4.2 等差数列（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列 【题型1等差数列的判断】 【题型2等差数列前n项和的基本量计算】 【题型3利用等差中项运算】 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型5等差数例前n项和的性质】 【题型6求等差数列的前n项和】 【题型7等差数列前n项和的最值】 知识点1等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 4.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 熟记： 1.等差数列的函数的关系 (1)等差数列{)的单调性:当d>0时,递增数列;当d<0 时,()是递减数列;当小时,()是常数列. (2)在等差数列{}中,>0,d<0,则韩最大值;若 <0,d>0,则 存在最小值 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. 【题型1等差数列的判断】 【典例 】下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 【变式1-1】多选题下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，， 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 【变式1-2】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式1-3】多选题下列数列是等差数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．，，，1，2 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的知识求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的定义得， A选项，故是等差数列； B选项，故是等差数列； C选项，故是等差数列； D选项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 故选：ABC 【题型2等差数列前n项和的基本量计算】 【典例2】在等差数列中，，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以，所以. 故选：C. 【变式2-1】已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式列式运算可得解. 【详解】设公差为，则，即，解得. 故选：A. 【变式2-2】等差数列中，则公差（    ） A．4 B．3 C．-4 D．-3 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】在等差数列中， 所以有． 故选：B． 【变式2-3】等差数列中，，则（    ） A．10 B．14 C．15 D．30 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出的值． 【详解】解：设等差数列的公差为， ∵， ∴，解得，． ∴ 则． 故选：B． 【题型3利用等差中项运算】 【典例3】在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，. 故选：D. 【变式3-1】在数列中，，若为等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项求解即可． 【详解】解：由为等差数列得，解得. 故选：A 【变式3-2】若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【详解】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 【变式3-3】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【典例4】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用分类整合思想先令求，再令，求得； （2）由二次函数结合数列的取值得出的最大值. 【详解】（1）由数列的前n项和， ①当时，； ②当时， ； 当时，不满足，所以数列. （2）因为；因为， 所以当时，有最大值为． 【变式4-1】设是数列的前n项和，. (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）代入计算，当时，令，计算结果即可求出的通项公式； （2）写出数列与数列的关系，结合数列的前n项和公式即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）由数列的前n项和， 当时，； 当时， ；   令时，，满足题意， 所以数列的通项公式，   由得， ∴时，时， ∴的最小值为. （2）由（1）知，当时，； 时，，， 当时，.   当时，，   ∴. 【变式4-2】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 【变式4-3】已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据计算可得，利用累乘法计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. 【详解】（1）令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即， 所以（，）， 又，符合上式，所以（）． （2）由（1）， 所以． 【题型5等差数例前n项和的性质】 【典例5】已知等差数列的公差为，且，则（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】A 【分析】先分析判断由等差数列产生的子数列也为等差数列，求出其首项和公差，利用等差数列的前项的和的公式计算即得. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以是公差为2的等差数列. 易得，令，得， . 故选：A. 【变式5-1】 记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据等差数列前和公式及等差数列性质可求得，则可得的值. 【详解】根据数列为等差数列，则， 所以，所以， 故选：C. 【变式5-2】设为等差数列的前项和，且，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】D 【分析】已知，先由等差数列的性质，求出，然后求出公差，得出. 【详解】因为数列是一个等差数列，且， 所以，即. 又，所以公差， 所以. 故选：D． 【变式5-3】设等差数列的前n项和为，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据等差数列前n项和公式和等差数列的性质即可求解． 【详解】依题意有， 又，所以． 故答案为：． 【变式5-4】已知等差数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】182 【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，所以，解得． 又，所以，所以． 故答案为：182． 【题型6求等差数列的前n项和】 【典例6】设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 又，即，解得， 所以. 故选：C 【变式6-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可求出，再利用等差前的性质可以求出，即可求解. 【详解】， ， ， ， ， . 故选：B. 【变式6-2】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质以及求和公式计算即得． 【详解】由，又， 所以， 由题意得． 故选：C． 【变式6-3】设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】因为也成等差数列，故，同理 因为，所以，故 所以. 故选：D 【题型7等差数列前n项和的最值】 【典例7】等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【答案】(1)； (2)，最大值为16 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值. 【详解】（1）设公差为，则， 解得， 故的通项公式为； （2）， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 【变式7-1】已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)100. 【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出，进而求出公差d即可求出通项. （2）由（1）的信息，判断数列的单调性，进而求出最大值． 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 【变式7-2】在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出公差即可得解； （2）首先得出单调递减，并求出时的最大值，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设的公差为d，因为是与的等比中项，所以， 即，整理得. 又，所以， 则. （2）由（1）可得，. 因为，所以是递减数列. 又，， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 【变式7-3】已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将已知条件用等差数列的首项和公差表示，解方程组得到首项和公差，从而求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质，即可判断出取最大值时的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得，所以. （2）， 所以当取最大值时，或. 