5.3 实际问题与一元一次方程（14个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第5章《一元一次方法》】 5.3 实际问题与一元一次方程 （14个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 1 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 3 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 4 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 5 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 5 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 5 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 7 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 7 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 9 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 10 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 11 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 11 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 13 考点讲练14：古代问题（一元一次方程的应用） 13 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 17 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 【举一反三练1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)若点P到点A，点B的距离之和最小，则距离之和的最小值为____________； (3)若点P到点A，点B的距离之和为8，则点P所对应的数是多少？ (4)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，点以每秒6个单位长度的速度同时从原点出发向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【举一反三练2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图, 数轴上的点A, B, C分别表示，点P是数轴上一动点． (1)若动点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，经过5秒后，点P到点A，B，C的距离之和为多少? (2)若点P先向左平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，平移后点P与点A之间的距离和点B，C之间的距离相等，则平移前点P表示的数是多少? (3)若动点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，动点N以每秒2个单位长度的速度从点C同时出发且与点M相向而行，多少秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是多少? 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【举一反三练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【举一反三练2】（24-25七年级上·云南·阶段练习）服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 【举一反三练1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）李明在超市买了4瓶矿泉水和2条毛巾，共花了22元．已知1瓶矿泉水的售价是1.5元，1条毛巾的售价是多少元？ 【举一反三练2】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）张叔叔要购买一款汽车，汽车销售公司推出两种购车方案：分期付款加价2400元；全款支付九七折优惠．张叔叔算了一下，他看中的汽车全款支付比分期付款要少付6000元．这款汽车原价是多少元？（用方程解） 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场． 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2) 若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【举一反三练1】（2024七年级上·北京·专题练习）如图，在幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，写出求x的值的过程并完成此幻方． 【举一反三练2】（2024七年级上·北京·专题练习）如下，一个三阶幻方（由9个数构成，并且横行、竖行和对角线上数的和都相等），则a的值是 ． a 7 9 5 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，． (1)（  ），（  ），（即A、B两点之间的距离）=（  ）； (2)动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒． ①若（表示P点与A点之间的距离），求t的值； ②若（即P点与原点O两点之间的距离），求t的值． 【举一反三练1】（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）【知识呈现】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作．例如：数轴上的原点为O，点P表示的数为，则线段OP的长度表示为． （1）数轴上有一点Q，且线段，则点Q表示的数是__________． 【知识拓展】数轴上分别表示数a，b的点M，N之间的距离可以表示为．例如：数轴上点M表示的数是1，点N表示的数是5，则线段． （2）数轴上有两点S，T，点S表示的数是，且，则点T表示的数是__________． 【理解应用】点A，B，O在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B表示的数是3，O为原点． （3）C为数轴上的一点，且，求点C表示的数． （4）D为数轴上的一点，且线段的和最小，请直接写出点D表示的数． 【举一反三练2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【举一反三练1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【举一反三练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆．每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达．几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？ 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量． 【举一反三练2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【举一反三练2】（22-23六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【举一反三练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明、小华、小敏三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种笔记本若干本，笔记本买来后，小明、小华分别比小敏多拿了5本和7本，最后结算时，三人要求按所得笔记本的实际数量付钱，多退少补，结果小明要付给小敏3元，那么，小华应付给小敏的钱数是（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）4点与5点之间， 时刻时钟的分针和时针在一条直线上． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读与探究． 整数和分数统称为“有理数”，为什么叫“有理数”呢?