2.3 简谐运动的回复力和能量（举一反三）【五大题型】-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第一册）

2.3 简谐运动的回复力和能量【五大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：简谐运动的回复力 1 【题型1 简谐运动的回复力】 2 知识点2：简谐运动的能量 3 【题型2 简谐运动的能量】 4 知识点3：简谐运动的特征及判断方法 5 【题型3 判断物体是否做简谐运动】 6 【题型4 简谐运动与力学结合问题】 8 【题型5 简谐运动中功和能量问题】 10 知识点1：简谐运动的回复力 一、定义：振动物体偏离平衡位置后受到的使它回到平衡位置的力。 二、表达式：回复力的大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，表示为 。式中“－”号表示F与x反向。 三、对回复力的理解 回复力不能在受力分析中单独分析。它是根据力的作用效果命名的，可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以是某个力的分力。如下图所示： 【题型1 简谐运动的回复力】 【例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子的受力情况分析正确的是（    ） A．重力、支持力、弹簧的弹力 B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力、摩擦力 D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力 【变式1-1】如图所示，斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．滑块运动到O点时，弹簧的弹力为0 C．滑块由A向O运动过程中，弹簧弹性势能一直在减小 D．滑块由O向B运动过程中，滑块的机械能一直在增大 【变式1-2】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力 D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 【变式1-3】如图，一圆柱形木头漂浮在水中，M、O、N为木头上的三个点。当木头静止时，水面恰好过O点。用手将木头向下压，使M点到达水面，松手后，木头上下做简谐运动，上升到最高处时，N点到达水面。木头做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（   ） A．M点到达水面时，木头的速度最大 B．N点到达水面时，木头所受回复力最小 C．O点到达水面时，木头的速度最大 D．木头自下而上上升到最高处时，其速度一直在增大 知识点2：简谐运动的能量 一、定义：简谐运动过程中任意位置，系统的动能与势能之和。 二、振动系统的状态与能量的关系 1、振子的速度与动能：速度v增大，动能增大。 2、弹簧形变量与势能：弹簧形变量增大，势能 增大。 三、简谐运动的系统的能量变化规律 弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒。 1、在最大位移处，势能最大，动能为零。 2、在平衡位置处，动能最大，势能最小。 四、决定能量大小的因素 振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小。 【题型2 简谐运动的能量】 【例2】如图所示，竖直轻弹簧上端与一个质量为m的小球相连，下端固定在地面上，用力向下压小球并从静止释放，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好恢复原长，重力加速度为g，弹簧在弹性限度内，则小球在振动过程中弹簧的最大弹性势能为 ，小球在最低点时所受弹簧的弹力大小为 。 【变式2-1】如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 【变式2-2】（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 【变式2-3】（多选）如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放（不计空气阻力）并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，图乙为其振动图像。则（　　） A．整个过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．在时间内，小球从最低点向上运动的距离小于 C．在时刻，小球动能最小 D．在时刻，弹簧弹性势能最大 知识点3：简谐运动的特征及判断方法 一、特征 （1）动力学特征： ①回复力：。 ②加速度：。 （2）运动学特征：。 （3）能量特征：振动物体的机械能跟振幅有关，振幅越大，振动物体的机械能越大。 二、简谐运动的判断方法 （1）运动学方法判断（不常用） 找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动。 （2）动力学方法判断（常用） 找出回复力与位移的关系，若满足或，就可以判定此振动为简谐运动。 ①质点静止时的位置即平衡位置，规定正方向； ②在振动过程中任选一位置（偏离平衡位置的位移为x），对质点进行受力分析； ③把力沿振动方向进行分解,求出振动方向上的合力，即回复力； ④判定回复力与位移的关系是否符合。 