．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得 到△．若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 8．（2021•牡丹区三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到△，①；②△；③；④点、、三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　 　． 9．（2023秋•石狮市期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将△补画完整． 题型四、位似图形的识别 10．（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（九年级上·全国·期中）如图，，，则与 位似图形． 12．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 题型五、判断位似中心 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为 ，，，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则顶点的坐标是 （   ） A． B． C． D． 4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的周长比为（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．若与关于点位似，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，与位似，点为位似中心， 与的面积之比为，若OB＝2，则OE的长为（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 10．如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝ ． 12．ΔABO的顶点坐标分别为A (－3,3),B (3,3), O (0,0),试将ΔABO放大为ΔEFO,使ΔEFO与ΔABO的位似比为2：1，则E点的坐标为 13．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别时OA，OB，OC的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，且顶点都在格点上.在图上标出位似中心P的位置，点P的坐标是 . 15．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 16．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 _ ▲ ． 17．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 18．如图，与是位似图形， 点O是位似中心， 若，．则 ． 三、解答题 19．用直尺画出下面位似图形的位似中心． 20．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 21．如图，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE. (1)求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′； (2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B′C′D′E′. 22．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)面积是______； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出； (3)请用无刻度直尺在边上画一点，使得，并保留作图痕迹． 23．如图，与是位似图形． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为______． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比是1∶2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为______，计算四边形的周长为______． 24．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 25．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上，点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． (1)以为位似中心，在第三象限内作，使与位似，且与的相似比为，点、、的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 26．综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 图形的位似（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2023秋•新市区校级期末）一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是　　 A．平移 B．翻折 C．旋转 D．缩小 【分析】根据平移、翻折、旋转的性质得到变换后的图形与原图形全等，缩小不是全等变换，变换前后的图形不全等．由此即可得到结论． 【解答】解：三角形经过平移、翻折、旋转后，所得三角形与原三角形全等， 把一个三角形缩小后，所得三角形与原三角形不全等． 故选：． 【点评】本题考查了几何变换的类型，掌握常见的全等变换是解答本题的关键． 2．（2024•市南区校级二模）如图，把图中的经过一定的变换得到△，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为 　　． 【分析】从图中可观察出对称点，设点的坐标为，建立方程解得点坐标． 【解答】解：由图可知，与△关于点对称， 设点的坐标为， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 3．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． （1）若三角形内任意一点的坐标为，点经过这种变换后得到点，根据你的发现，点的坐标为　　． （2）若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积． （3）直接写出与轴交点的坐标　　． 【分析】（1）依据点与点关于原点对称，即可得到点的坐标； （2）依据三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位即可得到三角形，进而得出三角形的面积． （3）先求得直线解析式为，当时，，即与轴交点的坐标为． 【解答】解：（1）如图，点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：； （2）如图，△即为所求， ； （3）设直线解析式为， 把，代入，可得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了几何变换的类型，利用已知对应点坐标特点得出是解题关键．在平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等． 题型二．位似变换 4．（2024秋•历下区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知△顶点，以原点为位似中心，将△缩小后得到△，若，△的面积为3，则△的面积为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【解答】解已知△顶点，以原点为位似中心，将△缩小后得到△，若， ，△△， △△，， ， 解得， 故选：． 【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 5．（2024秋•聊城月考）如图，△和△是以点为位似中心的位似图形，若，若点坐标，则点坐标为 　　． 【分析】先通过位似的基本性质得到两个三角形的相似比，然后通过位似图形在坐标原点的同侧，把点坐标乘以相似比即可． 【解答】解：△和△是以点为位似中心的位似图形， △△且△△， 又， ， 又△△， ， △与△的相似比为， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了位似图形的对应坐标，熟练掌握位似图形的基本性质是解题关键． 6．（2023秋•秦都区校级月考）如图，△与△位似，点为位似中心． （1）若△与△的相似比为，，求的长； （2）若，，求的度数． 【分析】（1）由△与△的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 【解答】解：（1）△与△的相似比为， ， ； （2），， ． △与△位似，点为位似中心， ， △△， ． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 题型三．作图-位似变换 7．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得 到△．