第10讲 函数的单调性与最值（九大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第10讲 函数的单调性与最值 学习目标： 1．借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,会证明简单函数的单调性； 2．会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义； 3．理解最大值、最小值的作用和实际意义,会借助单调性求最值 重点难点： 重点：1．函数单调性及单调区间的定义； 2．用定义法证明函数单调性； 3．利用函数单调性求函数的最值 难点：1．用定义法证明函数的单调性; 2．利用函数的单调性求最值 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 考点01判断或证明函数的单调性 1．（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 3．已知函数，用单调性的定义证明在内单调递增 4．判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 5．已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 6．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 7．已知函数，，. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性并利用定义给予证明. 考点02求函数的单调区间 8．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 9．函数的单调递减区间是 . 10．函数的单调减区间为 . 11．函数，单调递减区间为 ． 12．函数的增区间为 ． 13．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 考点03已知函数的单调性求参数 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 16．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 18．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 19．若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 20．若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 21．已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 考点04利用单调性解不等式 22．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 23．若函数单调递增，求满足不等式的的取值范围为 . 24．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数. (1)用定义证明：在上是增函数； (2)若，求的取值范围 26．已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 27．已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 . 28．已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点05比较大小 29．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 30．已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 32．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 34．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 35．已知，则的大小关系是 . 考点06求函数的最值 36．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 37．函数的最大值是 ． 38．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 39．函数在区间上的最小值为，最大值为，则 40．我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 41．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 考点07根据最值求参数 42．已知函数的最小值为-1，则 . 43．已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 44．已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 46．已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 47．已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 48．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 考点08含参数的二次函数最值 49．已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 50．已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 51．已知函数，，求函数的最小值． 52．已知二次函数．若，试求的最小值． 53．已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 考点09不等式的恒成立问题 54．若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 55．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 56．若对任意，都有，则的取值范围为 . 57．定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 58．已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 59．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 60．已知二次函数． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若，对于，不等式恒成立，求实数c的取值范围． 基础试炼 一、单选题 1．下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 6．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的单调区间有3个 三、填空题 7．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 8．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 9．已知函数在上的最大值为，则实数k的值为 . 四、解答题 10．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 11．已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 12．已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 高阶突破 1．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．对于每个实数x，若函数取三个函数的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 3．（多选）已知函数，若，记，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为5 D．的最小值为3 4．（多选）如图，正方形的边长为2，E是边AD的中点，点从点出发，沿着正方形的边按的方向运动（与点和点均不重合）.设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数解析式为，则（   ） A．的定义域为 B．随着的增大而增大 C．当时， D．的最大值为2 5．（多选）已知函数，则关于函数正确的说法是（ ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 6．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 7．已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 8．已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第10讲 函数的单调性与最值 学习目标： 1．借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,会证明简单函数的单调性； 2．会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义； 3．理解最大值、最小值的作用和实际意义,会借助单调性求最值 重点难点： 重点：1．函数单调性及单调区间的定义； 2．用定义法证明函数单调性； 3．利用函数单调性求函数的最值 难点：1．用定义法证明函数的单调性; 2．利用函数的单调性求最值 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 考点01判断或证明函数的单调性 1．（多选）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（    ） A．对于任意的，当时，都有恒成立； B．对于任意的，都有恒成立； C．存在，使得成立； D．对于任意的，都有恒成立，并且对于任意的，都有也恒成立 【答案】AB 【详解】对于选项A：由题意可得当时，都有恒成立， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于选项B：因为，且时，恒成立， 可得或恒成立， 即或恒成立， 所以函数在上是增函数，故B正确； 对于选项C：不能，例如时， ，且， 但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误； 对于选项D：由选项B可知：在内单调递增， 例如如图：    满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误； 故选：AB. 2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 3．