4.1 数列的概念（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念 【考点1：数列的有关概念和分类】 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【考点4：递推公式的应用】 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【考点6：由数列的单调性求参数】 知识点01：数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 注意：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 知识点02：数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【考点1：数列的有关概念和分类】 【典例1】多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：BC 【变式1-1】由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 【答案】B 【分析】由题意可知一位自然数有3个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解. 【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 【变式1-2】将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【典例2】已知数列满足：，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为， 所以，，， ，，，，，， 可知从第6项起数列为周期为3的周期数列， 又，所以. 故选：B 【变式2-1】已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由递推公式求解即可． 【详解】依题意，得， ， 故选：A 【变式2-2】若数列满足，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定的递推公式求出数列的周期，再计算即可. 【详解】由，得，则， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 【变式2-3】已知数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 知识点03：数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【典例3】数列中，，． (1)写出数列的前项； (2)请直接写出的一个通项公式． 【变式3-1】数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式； (3)画出数列的图象． 【变式3-3】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 知识点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如： 数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示． 数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 【考点4：递推公式的应用】 【典例4】已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【变式4-1】已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(     ) A．2020 B．2021 C．59 D．60 【变式4-2】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（    ） A．99 B．131 C．139 D．141 【变式4-3】多选题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【典例5】已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【变式5-1】已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【变式5-2】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【变式5-3】在数列中,. (1)求; (2)设,求数列的前项和. 知识点五、数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式． 【方法技巧与总结】 1、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 2、求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【考点6：由数列的单调性求参数】 【典例6】已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知数列满足：，（，），数列是递增数列，则实数的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式6-4】多选题已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（   ） A．2 B． C． D．3 一、单选题 1．已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 2．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 3．数列的通项公式可能是（      ） A． B． C． D． 4．数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 5．已知数列中， ，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6．在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 7．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．512 B．514 C．513 D．515 8．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 9．已知数列的通项公式为，则（    ） A．13 B．14 C．30 D．49 10．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）           图一                 图二                 图三 A． B． C． D． 11．在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 二、填空题 12．数列，，，，…的一个通项公式是 ． 13．已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 14．已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 15．若数列的前项和为，且，则 ． 16．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 数列的概念 【考点1：数列的有关概念和分类】 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【考点4：递推公式的应用】 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【考点6：由数列的单调性求参数】 知识点01：数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 注意：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 知识点02：数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 【考点1：数列的有关概念和分类】 【典例1】多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：BC 【变式1-1】由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（    ） A．34 B．33 C．32 D．30 【答案】B 【分析】由题意可知一位自然数有3个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解. 【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 【变式1-2】将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【典例2】已知数列满足：，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为， 所以，，， ，，，，，， 可知从第6项起数列为周期为3的周期数列， 又，所以. 故选：B 【变式2-1】已知数列满足，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由递推公式求解即可． 【详解】依题意，得， ， 故选：A 【变式2-2】若数列满足，，，则 . 【答案】2 【分析】根据给定的递推公式求出数列的周期，再计算即可. 【详解】由，得，则， 因此数列是以4为周期的周期数列， 所以. 故答案为：2 【变式2-3】已知数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 知识点03：数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的． 如数列：1，0，1，0，1，0，… 它的通项公式可以是，也可以是． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【典例3】数列中，，． (1)写出数列的前项； (2)请直接写出的一个通项公式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由题中等式可得，结合可写出数列的前项的值； （2）将数列的前项进行改写，可得出数列的一个通项公式. 【详解】（1）解：由可得， 因为，则，， . （2）解：因为，，，. 所以，数列的一个通项公式为. 【变式3-1】数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 【变式3-2】已知数列{an}中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式； (3)画出数列的图象． 【答案】(1)1，，，， (2) (3)图见解析 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）根据前5项猜想； （3）画出点集即可. 【详解】（1），， ，，. （2）猜想：. 