【变式7-4】已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 【答案】(1) (2)时有最大值 【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）求出前n项和后借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，即， 故； （2）令数列的前n项为，则， 则当时，取得最大值，且最大值为. 一、单选题 1．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的性质求解． 【详解】是等差数列，则， 故选：B． 2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 3．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 4．已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 5．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】在等差数列中， 故选：B. 6．在等差数列中，若，则 （    ） A．10 B．20 C．5 D．45 【答案】D 【分析】由，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故选：D 7．是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】， 故选：D 8．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出首项和公差，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】由等差数列的性质得①， ②， 由①得，代入②得，解得， 故， 故. 故选：C 9．已知等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 而，由，得. 故选：D 10．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质代入计算即得. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 二、填空题 11．已知等差数列中，，则 . 【答案】3 【分析】设等差数列的公差为，根据条件，利用等差数列的通项公式求得，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，得到，即， 又，得到，所以 故答案为：. 12．已知等差数列的前n项和为，则 . 【答案】81 【分析】运用等差数列的性质公式计算即可. 【详解】根据题意，知道，则，则， 若公差为，所以，则. 故 则. 故答案为：81 13．已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【答案】1156 【分析】根据等差公式的通项公式和前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为d． 由，得，解得． 又，所以，解得， 所以． 故答案为：1156 14．在等差数列中，，，则其公差 . 【答案】2 【分析】依题意列出等式，即可求解公差. 【详解】由，得，故， 所以. 故答案为：2 15．设等差数列中，，前项和为，则 ． 【答案】30 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 三、解答题 16．已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 【答案】(1)7； (2)2700. 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出. （2）利用等差数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以． 17．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系式，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 等差数列 【题型1等差数列的判断】 【题型2等差数列前n项和的基本量计算】 【题型3利用等差中项运算】 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型5等差数例前n项和的性质】 【题型6求等差数列的前n项和】 【题型7等差数列前n项和的最值】 知识点1等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 4.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 熟记： 1.等差数列的函数的关系 (1)等差数列{)的单调性:当d>0时,递增数列;当d<0 时,()是递减数列;当小时,()是常数列. (2)在等差数列{}中,>0,d<0,则韩最大值;若 <0,d>0,则 存在最小值 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. 【题型1等差数列的判断】 【典例 】下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】多选题下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C． ，，， D．，，，， 【变式1-2】若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【变式1-3】多选题下列数列是等差数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．，，，1，2 【题型2等差数列前n项和的基本量计算】 【典例2】在等差数列中，，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式2-1】已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式2-2】等差数列中，则公差（    ） A．4 B．3 C．-4 D．-3 【变式2-3】等差数列中，，则（    ） A．10 B．14 C．15 D．30 【题型3利用等差中项运算】 【典例3】在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在数列中，，若为等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【典例4】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【变式4-1】设是数列的前n项和，. (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和. 【变式4-2】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式4-3】已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【题型5等差数例前n项和的性质】 【典例5】已知等差数列的公差为，且，则（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【变式5-1】 记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式5-2】设为等差数列的前项和，且，，则（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式5-3】设等差数列的前n项和为，若，，则的值是 ． 【变式5-4】已知等差数列的前项和为，若，且，则 ． 【题型6求等差数列的前n项和】 【典例6】设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 【变式6-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．140 B．150 C．160 D．180 【变式6-2】在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【变式6-3】设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【题型7等差数列前n项和的最值】 【典例7】等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【变式7-1】已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【变式7-2】在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. 【变式7-3】已知等差数列的前项和为，若，， (1)求 (2)当取最大值时，求的值 【变式7-4】已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值. 一、单选题 1．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 3．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 4．已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 5．已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．在等差数列中，若，则 （    ） A．10 B．20 C．5 D．45 7．是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 8．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 9．已知等差数列的前项和为，且，，则（   ） A． B．1 C． D． 10．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 二、填空题 11．已知等差数列中，，则 . 12．已知等差数列的前n项和为，则 . 13．已知等差数列的前n项和为，，，则 . 14．在等差数列中，，，则其公差 . 15．设等差数列中，，前项和为，则 ． 三、解答题 16．已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 17．已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$