有理数的英文是“”，“”的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，“比”的古汉语接近“理”．所谓有理数，就是可以写成两个整数之比，即分数形式的数． （1）【探究】是不是有理数?①，②．由②-①，得，所以．由此得______（填“是”或“不是”）有理数． （2）【类比】把下列各数化成分数形式：①；②． （3）【应用】在中，属于非负有理数的是____________． 考点讲练14：古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 中等题真题汇编练 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）有一位工人师傅将底面直径是，高为的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是  （            ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（    ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ）． A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一个数的小数点，向左移动一位，所得到的新数比原数少27，原数是 ． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如下表，乐乐将，，，，1，3，5，7，9分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在、、、分别标上其中的一个数，则的值为 ． 9 1 c 3 8．（24-25七年级上·陕西渭南·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）小杰用小时走了千米，则小杰行走的速度是每小时 千米． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小王拿了相邻的三张卡片，且这些卡片上的数之和为342． (1)猜猜小王拿了哪三张卡片． (2)小王能否拿到相邻的三张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于86？若能，试求出卡片上的数；若不能，说明理由． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是 ； (2)运动秒时，点表示的数是 ； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (3) 根据相等关系列出方程． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 培优题真题汇编练 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 17．（24-25七年级上·全国·期末）有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 18．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，且，则的值为 ． 21．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔 分钟开出一辆电车． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足，点C表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ． 23．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 24． （24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个底面积为28平方厘米、高为10厘米的长方体玻璃容器中装有5厘米深的水，现将一个底面半径为1厘米、高为8厘米的圆柱形铁块竖直放入水中，水面将上升 厘米．（取3） 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，某校报告厅每排有20个座位，共30排．七年级或八年级学生全员出席报告时，都有剩余座位．为了更好地观看报告，老师安排学生坐在居中的位置．七年级的座位安排：第1排居中坐10人，第2排比第1排多坐2人，第3排及后面每排人数相同，都比第2排多6人，一共坐了m排（）．八年级的座位安排：第1，2，3，4排每排居中坐12人，第5排及后面每排人数相同，都比第4排多4人，一共坐了n排（）．若八年级人数比七年级人数多40人，按照上述座位安排，七年级学生有可能坐了15排吗？ 26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数是10，且两点之间的距离为15 ． (1)写出数轴上点表示的数___； (2)若数轴上有一个点到点的距离为8，则点对应的数为___； (3)动点从点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 27．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 28．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，值， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过 秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第5章《一元一次方程》】 5.3 实际问题与一元一次方程 （14个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 1 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 6 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 8 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 9 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 10 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 12 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 14 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 16 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 20 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 21 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 24 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 26 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 28 考点讲练14：古代问题（一元一次方程的应用） 31 中等题真题汇编练 33 培优题真题汇编练 41 考点讲练1：行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 【答案】(1)； (2)或； (3)同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点到点，点的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∴，， ∴，， 故点，表示的数分别为：、， 若点到点，点的距离相等，则 ， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：当在之间，（不可能有）， 当在的左侧， ， ∴， 当在的右侧， ， ∴， ∴点对应的数为或； （3）解：设经过秒后点到点，点的距离相等，此时点，，表示的数分别为： ，，， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则： ， 解得：， 当点在右侧时，此时、重合，则： ， 解得：， ∴它们同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 【举一反三练1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)若点P到点A，点B的距离之和最小，则距离之和的最小值为____________； (3)若点P到点A，点B的距离之和为8，则点P所对应的数是多少？ (4)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，点以每秒6个单位长度的速度同时从原点出发向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1 (2)4 (3)或5 (4)或 【思路点拨】此题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）根据当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点，点之间时，结合线段的长度即可求解； （3）①分两种情况讨论，当点P在A左侧时和点P在B点右侧时，分别求出x的值即可； （4）分两种情况讨论，①当点A在点B左侧两点相距3个单位时，②当点A在点B右侧时，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，点对应的数为， 故答案为：1； （2）∵点A，B对应的数分别为，3， ∴， 当点在点左侧时，点P到点A，点B的距离之和为， 当点在点右侧时，点P到点A，点B的距离之和为， 当点在点，点之间时，点P到点A，点B的距离之和为， 则此时，点P到点A，点B的距离之和最小，最小值为4， 故答案为：4； （3）设点对应的数为， ①当点P在A左侧时，， 解得：； 当点P在B点右侧时，， 解得：， ∴当点对应的数为或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8； （4）①当点A在点B左侧两点相距3个单位时，此时需要的时间为t， 则， 解得：， 则点P对应的数为； ②当点A在点B右侧两点相距3个单位时，此时需要的时间为t， 则， 所以， 解得：， 则点P对应的数为； 综上可得，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是或． 【举一反三练2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图, 数轴上的点A, B, C分别表示，点P是数轴上一动点． (1)若动点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，经过5秒后，点P到点A，B，C的距离之和为多少? (2)若点P先向左平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，平移后点P与点A之间的距离和点B，C之间的距离相等，则平移前点P表示的数是多少? (3)若动点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，动点N以每秒2个单位长度的速度从点C同时出发且与点M相向而行，多少秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是多少? 【答案】(1)点P到点A，B，C的距离之和为44 (2)平移前点P表示的数为或 (3)秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是 【思路点拨】本题主要考查数轴上的两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点距离及行程问题是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离及路程=速度×时间可进行求解； （2）设平移前点P表示的数是x，然后根据题意可列方程进行求解； （3）根据相遇路程=速度和×相遇时间及数轴上两点距离可进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：点P经过运动后所表示的数是， ∴点P到点A、B、C的距离之和为； （2）解：设平移前点P表示的数是x，由题意得： 解得：或， 即平移前点P表示的数为或； （3）解：设t秒后动点M与N重合，由题意可得： ， 解得：， ∴此时动点M所表示的数为， ∴此时该点与点B之间的距离为． 考点讲练2：配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【规范解答】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【思路点拨】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 【举一反三练2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？ (2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下： 购买的数量（盒） 不超过60或刚好60 超过60 每盒单价（元） 200 180 若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用． 【答案】(1)制作了1200盒月饼． (2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键． （1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可． 【规范解答】（1）解：设制作了盒月饼． 根据题意得， 解得． 答：制作了1200盒月饼． （2）解：当时，则购买月饼的费用为元： 当时，则购买月饼的费用为元． 考点讲练3：工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需 才能做完． 【答案】7.5 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙合作小时完成，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设甲、乙合作需x小时完成， 由题意得：， 解得：， 两人合作，要做7.5小时才能完成． 故答案为：7.5． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【答案】他们合作整理这批图书的时间是3h． 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【规范解答】解：设他们合作整理这批图书的时间是x h，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是． 【举一反三练2】（24-25七年级上·云南·阶段练习）服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 【答案】32 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设实际需要天完成，则由题意得：，再求解即可． 【规范解答】解：设实际需要天完成， 则由题意得：， 解得：， 答：实际32天完成任务． 考点讲练4：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 【答案】75 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 根据两种方式获得的利润相等建立方程，并解方程即可得到结果． 【规范解答】设这种商品的成本是x元，减价5%则每件减元，可多买 （件）． ，解得． 故答案为：75． 【举一反三练1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）李明在超市买了4瓶矿泉水和2条毛巾，共花了22元．已知1瓶矿泉水的售价是1.5元，1条毛巾的售价是多少元？ 【答案】1条毛巾的售价是8元． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程． 设1条毛巾的售价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设1条毛巾的售价是x元 根据题意得， 解得 ∴1条毛巾的售价是8元． 【举一反三练2】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）张叔叔要购买一款汽车，汽车销售公司推出两种购车方案：分期付款加价2400元；全款支付九七折优惠．张叔叔算了一下，他看中的汽车全款支付比分期付款要少付6000元．这款汽车原价是多少元？（用方程解） 【答案】120000元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这款汽车原价是x元，根据全款支付比分期付款要少付6000元列出方程即可求解． 【规范解答】解：设这款汽车原价是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这款汽车原价是120000元． 考点讲练5：比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【规范解答】设最低分做对的题目数题，则做错题， 由题意得，， 解得， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：（分）， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【规范解答】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）一支足球队参加比赛，组委会规定胜一场得3分，平一场得1分，该队开局9场保持不败，共积21分，则该队胜平了 场． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该队胜了x场，则败了场，根据开局9场保持不败，共积21分列出方程求解即可． 【规范解答】解：设该队胜了x场，则败了场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜了6场， 故答案为：6． 考点讲练6：方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【答案】人 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设此次秋游人数为人， 由题意得，， 解得， 答：此次秋游人数为人． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【规范解答】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 考点讲练7：数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据“三阶幻方”的知识分别列出关于的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【规范解答】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【举一反三练1】（2024七年级上·北京·专题练习）如图，在幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，写出求x的值的过程并完成此幻方． 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意可得， ， 解得：， ∴和为：， ∴第三行第一个数为：， 第一行第三个数为：， 第二行第三个数为：； 则可得此幻方如图， 【举一反三练2】（2024七年级上·北京·专题练习）如下，一个三阶幻方（由9个数构成，并且横行、竖行和对角线上数的和都相等），则a的值是 ． a 7 9 5 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，设第二行第二个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设第二行第二个数为x， 由题意，得：， 解得，， 则， 解得，， 故答案为：． 考点讲练8：几何问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，． (1)（  ），（  ），（即A、B两点之间的距离）=（  ）； (2)动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒． ①若（表示P点与A点之间的距离），求t的值； ②若（即P点与原点O两点之间的距离），求t的值． 【答案】(1)，14，24 (2)①6或12；②2或 【思路点拨】（1）根据绝对值和平方的非负性可得，，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）①由对应的数为， 结合，再建立方程求解即可；②由对应的数为， 结合，再建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解： ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①∵动点P从A点出发沿数轴正方向匀速移动，速度为每秒3个单位长度，P点在移动的过程中，设时间为t秒． ∴对应的数为， ∵， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴或． 【举一反三练1】（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）【知识呈现】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作．例如：数轴上的原点为O，点P表示的数为，则线段OP的长度表示为． （1）数轴上有一点Q，且线段，则点Q表示的数是__________． 【知识拓展】数轴上分别表示数a，b的点M，N之间的距离可以表示为．例如：数轴上点M表示的数是1，点N表示的数是5，则线段． （2）数轴上有两点S，T，点S表示的数是，且，则点T表示的数是__________． 【理解应用】点A，B，O在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是，点B表示的数是3，O为原点． （3）C为数轴上的一点，且，求点C表示的数． （4）D为数轴上的一点，且线段的和最小，请直接写出点D表示的数． 【答案】（1）2或；（2）0或；（3）点C表示的数是或；（4）点D表示的数是0 【思路点拨】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，一元一次方程的实际应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． （1）利用求解即可； （2）分点T在点S左边和右边两种情况列式即可求出点T表示的数； （3）设点C表示的数是m，根据列出方程进行求解即可； （4）根据题意分3种情况讨论，分别表示出线段的和，然后得到当最小时，线段的和最小，进而求解即可． 【规范解答】（1）∵数轴上的原点为O，线段， ∴Q表示的数是2或； （2）∵点S表示的数是，且， ∴当点T在点S左边时，； 当点T在点S右边时，； ∴点T表示的数是0或； （3）设点C表示的数是m， ∵ ∴ ∴或 解得或 ∴点C表示的数是或； （4）∵点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴， ∴当点D在点A左边时，； 当点D在点A和点B之间时， 当点D在点B右边时， ∴当点D在点A和点B之间时，线段的和最小，即 ∴当最小时，线段的和最小， ∴当点D表示的数为0时，线段的和最小． 【举一反三练2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M沿数轴向右移动2个单位长度，同时点N沿数轴向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图所示，在数轴上点M，N表示的有理数分别是m，n． (1)第______次按键后，点M正好到达原点； (2)第6次按键后，求m比n大多少？ (3)在按键过程中，当点M与原点O的距离为2个单位长度时，求n的值； (4)试判断点M与点N的距离能否为2024个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 【答案】(1)3； (2)m比n大18； (3)或； (4)不能；理由见解析． 【思路点拨】本题考查了数轴上的平移，解方程，有理数的加减混合运算，有理数的加减乘法混合运算，熟练掌握规律，解方程和运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得点A到原点的距离为6为单位长度，即可求解； （2）求出点m，n的值，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点M在原点的右侧时，当点M在原点的左侧时，即可求解； （4）假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵表示的点A． ∴点A到原点的距离为6为单位长度， ∵， 即第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：， ， 即第6次按键后，m比n大18； （3）解：当点M在原点的右侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 当点M在原点的左侧，且与原点O的距离为2个单位长度时，， 此时按键次数是次， 则； 综上所述，n的值为或； （4）解：点M与点N的距离不能为2024个单位长度，理由如下： 假设第x次按键后，点M与点N的距离能否为2024个单位长度，则 ， 解得：不是整数，不符合题意， 所以点M与点N的距离不能为2024个单位长度． 考点讲练9：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）某厂会计发现现金多了273.6元，经查账发现原来是一笔支出款的小数点错了一位，则这笔款是 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，设笔款是元，根据现金多了273.6元列方程即可． 