【题型3 判断物体是否做简谐运动】 【例3】（1）两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为、，它们与一个质量为的小球组成的弹簧振子如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图2所示，弹簧劲度系数为，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【变式3-1】如图甲所示，一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面上，使其直立，另一端上下叠放着物块A、B，两物块质量分别为3m和m。当弹簧和两物块组成的系统静止时，从上方拿走物块B，物块A开始做竖直方向上的运动，如图乙所示。已知重力加速度大小为。 （1）证明：当拿走物体B后，物块A在竖直方向上做简谐运动； （2）求A做简谐运动的最大加速度和振幅； （3）求A上升到最高点时，桌面受到弹簧给的弹力大小和方向。 【变式3-2】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【变式3-3】如图所示，底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分的长度为3l，已知水的密度为，重力加速度为g，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l）后由静止释放，浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题： （1）由哪些力提供浮筒振动的回复力？ （2）浮筒是否做简谐运动？并进行证明； （3）若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变？ 【题型4 简谐运动与力学结合问题】 【例4】（多选）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为，弹簧劲度系数为，底座质量为。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（　　） A．公仔头部做简谐运动的振幅为 B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为 C．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为 【变式4-1】如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为，则以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力 D．B对C的最大弹力 【变式4-2】（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．P做简谐运动的振幅为 C．绳上最大拉力为2mg D．弹簧的最大弹性势能为 【变式4-3】如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k=100N/m，盒子A和金属圆球B质量均为m=0.5kg。将A沿斜面向上提起，使弹簧从原长伸长5cm，从静止释放盒子A，A和B一起在斜面上做简谐振动，g取10m/s2，求： （1）盒子A的振幅； （2）盒子运动到最低点时，盒子A对金属圆球B沿斜面方向的作用力大小。 【题型5 简谐运动中功和能量问题】 【例5】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【变式5-1】如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 【变式5-2】如图所示，倾角α为30°的足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有一挡板，质量为m的木块甲紧靠挡板放置，轻质弹簧一端与木块甲相连，另一端与质量为m的木块乙相连，弹簧劲度系数为k。开始时两木块均静止，用沿斜面向下的力缓慢推木块乙，到某一位置后撤去该力，将该时刻记为t=0。此后木块乙在斜面上做简谐运动，t0时刻第一次运动到最高点，此时木块甲恰要离开挡板。已知重力加速度为g，弹簧的弹性势能的表达式为 。求∶ （1） 木块乙做简谐运动的振幅A； （2） 弹簧弹性势能最大值； （3）木块乙与最高点距离为 的时刻t。 【变式5-3】如图所示，质量的物体C放置在质量的物体B上，物体B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振幅，弹簧的劲度系数为，运动过程中物体B对物体C的摩擦力的最大值恰好为最大静摩擦力（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知劲度系数为k的弹簧，形变量为x时的弹性势能，取重力加速度大小。 （1）求物体C的下表面与B的上表面间的动摩擦因数； （2）当弹簧的弹性势能与振子（物体B、C整体）的动能相等时，求此时振子的速度v； （3）已知该简谐运动的周期，求振子从平衡位置到弹簧的弹性势能与振子的动能相等所需的最短时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 简谐运动的回复力和能量【五大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：简谐运动的回复力 1 【题型1 简谐运动的回复力】 2 知识点2：简谐运动的能量 4 【题型2 简谐运动的能量】 5 知识点3：简谐运动的特征及判断方法 8 【题型3 判断物体是否做简谐运动】 9 【题型4 简谐运动与力学结合问题】 14 【题型5 简谐运动中功和能量问题】 19 知识点1：简谐运动的回复力 一、定义：振动物体偏离平衡位置后受到的使它回到平衡位置的力。 二、表达式：回复力的大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，表示为 。