第十五章 分式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第15章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，小于0的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，求一个数的算术平方根，零指数幂，化简绝对值等知识，先通过计算求一个数的算术平方根，零指数幂，化简绝对值，然后根据负数小于0求解即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项符合题意； 故选：D． 2．将分式中的x、y值同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小2倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 依题意分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值不变， 故选A． 3．我国雾霾天气多发，颗粒物被称为大气的元凶．是指直径小于或等于微米的颗粒物，已知1毫米微米，用科学记数法表示微米(   ) A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：1毫米微米， 1微米毫米， 微米毫米毫米， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟记一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 4．2020年在抗击“新型冠状病毒”期间，甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则根据题意列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及所设，可分别得甲、乙整理的工作效率为和，再根据甲、乙分别整理的物资的和等于这批物资，则可得方程． 【详解】由甲单独整理需要40分钟完工，则甲的工作效率为；乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则乙整理的工作效率为 根据等量关系：甲整理的物资+乙整理的物资=1 得方程： 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用，这是一个典型的工程问题应用问题，关键是清楚：无论是合作或是既有合作也有单独作，基本的等量关系是：各自完成的工作量之和为1． 5．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 【答案】D 【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 甲的工作效率是，乙的工作效率是， ∵丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， ∴一轮的工作量为：， ∴轮后剩余的工作量为：， ∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：， ∴乙还需要工作的时间为（小时）， ∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解． 6．下列代数式中，是分式的为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义，对照选项分析，分母中含有字母的是分式，分母中不含字母的是整式，对选项逐一验证即可． 【详解】根据分式的定义，分式的分母中要含有字母，A、B、C都不符合题意，故排除；D中分母含有字母，满足要求，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程求得，再根据题意可得，，再解不等式即可 【详解】解：， 等式两边同时乘得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程有解， ∴，即， ∴， 又∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 8．要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：根号下大于等于0，理解分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， 解得：且， ∵有解， ∴， 综上，且且， 故选：D． 9．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 10．若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 【详解】解：，，， ∵ ∴， 故选：D 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握负整数指数幂的性质是解题的关键．直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故答案为：． 12．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得：，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 13．若，则的值是 ． 【答案】0或-2 【分析】设已知比例的比值为k，之后分别用含有k的式子来表示题中的a、b、c、d，进一步整理，求得k值，即可求解本题． 【详解】设，则，，，． 故，． 若，则； 若，则． 【点睛】本题是比例的考查，我们在解题的时候，要逐步梳理a、b、c、d，求得比值是本题的解题关键． 14．若关于的一元一次不等式组有且仅有个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式组的解，得到，根据一元一次不等式组有且仅有个奇数解，得到，即可得到，又根据分式方程的解是整数，可得到整数的值，相加即可求解，由分式方程的解确定出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵一元一次不等式组有且仅有个奇数解， ∴这个奇数解为和， ∴， 解得， 由分式方程得，， ∵分式方程的解是整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为， 故答案为：． 15．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，根据分式方程解的情况求得的a范围和解不等式组确定的a范围，进而可求得a的整数解，求和即可求解．正确的计算是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵该分式方程的解为正数，且当时有增根， ∴，且 ∴且； 解不等式组，得：， ∵该不等式组恰好有三个整数解，即为1，2，3， ∴， 解得：， ∴，且， ∴所有满足条件的整数a为1或3， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：4． 16．若关于x的方程有增根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程的增根的含义是解本题的关键．把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边都乘，得． ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，． 故答案为：3． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，实数的混合运算． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，分子分母分解因式，约分得到最简结果即可； （2）根据算术平方根、零次幂、负整数指数幂的性质计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）先化简再求值：，其中x取不等式组的整数解中的一个值． 【答案】，-2 【分析】根据运算顺序，先通分，再约分，解不等式组后代入求值即可． 【详解】解： =   = = 解不等式组 得2≤x＜5       整数解有2，3，4 因为x不能取2和4，所以x只能取3 当x=3时，原式=-2 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，是中考的常见题型，要熟练掌握． 19．（8分）若关于x的方程无解，求a的值? 【答案】或或． 【分析】方程可化为方程，利用方程无解，求a的值． 【详解】解：方程 可化为方程， ∴−1−2x=ax+2，把1代入可得a=−5,2代入可得a=，此时方程无解； 又a=−2时方程无解， ∴a=−5或，或−2， 【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简. 20．（8分）在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 21．（8分）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天； (2)乙工程队应采取B方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算： （1）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可． （2）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：x＝， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ． ∴ ． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取B方案； 22．（10分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴可化为， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得 ①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； （2）∵ ∴（5x+1）（2x-3）＜0 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得： ①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，发现无解， 故（5x+1）（2x-3）＜0的解集为， 即分式不等式的解集． 【点睛】本题考查了解一元二次不等式和解分式不等式，根据例题总结解答方法和掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 23．（10分）阅读下面材料，并解答相应的问题 欧拉分式：欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见在分式中，就有这样一个欧拉分式： ． (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： ①计算：； ②算的值． 【答案】(1)见解析 (2)①6063；②1 【分析】（1）先通分，再化简运算即可； （2）①令a=2022，b=2021，c=2020，原式=2022+2021+2020=6063； ②原式，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：①当时，令，，， 原式； ②原式 ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，平方差公式． 24．（12分）利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料： 例题：计算的值． 解：设，则原式． 请解决下列问题： (1)计算：； (2)已知，求的值； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的化简求值的因式分解， （1）设，，将原式转化为，然后化简求值即可； （2）将转化为，然后代入计算即可； （3）设，再进行因式分解即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 若，则，， 此时分式无意义， ∴， ∴ ， ∴的值为； （3）证明：设， ， ∴， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 25．（14分）阅读下列材料并回答问题： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和． 把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分： 如：，，，…， (1)把写成两个单位分数之和______________． (2)研究真分数（a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：___________． (3)学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数可以拆分为两个单位分数的和？ 小壮在研究单位分数：，； 小壮在研究单位分数：，，，， 小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数（a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为，，即其中m，n正整数，并且小壮发现了m，n与a的关系（即用m，n表示a），并进行了严格证明．请问小壮发现的m，n与a的关系（即用m，n表示a），请你尝试证明此关系． 【答案】(1) (2)无数个，（答案不唯一） (3)，证明见解析 【分析】（1）根据两个单位分数分母的和为真分数的分母、分母的积为真分数的分母，即可求解； （2）根据题中阅读材料，得到规律即可求解； （3）解含有字母系数的分式方程，用含和的式子表示，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：还能找到无数个能使真分数可以写成两个单位分数的和． 令，则， ，即 ， 当时，， 可取， ， ，，，，，，，， ， 共计个，即； 当时，， 可取， ， ，，，，，，，，，， ， 共计个，即； 当时，， 可取， ， ，，，，，，，，，， ， 共个，即； 以此类推，有无数个这样的正整数， 故答案为：（答案不唯一）； （3）证明：， ，即， ， ，即， 是正整数， ， 答：小壮发现的m，n与a的关系是． 【点睛】本题考查分数的加减运算、解含有字母系数的分式方程，解决本题的关键是读懂阅读材料并准确寻找规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，小于0的数是（    ） A． B． C． D． 2．将分式中的x、y值同时扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小2倍 3．我国雾霾天气多发，颗粒物被称为大气的元凶．是指直径小于或等于微米的颗粒物，已知1毫米微米，用科学记数法表示微米(   ) A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米 4．2020年在抗击“新型冠状病毒”期间，甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工，则根据题意列得方程（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 6．下列代数式中，是分式的为（　　　） A． B． C． D． 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 9．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 10．若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 12．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 13．若，则的值是 ． 14．若关于的一元一次不等式组有且仅有个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 15．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 16．若关于x的方程有增根，则 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）先化简再求值：，其中x取不等式组的整数解中的一个值． 19．（8分）若关于x的方程无解，求a的值? 20．（8分）在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 21．（8分）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 22．（10分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 23．（10分）阅读下面材料，并解答相应的问题 欧拉分式：欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见在分式中，就有这样一个欧拉分式： ． (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： ①计算：； ②算的值． 24．（12分）利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料： 例题：计算的值． 解：设，则原式． 请解决下列问题： (1)计算：； (2)已知，求的值； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 25．（14分）阅读下列材料并回答问题： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和． 把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分： 如：，，，…， (1)把写成两个单位分数之和______________． (2)研究真分数（a是正整数），由上知，对于某些a的值，它可以写成两个单位分数之和，你还能找到多少个是能使真分数可以写成两个单位分数的和？请将部分的a的值写出：___________． (3)学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数可以拆分为两个单位分数的和？ 小壮在研究单位分数：，； 小壮在研究单位分数：，，，， 小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数（a是正整数），可拆分两个分母比a大的单位分数，分别设为，，即其中m，n正整数，并且小壮发现了m，n与a的关系（即用m，n表示a），并进行了严格证明．请问小壮发现的m，n与a的关系（即用m，n表示a），请你尝试证明此关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$