若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】利用我下班后的性质作出图形，可得结论． 【解答】解：如图，△，△即为所求，，． 故选：． 【点评】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 8．（2021•牡丹区三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到△，①；②△；③；④点、、三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是 　①②④　． 【分析】根据位似变换的性质一一判断即可． 【解答】解：以点为位似中心，把放大2倍得到△， ，△；；点、、三点在同一直线上， ①①②④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 9．（2023秋•石狮市期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． （1）请在方格图中画出位似中心； （2）请在方格图中将△补画完整． 【分析】（1）对应点连线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质画出图形． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）如图，△即为所求． 【点评】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 题型四、位似图形的识别 10．（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 11．（九年级上·全国·期中）如图，，，则与 位似图形． 【答案】是 【知识点】位似图形的识别 【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，因而△ADE与△ABC是位似图形． 【详解】∵DE∥BC，AD:DB=1:1， ∴△ADE∽△ABC，且每组对应点所在的直线都经过同一个点， ∴△ADE与△ABC是位似图形. 【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键. 12．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 题型五、判断位似中心 13．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断位似中心、求位似图形的对应坐标、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 14．（九年级上·全国·单元测试）如图，和是位似图形，则位似中心是 ；图中与的关系是 ． 【答案】 【知识点】判断位似中心 【分析】△OAB和△OCD是位似图形，可得其位似中心为O，进而利用角相等，可得线段之间的关系． 【详解】由题意，位似中心为O，∵△OAB和△OCD是位似图形，∴∠OAB=∠C，∴可得AB∥CD． 故答案为； 【点睛】熟练掌握位似图形的性质． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【答案】或 【知识点】判断位似中心 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上， 由题意可得，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，， 即位似中心是：； ②若点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：， 综上所述：所述位似中心为：或． 分层练习 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 2．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为， 根据题意得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为 ，，，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则顶点的坐标是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为的位似图形是，且， ，即， 故选：D． 4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴和的相似比为 ∴和的周长比为 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．若与关于点位似，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据题意求出与的相似比，根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与关于点O位似，且， ∴与的相似比为， ∵点E的坐标为， ∴点的坐标为或， 即或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键． 6．如图，与位似，点为位似中心， 与的面积之比为，若OB＝2，则OE的长为（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴EO=4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】由位似图的面积比等于位似比的平方可得答案． 【详解】∵ 即四边形和的位似比为 ∴四边形和的面积比为 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图的性质，熟记位似图的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 8．如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】解：由位似图形的画法可得：前3个图形都是△ABC的位似图形． 故选C 【点睛】此题主要考查了位似变换，解题关键是正确把握位似图形的定义． 9．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点О为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据关于原点位似图形坐标变化规律求解即可． 【详解】解：把这个三角形放大为原来的2倍，得到， 如果两个三角形在原点同侧，则点A的对应点C的坐标为， 如果两个三角形在原点异侧，则点A的对应点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点位似图形坐标变化规律，解题关键是熟记变化规律，注意分类讨论． 10．如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】先根据点和点是对应点求出位似比，再结合所在的象限即可求出点的对应点的坐标. 【详解】由点和点是对应点，可得与的相似比为1：2，结合与的位置，可得内的点的对应点的坐标为. 故选B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，①当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时.②当时，图形扩大为原来的倍；当时，图形缩小为原来的. 二、填空题 11．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，﹣6)、(﹣2，b)，则b＝ ． 【答案】4 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案． 【详解】解：∵一对对应点的坐标分别为（3，﹣6）、（﹣2，b）， ∴b＝﹣6×(﹣)＝4， 则b＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 12．ΔABO的顶点坐标分别为A (－3,3),B (3,3), O (0,0),试将ΔABO放大为ΔEFO,使ΔEFO与ΔABO的位似比为2：1，则E点的坐标为 【答案】（－6，6）或（6，－6） 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质与定义即可求解. 【详解】∵A点对应E点，A (－3,3)，原点为位似中心，相似比为2， ∴将△ABC放大，则A的对应点E的横纵坐标同时乘以2或-2， 故E的坐标为（－6，6）或（6，－6） 【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是熟知位似图形的相似性质. 13．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别时OA，OB，OC的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是 ． 【答案】4 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】先根据三角形中位线的性质得到DE=AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点， ∴DE=AB， ∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心， ∴△DEF∽△ABC， ∴， ∴△ABC的周长=2×2=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 14．