式中“－”号表示F与x反向。 三、对回复力的理解 回复力不能在受力分析中单独分析。它是根据力的作用效果命名的，可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以是某个力的分力。如下图所示： 【题型1 简谐运动的回复力】 【例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子的受力情况分析正确的是（    ） A．重力、支持力、弹簧的弹力 B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力、摩擦力 D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力 【答案】A 【解析】A.振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力.故选项A符合题意。 B.回复力为效果力，受力分析时不分析此力. 故选项B不符合题意。 CD.弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力.故选项CD不符合题意。 【变式1-1】如图所示，斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．滑块运动到O点时，弹簧的弹力为0 C．滑块由A向O运动过程中，弹簧弹性势能一直在减小 D．滑块由O向B运动过程中，滑块的机械能一直在增大 【答案】C 【解析】A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力3个力的作用，回复力是效果力，并非滑块受到的力，故A错误； B．滑块运动到O点时，所受合力为0，则弹簧的弹力等于重力沿斜面向下的分力，不为0，故B错误； C．滑块由A向O运动过程中，弹簧的形变量减小，弹性势能一直在减小，故C正确； D．滑块由O向B运动过程中，如果到达B点时，弹簧仍处于伸长状态，则弹力一直做正功，滑块的机械能一直在增大；如果到达B点时，弹簧处于压缩状态，则弹力先做正功后做负功，滑块的机械能先增大后减小，故D错误。 故选C。 【变式1-2】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力 D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 【答案】A 【解析】物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力的大小和方向都随时间变化。A正确，BCD错误。 故选A。 【变式1-3】如图，一圆柱形木头漂浮在水中，M、O、N为木头上的三个点。当木头静止时，水面恰好过O点。用手将木头向下压，使M点到达水面，松手后，木头上下做简谐运动，上升到最高处时，N点到达水面。木头做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（   ） A．M点到达水面时，木头的速度最大 B．N点到达水面时，木头所受回复力最小 C．O点到达水面时，木头的速度最大 D．木头自下而上上升到最高处时，其速度一直在增大 【答案】C 【解析】ABC．木头上下做简谐运动，O点为平衡位置，到达水面时木头速度最大，加速度为零；M、N点为最大位移位置，到达水面时木头速度为零，回复力最大，故C正确，AB错误； D．木头自下而上上升到最高处时，速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 知识点2：简谐运动的能量 一、定义：简谐运动过程中任意位置，系统的动能与势能之和。 二、振动系统的状态与能量的关系 1、振子的速度与动能：速度v增大，动能增大。 2、弹簧形变量与势能：弹簧形变量增大，势能 增大。 三、简谐运动的系统的能量变化规律 弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒。 1、在最大位移处，势能最大，动能为零。 2、在平衡位置处，动能最大，势能最小。 四、决定能量大小的因素 振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小。 【题型2 简谐运动的能量】 【例2】如图所示，竖直轻弹簧上端与一个质量为m的小球相连，下端固定在地面上，用力向下压小球并从静止释放，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好恢复原长，重力加速度为g，弹簧在弹性限度内，则小球在振动过程中弹簧的最大弹性势能为 ，小球在最低点时所受弹簧的弹力大小为 。 【答案】 【解析】[1][2]因小球振动到最高点时，弹簧正好处于原长状态，此时弹簧弹力等于零，小球的重力 当小球在最低点时，小球下降高度为 此时弹簧的弹性势能最大且其等于该过程小球重力势能的减少量，即 由简谐运动的对称性可知，在最低点，由 ， 解得 【变式2-1】如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 【答案】C 【解析】A．O点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在O点时受到的合外力为零，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸长状态，弹性势能大于零，A错误。 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力充当回复力，B错误。 C．