已知函数，用单调性的定义证明在内单调递增 【答案】证明见解析. 【详解】，且， 有， 因为，且， 所以，， 所以， 所以在内单调递增. 4．判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】函数在上为严格减函数，证明见解析 【详解】当时，函数在区间上为严格减函数． 证明：设， 则． 因为，，所以，，，， 所以，所以． 所以当时，函数在上为严格减函数． 5．已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）且，解得. 所以函数的解析式为. （2）证明：，且， 则 因为，所以， 又，所以， 则， 则，即，即 所以函数在上单调递增. 6．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 【答案】(1) (2)在上是增函数，证明见解析 【详解】（1）由分式性质可知，，故函数定义域为： （2）函数在上是增函数，证明如下： 设，， ， 因为，则，， 可得，即， 所以在上是增函数. 7．已知函数，，. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性并利用定义给予证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1） 由题意得，解得 ∴. （2） 在上单调递增； 证明：设， 则， 由，得，，，∴， ∴，即， 故在上单调递增. 考点02求函数的单调区间 8．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【详解】的定义域为， 由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和， 故选：D 9．函数的单调递减区间是 . 【答案】和 【详解】当或时，，对称轴为， 当时，，对称轴为， 作出的图象如图所示， 由图可知单调递减区间为， 故答案为：和    10．函数的单调减区间为 . 【答案】和 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 11．函数，单调递减区间为 ． 【答案】和 【详解】因为，所以，函数的单调递减区间为和. 故答案为：和. 12．函数的增区间为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，解得， 设， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 故答案为：. 13．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. 14．已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】， 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 考点03已知函数的单调性求参数 15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 16．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 17．已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 18．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，解得． 故答案为：. 19．若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】函数的对称轴为， 故当或时，函数在上单调， 即或， 故答案为:或. 20．若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设，显然在上递增， 要使函数在区间上是严格增函数，则，即. 故答案为： 21．已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意对任意的，都有，且， 所以，， 即对任意的，恒成立， 而，不妨设，令，则， 所以对任意的，恒成立，当且仅当， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 考点04利用单调性解不等式 22．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 23．若函数单调递增，求满足不等式的的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为单调递增，且， 所以，解得：,即. 故答案为：. 24．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则当时，即在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 又， 若，即或时，由，则， 即或，解得或， 若，即时，由， 可得，即，解得或（舍去）， 所以或，又， 所以或， 综上可得或，即. 故选：A 25．已知函数. (1)用定义证明：在上是增函数； (2)若，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）任选，且， ， 因为，则，， 则，即， 所以在上是增函数. （2）因为，若，且在上是增函数， 所以，解得：或， 故的取值范围是. 26．已知函数为R上的单调递增函数，，任意，都有，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 令，可得； 令，可得； 且不等式可化为：， 又因为函数为R上的单调递增函数，则， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 27．已知的定义域为，对任意的、，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不妨设，由可得， 所以，， 令，则，所以，函数在上单调递增， 由可得， 又因为， 由可得，则，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 28．已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，不妨设，即， 得， 即，则，即， 令，即，因此在上单调递减， 不等式中，，则有，又， 于是，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 考点05比较大小 29．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误. 故选：B 30．已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 31．已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 32．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 33．（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】函数的图象关于对称，在上单调递减，上单调递增． 由，可得， 存在，，使得，其中． 对于A，，则，所以，故A正确； 对于B，，则可能小于0，也可能属于，故的符号不确定，故B错误； 对于C，根据对称性可得，故C正确； 对于D，由于，且，所以， 又在上单调递增，所以，故D正确． 故选：ACD. 34．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 35．已知，则的大小关系是 . 【答案】 【详解】因为，， 因为，，又易知在区间上单调递减，所以， 故答案为：. 考点06求函数的最值 36．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以在区间上是减函数， 所以在上的最大值为， 故选：A 37．函数的最大值是 ． 【答案】4 【详解】当时，，此时函数单调递增，则最大值为4； 当时，，此时函数单调递减，则； 故函数的最大值为4. 故答案为：4 38．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 【答案】AC 【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误； 函数由与复合而成， 当时，单调递增，当时，单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故,又，所以，故A，C正确，D错误． 故选：AC. 39．函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 40．我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为.    故答案为：2. 41．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)， 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． （2）由（1）知在上递增， 所以，. 考点07根据最值求参数 42．已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 43．已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为函数在区间上存在最小值，所以函数不单调，且为先减再增函数， 故，由对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，则， 所以，则反向成立； 若，则，根据对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，故正向成立， 所以“”是“函数在区间上存在最小值”的充分必要条件. 故选：C. 44．已知，若是的最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为时，， 所以要使是的最小值，则， 又当时，， 当且仅当时取等号， 所以，又因为， 所以. 故答案为：C 45．已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 46．已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】当时，在单调递增，无最小值； 当时，因为在单调递增，在单调递增，则在单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当时，即时，等号成立，所以，则，符合要求. 故选：B 47．已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，无最大值， 要使函数存在最大值，则且， 即， 解得. 故答案为：. 48．