下面证明其通项为，，显然，则， 则， 累乘得，所以对也适合，则. （3）图象如图所示： 【变式3-3】已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）变形得到，得到数列是常数列，根据求出通项； （2）变形得到，裂项相消法求和，得到答案. 【详解】（1）由，得， 所以．所以数列是常数列． 又，所以．所以． （2）因为， 所以数列的前n项和 ． 知识点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 递推公式也是给出数列的一种方法．如： 数列：，1，5，9，13，…， 可用递推公式：，表示． 数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…， 可用递推公式：，，表示． 【考点4：递推公式的应用】 【典例4】已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少，此时昆虫的长度记为；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定之间的关系以及与的关系即可得所求. 【详解】由题意可知， ， ， ， 所以. 故选：C. 【变式4-1】已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(     ) A．2020 B．2021 C．59 D．60 【答案】D 【分析】根据数列递推式，将依次往后递推，即可得其结果为，即可求得答案. 【详解】由，得 ，因此k=60, 故选：D 【变式4-2】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（    ） A．99 B．131 C．139 D．141 【答案】D 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解. 【详解】设该高阶等差数列的第8项为， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：    由图可得，则. 故选：D 【变式4-3】多选题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】对于A：直接由递推公式写出数列的前6项，即可判断； 对于B：直接求出数列的前7项的和； 对于C：由递推关系直接求解； 对于D：由，直接转化，即可判断 【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确. 对于B：，故B正确. 对于C：由，，，…，，可得，故C正确. 对于D：斐波那契数列总有，则，故D正确. 故选：ABCD 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【典例5】已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【答案】(1) (2)151 【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式； （2）由直接求数列前6项和． 【详解】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 【变式5-1】已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别令代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，令，则， 令，则， 令，则， 所以. （2）因为， 当时，， 当时，， 且也满足上式， 所以. 【变式5-2】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项法可求得. 【详解】（1）解：当时，， 当且时，， 不满足， 综上所述，. （2）解：因为， 所以，， 因此， . 【变式5-3】在数列中,. (1)求; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为,, 所以, 又, 所以. 因为也满足, 所以. （2）因为, 所以, 即. 知识点五、数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式． 【方法技巧与总结】 1、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 2、求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【考点6：由数列的单调性求参数】 【典例6】已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 由于和均为单调函数， 故，解得. 故选：C 【变式6-1】数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得，再根据当时，，，可求得范围. 【详解】因为， 则， 两式相减得， 因为数列是递增数列， 所以当时，，解得. 当时，， 所以，解得. 综上. 故选：B. 【变式6-2】已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【详解】因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有， 即，化简得， 所以对于任意的都成立，因为，所以. 故选：A 【变式6-3】已知数列满足：，（，），数列是递增数列，则实数的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案. 【详解】因为，，且为递增数列， 所以，即，解得， 结合选项可知符合题意， 故选：C. 【变式6-4】多选题已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】运用数列的单调性列式求解即可. 【详解】因为，，是递增数列， 所以必有， 即：， 解得：. 故选：BC. 一、单选题 1．已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第19项 【答案】A 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 2．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 3．数列的通项公式可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前4项数据对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】对于A，若，则，不满足题意； 对于B，前四项均满足题意； 对于C，若，第一项，不满足题意； 对于D，若，第二项，，不满足题意； 故选：B 4．数列中，，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到数列的周期性，结合，即可求解. 【详解】由数列中，， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期性循环出现， 所以. 故选：A. 5．已知数列中， ，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数列递推式推理得到，知数列周期为3，利用周期性易求得. 【详解】由可得①， 当时，②， 将②式代入①式可得，，即， 即数列的项的周期为，故. 故选：A. 6．在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 【答案】D 【分析】利用给定的递推公式，依次计算即得结果. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 7．已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．512 B．514 C．513 D．515 【答案】B 【分析】由，直接计算即可. 【详解】由题意， ，则. 故选：B． 8．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据递推式求出数列前几项，得到数列为周期数列，然后可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，，，， 故是周期为2的数列， 所以. 故选：D 9．已知数列的通项公式为，则（    ） A．13 B．14 C．30 D．49 【答案】C 【分析】由通项公式分别求出即可得. 【详解】由， 得，， 所以. 故选：C. 10．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）           图一                 图二                 图三 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“勾股树”的规律依次类推求解. 【详解】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2， 第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3， 第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4， … 第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为， 故选：D 11．在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 【答案】B 【分析】根据所给数列的部分项归纳数列通项公式即可得解. 【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为， 所以. 故选：B 二、填空题 12．数列，，，，…的一个通项公式是 ． 【答案】（n为正整数） 【分析】利用观察法找出数列的规律即可得解. 【详解】把1写成的形式，观察分母发现是以3为开始的奇数列， 再观察分子中各数，可以发现：，且各项正负交替， 则，，，，…可以写成： 所以数列的通项公式为. 故答案为：（n为正整数）. 13．已知数列的前n项和为，且，则数列通项公式 ． 【答案】 【分析】利用结合已知条件求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为不符合上式， 所以. 故答案为： 14．已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案． 【详解】根据题意，数列的前5项依次为，即， 则的一个通项公式为， 故答案为： 15．若数列的前项和为，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，从而可得答案. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以． 故答案为： 16．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则， 解得. 故答案为：. 三、解答题 17．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. （2）由（1）知，， 所以 . 18．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由，① 得，② ①-②得，即， 经检验，也符合， 所以； （2）由题意得， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$