在简谐运动过程中，机械能的总量不变，在AB两点时，振动物体的动能均为零，且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小，则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大，C正确。 D．振动物体从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同；从O向B运动的过程中，振动物体的速度减小，则速度和加速度方向相反，D错误。 故选C。 【变式2-2】（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 【答案】BCD 【解析】AB．以B、C、D三个小球为整体，可知初始时A、B间弹簧弹力为 若将 B、C间的细线剪断，剪断瞬间弹簧弹力保持不变，B的加速度最大，以B为对象，根据牛顿第二定律可得 B球将做简谐运动，根据对称性可知，B球在最高点的加速度为，方向竖直向下，则B球在最高点弹簧弹力大小为，方向竖直向下，弹簧处于压缩状态，此时A上方的绳子拉力刚好为0，所以A一直处于静止状态，B做简谐运动，A、B间弹簧不是始终处于拉伸状态，也有处于压缩状态，故A错误，B正确； C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，所以系统满足机械能守恒，故C正确； D．若将C、D间的弹簧剪断，剪断瞬间，以BC为整体，根据牛顿第二定律可得 设B、C保持相对静止一起做简谐运动，根据对称性可知，处于最高点时的加速度大小为，方向竖直向下；以C对象进行受力分析，可知此时绳子对C的拉力为，则B、C一直保持相对静止做简谐运动，当弹簧弹力等于B、C的总重力时，B、C的动能最大；最低点时，弹簧的伸长量为 当处于平衡位置时，弹簧的伸长量为 根据系统机械能守恒可得 联立解得C的最大动能为 故D正确。 故选BCD。 【变式2-3】（多选）如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放（不计空气阻力）并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T，图乙为其振动图像。则（　　） A．整个过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒 B．在时间内，小球从最低点向上运动的距离小于 C．在时刻，小球动能最小 D．在时刻，弹簧弹性势能最大 【答案】AB 【解析】A．系统只有重力做功，故机械能守恒，A项正确； B．小球越靠近平衡位置，速度越大，故前运动的路程小于，B项正确； C．时刻小球位于平衡位置，速度最大，动能最大，C项错误； D．时刻小球位于平衡位置，此时弹性势能不是最大，D项错误。 故选AB。 知识点3：简谐运动的特征及判断方法 一、特征 （1）动力学特征： ①回复力：。 ②加速度：。 （2）运动学特征：。 （3）能量特征：振动物体的机械能跟振幅有关，振幅越大，振动物体的机械能越大。 二、简谐运动的判断方法 （1）运动学方法判断（不常用） 找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x－t图像）是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动。 （2）动力学方法判断（常用） 找出回复力与位移的关系，若满足或，就可以判定此振动为简谐运动。 ①质点静止时的位置即平衡位置，规定正方向； ②在振动过程中任选一位置（偏离平衡位置的位移为x），对质点进行受力分析； ③把力沿振动方向进行分解,求出振动方向上的合力，即回复力； ④判定回复力与位移的关系是否符合。 【题型3 判断物体是否做简谐运动】 【例3】（1）两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为、，它们与一个质量为的小球组成的弹簧振子如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图2所示，弹簧劲度系数为，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【答案】见解析 【解析】（1）以水平向右为正方向，令 当振子离开平衡位置时，两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子向右移动的位移为，则物体受到的合力为 所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图所示 设振子的平衡位置为，向下为正方向，此时弹簧的形变量为，根据胡克定律及平衡条件有 当振子向下偏离平衡位置的位移为时，回复力（即合外力）为 解得 所以竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【变式3-1】如图甲所示，一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面上，使其直立，另一端上下叠放着物块A、B，两物块质量分别为3m和m。当弹簧和两物块组成的系统静止时，从上方拿走物块B，物块A开始做竖直方向上的运动，如图乙所示。已知重力加速度大小为。 （1）证明：当拿走物体B后，物块A在竖直方向上做简谐运动； （2）求A做简谐运动的最大加速度和振幅； （3）求A上升到最高点时，桌面受到弹簧给的弹力大小和方向。 【答案】（1）见解析；（2），；（3）竖直向下的的弹力 【解析】（1）A处于甲图中的状态时，设弹簧压缩量为 解得 设A弹簧压缩量为时，物块A上升到最大高度，有动能定理得 解得 当A的加速度为0时，设此时弹簧的压缩量为 解得 弹簧形变量在时，设弹簧距离加速度为0的点为，由牛顿第二定律得 方向指向加速度为0的点 弹簧形变量在时，设弹簧距离加速度为0的点为，由牛顿第二定律得 方向指向加速度为0的点 由以上两个结论可知，物块A以加速度为0的点为平衡位置，做简谐运动。 （2）由上题可知，当弹簧压缩量在、两位置时，物块A的加速度最大，由牛顿第二定律得 解得 由上题可知A做简谐运动的振幅 （3）A上升到最高点时，由（1）问可知，此时弹簧的压缩量为，此时弹簧弹力 弹簧对物块竖直向上的弹力，同时弹簧对桌面有竖直向下的的弹力。 【变式3-2】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）卫星P做圆周运动的向心力大小为 （2）如图 取向右为正方向，则 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【变式3-3】如图所示，底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分的长度为3l，已知水的密度为，重力加速度为g，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l）后由静止释放，浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题： （1）由哪些力提供浮筒振动的回复力？ （2）浮筒是否做简谐运动？并进行证明； （3）若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变？ 【答案】（1）浮力和重力；（2）浮筒做简谐运动，证明过程见解析；（3）不变 【解析】（1）浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力，浮力和重力提供浮筒振动的回复力。 （2）浮筒做简谐运动。 证明如下： 浮筒的平衡位置就在原来静止的位置，浮筒漂浮（静止）时由力平衡可得 现在以浮筒振动到平衡位置下方情形为例来证明，取向下为正方向，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l），其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为 回复力为 显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，同理可证，浮筒振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，分析浮筒在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，所以浮筒此时做简谐运动。 （3）简谐运动的频率由自身物理性质决定，若按压长度x值减小，自身物理性质未改变，浮筒的振动频率不会改变。 【题型4 简谐运动与力学结合问题】 【例4】（多选）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为，弹簧劲度系数为，底座质量为。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（　　） A．公仔头部做简谐运动的振幅为 B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为 C．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为 【答案】AD 【解析】A．公仔头部在最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，故此时弹簧处于伸长状态弹力大小为 对公仔头部 又 解得 选项A正确； B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度 选项B错误； C．公仔头部有最大速度时，弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，选项C错误； D．根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时 得 此时对底座受力分析 公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为，选项D正确。 故选AD。 【变式4-1】如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为，则以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力 D．B对C的最大弹力 【答案】A 【解析】AB．当弹力等于AD的重力的分力时AD处于平衡位置，由 可知，平衡位置时弹簧的形变量为 处压缩状态；当B对C弹力最小时，对B分析，则有 故弹簧此时形变量 此时弹簧处于压缩状态；故简谐运动的振幅为 故A正确，B错误； CD．当AD运动到最低点时，B对C的弹力最大；由对称性可知，此时弹簧的形变量为 此时弹力为 B对C的弹力为 故CD错误。 故选A。 【变式4-2】（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．P做简谐运动的振幅为 C．绳上最大拉力为2mg D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】BD 【解析】A．开始时将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，则在释放瞬间，由牛顿第二定律，对P、Q整体分析可得 解得 故A错误； B．根据题意可知，P、Q以及弹簧组成的连接体静态平衡时，物块P位于位置O，则可知物块P做简谐运动时的平衡位置位于O点，根据平衡条件可得 解得平衡时弹簧的伸长量为 而释放时弹簧处于原长，则可知AO间的距离为x，即可得P做简谐运动的振幅为，故B正确； C．