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，且顶点都在格点上.在图上标出位似中心P的位置，点P的坐标是 . 【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】根据位似图形的性质解答即可. 【详解】位似中心P的位置如图所示，点P的坐标是. 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形对应点连线的交点是位似中心是解答本题的关键. 15．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，若和的面积之比是 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 16．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 _ ▲ ． 【答案】（2，0）或（-，） 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、在坐标系中画位似中心 【详解】解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b，将C（-4，2），F（-1，1）代入，得， 解得即y=-x+， 令y=0得x=2， ∴O′坐标是（2，0）； ②当位似中心O′在两个正方形之间时， 可求直线OC解析式为y=-x，直线DE解析式为y=x+1， 联立，解得， 即O′（-，）． 故本题答案为：（2，0）或（-，）． 17．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ． 【答案】 【知识点】位似图形、求两个位似图形的相似比、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方,求出三角形的相似比即可解题. 【详解】∵与是位似图形， ∴与的相似比为=2:3, ∴与的面积比为4：9, ∵， ∴=. 【点睛】本题考查了相似三角形的面积之间的关系,属于简单题,理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键. 18．如图，与是位似图形， 点O是位似中心， 若，．则 ． 【答案】18 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】由与是位似图形且由．可得两位似图形的位似比为2∶3，所以两位似图形的面积比为4∶9，又由的面积为8，得的面积为18． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握利用位似图形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 三、解答题 19．用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】画图见解析． 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 20．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 21．如图，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE. (1)求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′； (2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B′C′D′E′. 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【详解】试题分析： （1）由已知条件易得：，结合四边形B′C′D′E′和BCDE中对应顶点的连线相交于点A，即可得到两个四边形是位似图形的结论； （2）由可得，结合四边形B′C′D′E′和BCDE是位似图形即可得到：四边形B′C′D′E′和BCDE的相似比为，结合S四边形BCDE＝20，即可求得S四边形B′C′D′E′=. 试题解析： （1）∵B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE， ∴， 又∵四边形B′C′D′E′和BCDE中对应顶点的连线相交于点A， ∴四边形B′C′D′E′和BCDE是位似图形； （2）∵， ∴， 又∵四边形B′C′D′E′和BCDE是位似图形， ∴四边形B′C′D′E′和BCDE的相似比为， ∴S四边形B′C′D′E′：S四边形BCDE=9：16， 又∵S四边形BCDE＝20， ∴S四边形B′C′D′E′=. 22．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)面积是______； (2)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出； (3)请用无刻度直尺在边上画一点，使得，并保留作图痕迹． 【答案】(1)4 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】坐标与图形、两直线平行内错角相等、在坐标系中画位似图形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）利用三角形面积公式求解； （2）分别连接、、，取它们的中点得到、、； （3）构造等腰直角三角形，取格点，连接交一点，点即为所求． 【详解】（1）解：的面积． 故答案为：4； （2）如图，为所作； （3）如图，构造等腰直角三角形，取格点T，连接交一点P，点即为所求． 理由：由作图可知， 23．如图，与是位似图形． (1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为______． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比是1∶2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为______，计算四边形的周长为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）根据题意找到原点以及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系，进而求得点的坐标即可； （2）根据题意找到的中点即可画出； （3）连接交于点，则点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可，根据网格的特点以及勾股定理求得四边形的周长即可. 【详解】（1）如图， 点B的坐标为， 故答案为：； （2）如图， （3）如图， 点的坐标是， 的周长为： ， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，坐标与图形，画位似三角形，求位似中心，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 24．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【答案】(1)①②； (2)； (3)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、位似图形相关概念辨析、其他问题(轴对称综合题) 【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【详解】（1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，    是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 25．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上，点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． (1)以为位似中心，在第三象限内作，使与位似，且与的相似比为，点、、的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】(1)分别作出点、、的对应点、、，顺次连接起来即可； (2)根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：点的坐标为． 【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是理解题意，掌握位似图形的性质． 26．综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2） 【知识点】相似三角形应用举例、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，位似的性质． （1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解． （2）根据位似比为，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）①． 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②，，，， ． ． 故答案为：． （2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$