【规范解答】解：设笔款是元，则现在数量为（元）， 由题意可得，， 解得， 答：这笔款是元， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 【规范解答】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 【举一反三练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆．每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达．几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？ 【答案】3小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，设小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍，表示出变化后A站和B站的车辆数，据此列方程即可． 【规范解答】解：设小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍，此时A站车辆数为辆，B站的车辆数辆， 由题意得，， 解得， 答：3小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍． 考点讲练10：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)60 (2)12.5 (3)该户居民4月份用水，5月份用水 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【规范解答】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量． 【答案】标准用电量为 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 设标准用电量为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【规范解答】设标准用电量为， 根据题意，得， 解得． 答：标准用电量为． 【举一反三练2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)2450；9050； (2) (3)元 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给报销标准列式计算即可； （2）根据所给报销标准列式计算即可； （3）设该农民当年实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：元，元， 故答案为：2450；9050； （2）解：元， ∴按照标准报销的金额为元； （3）解：设该农民当年实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：该农民当年实际医疗费为元． 考点讲练11：比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲题】（23-24七年级下·福建·期末）美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【思路点拨】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【规范解答】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 【举一反三练2】（22-23六年级上·四川宜宾·阶段练习）张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【思路点拨】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【规范解答】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 考点讲练12：日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查用字母表示数，列代数式，列方程解应用题，掌握用字母表示数，列代数式的方法，列方程解应用题方法与步骤是解题关键． 日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意逐项列方程求解，即可判断． 【规范解答】解：A、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意； B、设，则，， ∴， 解得，本选项符合题意； C、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意； D、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意． 故选：B． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【思路点拨】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 【举一反三练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 考点讲练13：其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明、小华、小敏三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种笔记本若干本，笔记本买来后，小明、小华分别比小敏多拿了5本和7本，最后结算时，三人要求按所得笔记本的实际数量付钱，多退少补，结果小明要付给小敏3元，那么，小华应付给小敏的钱数是（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用．因为出了同样的钱买某种笔记本若干本，所以三人在小敏买的本数以外还有本笔记本的钱也由三个人均摊，就是说又各出了4件的钱．小明出的钱实际上是小敏帮小明垫了本的钱数，进一步即可求出小华应付给小敏的钱数． 【规范解答】解：（本）， （本）， 设1本笔记本x元， 依题意有， 解得， （元）． 即小华应付给小敏9元． 故选C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）4点与5点之间， 时刻时钟的分针和时针在一条直线上． 【答案】4点分钟或4点分钟 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，分两种情况进行讨论，第一种是分针与时针的夹角为；第二种是时针与分针重合．根据分针转动的速度是时针的12倍进行解题． 【规范解答】解：设4点分，此时时针从零点整转过的角度为，分针转过的角度为， 当分针与时针的夹角为时，或 解得（舍去）或， 当分针与时针的夹角为重合时，， 解得 ∴当4点分或4点分时，时钟的分针和时针在一条直线上． 故答案为：4点分或4点分． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读与探究． 整数和分数统称为“有理数”，为什么叫“有理数”呢?有理数的英文是“”，“”的词根“”源于古希腊，是“比率”的意思，“比”的古汉语接近“理”．所谓有理数，就是可以写成两个整数之比，即分数形式的数． （1）【探究】是不是有理数?①，②．由②-①，得，所以．由此得______（填“是”或“不是”）有理数． （2）【类比】把下列各数化成分数形式：①；②． （3）【应用】在中，属于非负有理数的是____________． 【答案】（1）是；（2）；（3），16.2 【思路点拨】（1）根据有理数的定义可得答案； （2）根据阅读材料的知识，①可先设，方程两边都乘10，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可；②设，方程两边都乘100，然后等量代换，化为一元一次方程，解出即可； （3）同理得出，再结合非负有理数的概念进行作答即可． 本题考查解一元一次方程、有理数的概念，熟练掌握解一元一次方程的步骤及有理数的定义，如何把无限循环小数化为一元一次方程是解题关键． 【规范解答】解：（1）， 由此得：得是有理数． 故答案为：是； （2）①设， ， ， ， ， 解得， ， ②设， ， ， ， ， 解得， ； （3）设， ， ， ∴， ∴， 解得， 即， ∴在，，0，，，中，属于非负有理数的是，0，，16.2． 故答案为：，0，，16.2． 考点讲练14：古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键． 设木条长尺，根据绳子比木条长尺可得绳子长为；再根据将绳子对折再量木条，木条剩余1尺可得，最后根据绳子的长度不变列出方程即可． 【规范解答】解：设木条长尺， 根据题意可得：． 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【规范解答】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【规范解答】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 中等题真题汇编练 1．