已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以， 故是上的增函数. （2）当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件； 当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件；综上，或. 考点08含参数的二次函数最值 49．已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或，则或， 所以方程的解集为. （2）当时，， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当时，函数，其图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当，即时，函数在上单调递增， 则，即； 当，即时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即， 综上所述：. 50．已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 51．已知函数，，求函数的最小值． 【答案】 【详解】，．    当时，函数的图象如图1中实线所示， 函数在区间单调递减，最小值为； 当时，函数的图象如图2中实线所示， 函数在区间上单调递减，在区间单调递增，最小值为； 当时，函数的图象如图3中实线所示，函数在区间上单调递增，最小值为． 综上所述， 52．已知二次函数．若，试求的最小值． 【答案】 【详解】， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 易知函数的最小值在或处取得． 而，， 当，即时，； 当，即时，． 所以. 53．已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)设，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 则， 即， 故，解得， 故， 又，故，解得， 所以； （2）,, 对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 故时，取得最小值，故， 当，即时，当时，取得最小值， 故， 当，即时，在上单调递减， 当时，取得最小值，故 综上，. 考点09不等式的恒成立问题 54．若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】令， 由题意得：， 即，解得， 所以或. 故选：D. 55．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：对任意，不等式恒成立， 即， 即，， 令，， 则易知在单调递减， 故， 故， 故实数的取值范围是. 56．若对任意，都有，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 故只需，解得，故， 当，即时，在上单调递增， 故只需，解得，故为， 当，即时，， 故只需，解得，故， 综上，. 故答案为： 57．定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 当时，所以； 当时，则在上单调递增，所以； 综上可得； 因为对，，使得， 所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 又，， 当时，，则有，解得， 当时，，不符合题意； 当时，，则有，解得． 综上所述，可得的取值范围为． 故答案为：． 58．已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2）解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 59．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1），， ，解得， . （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 60．已知二次函数． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若，对于，不等式恒成立，求实数c的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由的解集为，得是方程的两个实根，且， 则，解得，， 不等式化为：，整理得， 解得，所以所求不等式的解集是. （2）由，得， 整理得，则，解得，即， 不等式， 依题意，，， 令， 显然函数在上都递增，则函数在上递增， 当时，，因此， 所以实数c的取值范围是. 基础试炼 一、单选题 1．下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.函数在区间和单调递增，但不是增函数，故A错误； B.中，，所以是减函数，故B错误； C.，是减区间，是增区间，故C错误； D.，函数在区间和都是增区间，并且处连续，所以函数是增函数，故D正确. 故选：D 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上满足， 所以在上单调递减， 需满足以下三个条件： （1）在上单调递减，只需； （2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且； （3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即； 因此由，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 3．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 4．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 画出的图象，如下： 故在上单调递增， 故，解得， 只需，其中， 故，解得， 此时，不包含0，符合要求. 故选：D 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【详解】解：对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误； 故选：BC． 6．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的单调区间有3个 【答案】ABD 【详解】当时，，故 ，A正确； 作出函数，的图象，可得到的图象如图：（实线部分）    函数的定义域为，B正确； 函数的值域为，故C错误； 函数的单调区间有，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 9．已知函数在上的最大值为，则实数k的值为 . 【答案】/ 【详解】函数开口向上，对称轴，区间的中点， 当时，，所以离对称轴较远，所以，解得，不符合； 当时，，所以离对称轴较远，所以，解得，符合条件.所以的值为. 故答案为： 四、解答题 10．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 11．已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是，最大值，最小值 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知，对称轴为， 所以的减区间是，增区间是， 又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 12．已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 故的值域为； （2）图象的对称轴为直线， 由题意得，即， 因为是的充分不必要条件， 所以， 则(等号不同时成立)，解得， 经检验，当或时，， 所以的取值范围为． 高阶突破 1．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 2．对于每个实数x，若函数取三个函数的最小值，则函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数取三个函数的最小值， 所以可根据图象绘出的图象， 如图： 联立，解得，的最大值是. 故选：B. 3．（多选）已知函数，若，记，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为5 D．的最小值为3 【答案】ABD 【详解】依题意，函数在上递减，在上递减，其图象如图：    当，时，， 由，得 ，且，因此，， 对于AB，，当时，， 当时，，AB正确； 对于CD，， 函数在上单调递增，当时，，无最大值，C错误，D正确. 故选：ABD 4．（多选）如图，正方形的边长为2，E是边AD的中点，点从点出发，沿着正方形的边按的方向运动（与点和点均不重合）.设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数解析式为，则（   ） A．的定义域为 B．随着的增大而增大 C．当时， D．的最大值为2 【答案】ACD 【详解】当在线段上（不与重合），此时，则； 当在线段上（不含端点、），此时， 则； 当在线段上（不与重合），此时，则； 所以，故函数的定义域为，故A正确； 函数的图象如下所示： 由图可知当时随着的增大而增大，当时随着的增大而减少，故B错误； 当时，，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）已知函数，则关于函数正确的说法是（ ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】由，要使函数有意义，则，解得， 则函数的定义域是，值域为，故A正确； 向左平移一个单位，得到，再向上平移个单位，得到， 因为函数在上为减函数，所以函数在单调递减， 函数在单调递减，故B正确； 由，知，，所以， 所以函数值域为，故C错误； 不等式即，所以，所以， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 6．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 【答案】 【详解】依题意，令，则，且， 由函数单调，得为正常数，于是，解得， 因此，所以. 故答案为：2020 7．已知函数，． (1)若过点，求解析式； (2)若． （ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为函数过点， 将点代入函数的解析式，可得，解得， 所以函数解析式为. （2）（ⅰ）由函数， 可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 要使得函数不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 当时，即时，在单调递增，所以； 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当时，即时，在单调递减，所以， 所以表达式为 8．已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$