做简谐运动的物体，加速度在振幅最大处最大，即加速度的最大值为，而绳的拉力在P运动至最右端时最大，将Q隔离分析，由牛顶第二定律有 解得 故C错误； D．当物块P运动至最右端时弹簧的弹性势能最大，此时弹簧的伸长量为，根据弹簧弹性势能的表达式 代入可得 故选BD。 【变式4-3】如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k=100N/m，盒子A和金属圆球B质量均为m=0.5kg。将A沿斜面向上提起，使弹簧从原长伸长5cm，从静止释放盒子A，A和B一起在斜面上做简谐振动，g取10m/s2，求： （1）盒子A的振幅； （2）盒子运动到最低点时，盒子A对金属圆球B沿斜面方向的作用力大小。 【答案】（1）10cm；（2）7.5N 【解析】（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，有 解得     开始释放时振子处在最大位移处，故振幅为 A=5cm+5cm=10cm （2）在最低点，沿斜面方向上振子受到的重力的分力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律有 对B受力分析，可知A对B的作用力方向向上，其大小为 ==7.5N 【题型5 简谐运动中功和能量问题】 【例5】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【答案】D 【解析】A．静止时A在y=0cm处，令此时弹簧压缩量为，则有 解得 放上B后，令对平衡位置的位移大小为，A、B在平衡位置的压缩量为，则有 ， 解得 回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，放上B后，B与A一起开始向下做简谐运动，根据对称性可知，A、B先向下做加速度减小的加速运动，后向下做加速度增大的减速运动，减速至0后，又向上做做加速度减小的加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，减速至0后回到出发点，之后，重复先前的运动过程，根据上述可以解得 根据简谐运动的对称性可知，振幅为 可知，A、B向下运动到两倍的振幅位置，即y=10cm到达最低点，但不能够保持静止，故A错误； B．结合上述可知，B与A一起保持相对静止做简谐运动，两者不会发生分离，故B错误； C．结合上述可知，A最大能运动到y=10cm处，故C错误； D．结合上述可知，当A运动到y=5cm处时，恰好处于平衡位置，此时速度最大，A的动能达到最大值，故D正确。 故选D。 【变式5-1】如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）根据物块P在套管中做简谐运动可知放手时，物块P处在最高点，离开平衡位置的位移最大，加速度也最大。由于物块P在最高处只受重力，所以物块振动的最大加速度大小 物块在平衡位置时，有 由胡克定律得振幅 （2）根据简谐运动的对称性可知物块P在最低点对平衡位置的位移大小与最高点时偏离平衡位置的位移大小相等。弹簧被压缩的最大长度为 则弹簧的最大弹力 物块P和弹簧组成的系统机械能守恒，根据简谐振动中能量的关系得物块P在最高处时速度为零，动能为零，动能最小此时总势能最大（弹性势能为零，重力势能最大）；最低点处动能也为零，总势能也最大（重力势能最小，弹性势能最大），有 【变式5-2】如图所示，倾角α为30°的足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有一挡板，质量为m的木块甲紧靠挡板放置，轻质弹簧一端与木块甲相连，另一端与质量为m的木块乙相连，弹簧劲度系数为k。开始时两木块均静止，用沿斜面向下的力缓慢推木块乙，到某一位置后撤去该力，将该时刻记为t=0。此后木块乙在斜面上做简谐运动，t0时刻第一次运动到最高点，此时木块甲恰要离开挡板。已知重力加速度为g，弹簧的弹性势能的表达式为 。求∶ （1） 木块乙做简谐运动的振幅A； （2） 弹簧弹性势能最大值； （3）木块乙与最高点距离为 的时刻t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）开始时弹簧的压缩量为 到滑块乙到达最高点时，甲恰离开挡板，则此时弹簧伸长量 则木块乙做简谐运动的振幅 （2） 物块乙在最低点时弹簧压缩量最大，此时弹簧弹性势能最大，则弹簧弹性势能最大值 （3）由题意可知，振子振动的周期 T=2t0 则振子从最低点到平衡位置的时间为 从平衡位置到距离最高点的时间满足 解得 则木块乙与最高点距离为 的时刻为 【变式5-3】如图所示，质量的物体C放置在质量的物体B上，物体B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振幅，弹簧的劲度系数为，运动过程中物体B对物体C的摩擦力的最大值恰好为最大静摩擦力（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。已知劲度系数为k的弹簧，形变量为x时的弹性势能，取重力加速度大小。 （1）求物体C的下表面与B的上表面间的动摩擦因数； （2）当弹簧的弹性势能与振子（物体B、C整体）的动能相等时，求此时振子的速度v； （3）已知该简谐运动的周期，求振子从平衡位置到弹簧的弹性势能与振子的动能相等所需的最短时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）物体B对物体C的摩擦力恰好为最大静摩擦力时，对整体根据牛顿第二定律有 对物体C根据牛顿第二定律有 解得 （2）弹簧的弹性势能与振子（物体B、C整体）的动能相等时，则 根据机械能守恒定律有 解得 （3）根据题意有 设向右为正方向，振子从平衡位置向右运动时开始计时，该振子的振动方程为 根据题意有 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$