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）有一位工人师傅将底面直径是，高为的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高是  （            ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，体积问题的数量关系的运用，解答时由体积问题的数量关系建立方程是关键．设“矮胖”形圆柱的高是，根据体积问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【规范解答】解：设“矮胖”形圆柱的高是，由题意，得 ， 解得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（    ） A．200套 B．201套 C．202套 D．203套 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键． 设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可． 【规范解答】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个， 根据题意得：，解得：（人）， 所以每天最多生产的配套零件的套数为：套． 故选：A． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（    ） a 5 0 3 1 c b 4 A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，解题的关键是正确列出方程． 首先根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等分别列方程求出，，，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ）． A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【思路点拨】根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【规范解答】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得： 或找大长方形的长做相等关系得：． ∴①②都正确， 故选：C． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．18 D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设这个数为x，一个数的与2的差就是：，这个数的一半就是，根据题意列方程解出即可． 【规范解答】解：设这个数为x， 根据题意列方程得：， 去分母得， 解得：， ∴这个数是． 故选：B． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一个数的小数点，向左移动一位，所得到的新数比原数少27，原数是 ． 【答案】30 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，设原数是x，则向左移动一位后为，根据向左移动一位，所得到的新数比原数少27列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【规范解答】解：设原数是x，则向左移动一位后为， 根据题意有：， 解得：， 则原数是30， 故答案为：30． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如下表，乐乐将，，，，1，3，5，7，9分别填入九宫格内．使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在、、、分别标上其中的一个数，则的值为 ． 9 1 c 3 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，代数式求值，一元一次方程的应用，根据三个数的和相等依次列式计算求出a、b、c、d，再代入代数式中即可求解． 【规范解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴ ∴， ∴， ∴， 又 ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·陕西渭南·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，据此列出方程，求解即可获得答案． 【规范解答】解：根据题意，可得， 解得． 故答案为：4． 9．（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）小杰用小时走了千米，则小杰行走的速度是每小时 千米． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用等．根据题意利用路程速度时间列出关于的方程，即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵小杰用小时走了千米， ∴设小杰每小时走千米， ∴，即， ∴小杰行走的速度是每小时千米， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个两位数个位上的数是，十位上的数是．把与对调，新两位数比原两位数大．根据题意，可得方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大列出方程即可． 【规范解答】解：由题意得：原两位数是，新两位数是， 则， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小王拿了相邻的三张卡片，且这些卡片上的数之和为342． (1)猜猜小王拿了哪三张卡片． (2)小王能否拿到相邻的三张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于86？若能，试求出卡片上的数；若不能，说明理由． 【答案】(1)108，114，120 (2)不能拿到，理由见解析 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是正确列出方程． （1）设中间的卡片上的数为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出方程，求出，不是整数，故不能拿到． 【规范解答】（1）设中间的卡片上的数为x， 根据题意，可得， 解得， 所以卡片上三个数分别是108，114，120； （2）不能拿到， 理由如下：， 解得（不合题意） ∴不能拿到． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是 ； (2)运动秒时，点表示的数是 ； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 【答案】(1) (2)4 (3)5 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴． （1）由的长，点 表示的数及点在点左侧，可求出点表示的数； （2）利用1秒后点表示的数点表示的数点运动的速度运动时间，即可求出答案； （3）当运动时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，由点与点相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出答案． 【规范解答】（1）解：、两点间的距离为，点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点， 点表示的数为， 故答案为：； （2）运动秒时，点表示的数是， 故答案为：4； （3）设当运动时间为t秒时，点与点相遇，此时点表示的数为，点表示的数为， 依题意得：， 解得， 当点运动5秒时，点与点相遇， 故答案为：5． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 【答案】(1)标价：  售价： (2) 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，代数式，理解成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键． （1）设这件衬衫的成本是元，根据题意：标价成本价，售价标价，由此即可解决问题． （2）设这件衬衫的成本是元，根据：利润销售价成本，即可列出方程． 【规范解答】（1）解：根据题意可得： 标价为：， 售价为：； （2）根据题意可得：． 14．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)6， (2)t的值是8或4 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）设运动的时间是t秒，可得，即得，点P在数轴上表示的数是，即可作答． （2）根据题意得：，从而可得或． 【规范解答】（1）解：设运动的时间是t秒，则M表示的数是，N表示是数是， 两只蚂蚁相遇在点P时，， 解得， ∴点P在数轴上表示的数是， 故答案为：6，； （2）解：根据题意得：， ∴或， 解得或， ∴t的值是8或4． 培优题真题汇编练 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两地相隔一座山岭，某人从甲地到乙地用小时，从乙地回到甲地用小时，他往返途中上山速度是3千米/时，下山速度是4千米/时，则甲、乙两地间的山岭路程有（    ）千米． A．24 B．24.5 C．49 D．48 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时，利用时间、路程、速度并结合从乙地回到甲地用7．5小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中计算即可解答． 【规范解答】解：设从甲地到乙地上山用了x小时，则下山用了小时， 根据题意得：，解得：， ∴， ∴甲、乙两地间的山岭路程有24千米． 故选：A． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设该分派站现有快递员x人，根据“每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，”列出方程，解出即可． 【规范解答】解：设该分派站现有快递员x人，根据题意得： ， 解得：， 故选：B． 17．（24-25七年级上·全国·期末）有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【规范解答】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：，即， 解得：， 则， 则这次生意亏4元， 故选：A． 18．（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 19．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运用时间，设运用时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【规范解答】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，且，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 将与代入中计算即可求出的值． 【规范解答】解：将与代入中，得：， 解得：， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔 分钟开出一辆电车． 【答案】14 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设电车的速度为x米/分，然后根据前后两车的距离不变，利用相遇问题与追击问题列一元一次方程求出速度，然后再列代数式计算即可． 【规范解答】解：设电车的速度为x米/分， 根据题意可得：，解得：， 分钟． 故答案为：14． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足，点C表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ． 【答案】5 【思路点拨】根据得到，点C表示的数是的倒数即8．设折叠处点表示的数为x，根据折叠的性质，得，设与B重合的数为m，，解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 点C表示的数是的倒数即8． 设折叠处点表示的数为x，根据折叠的性质，得， 设与B重合的数为m，， 解得． 故答案为：5． 23．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【规范解答】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个底面积为28平方厘米、高为10厘米的长方体玻璃容器中装有5厘米深的水，现将一个底面半径为1厘米、高为8厘米的圆柱形铁块竖直放入水中，水面将上升 厘米．（取3） 【答案】/ 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，铁块高度大于水深，因此铁块不会完全沉于水中，设水面将上升x厘米，根据水的体积不变列方程，即可求解． 【规范解答】解：设水面将上升x厘米， 根据题意得：， 解得：， 水面将上升厘米． 故答案为：． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，某校报告厅每排有20个座位，共30排．七年级或八年级学生全员出席报告时，都有剩余座位．为了更好地观看报告，老师安排学生坐在居中的位置．七年级的座位安排：第1排居中坐10人，第2排比第1排多坐2人，第3排及后面每排人数相同，都比第2排多6人，一共坐了m排（）．八年级的座位安排：第1，2，3，4排每排居中坐12人，第5排及后面每排人数相同，都比第4排多4人，一共坐了n排（）．若八年级人数比七年级人数多40人，按照上述座位安排，七年级学生有可能坐了15排吗？ 【答案】七年级学生不可能坐15排 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，当七年级学生一共坐了15排时，七年级人数为：（名）．则八年级人数为：（名），据此建立方程求解即可． 【规范解答】解：当七年级学生一共坐了15排时，七年级人数为：（名）． ∴八年级人数为：（名）， ∴，解得． ∵n为正整数， ∴不符合题意， ∴七年级学生不可能坐15排． 26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数是10，且两点之间的距离为15 ． (1)写出数轴上点表示的数___； (2)若数轴上有一个点到点的距离为8，则点对应的数为___； (3)动点从点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 【答案】(1) (2)2或18 (3)点运动时追上点 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离， 掌握数轴上两点间距离和找到相等关系是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解； （2）根据两点之间的距离公式求解； （3）根据“路程差”列方程求解； 【规范解答】（1）由图得在的左边，， 故答案为： ； （2）当点C在A的左边时，， 当点C在A的右边时，， ∴点对应的数为: 或， 故答案为: 或； （3）设点运动秒时追上点， 则：， 解得：， 答：点运动秒时追上点 ． 27．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【思路点拨】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 28．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，值， ， ． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过 秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是． 【答案】(1)； (2)或 (3)①；②或；③或 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用， （1）根据绝对值的非负性可求出、的值； （2）分类讨论解方程求解； （3）①由点在点、之间，去绝对值计算即可； ②分三种情况去绝对值解方程即可； ③先求蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是的点，再列方程求解； 分类讨论和绝对值的意义及其非负性是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：或； （3）①∵点在点、之间， ∴， 故答案为：； ②当时，， 解得：； 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得：， 综上所述，为或， 故答案为：或； ③设点运动到点（表示的数是）时，蚂蚁所在的点到点、的距离之和是， 当时，， 解得：； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得：， ∴或， 解得：或， ∴当经过秒或秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$